EXERCICES SUR LE CHAPITRE PREMIER

Exercice /. — Appliquer les équations (5) au cas de rétat élastique plan.

Solution, Si Ton supprime dans les équations (5) les composantes indiquées dans les équations (8), il vient entre autres Z = o. Cet état élastique n'est donc possible que si la forc^ extérieure est perpendiculaire à Taxe des z (ou si elle est nulle).

Les deux autres équations (5) deviennent,

c/Raj rfS ^ dx dy

dKy rfS -.

dy dx

On pourrait déduire ces équations directement, en posant les conditions d'équilibre d'un parallélipipède infiniment petit

dont une arèlc serait parallèle à l'axe des ;: et en tenant comple des équations (8).

Exercice 2. — Détemimer la valeur de la composante normale Rn de Vintensité Pn de raction moléculaire relative à un plan donné.

Solution, Au lieu de projeter Pn elle-même sur la normale n pour obtenir Rnilest plus simple de projeter surcette normale les composantes de Pn selon les axes et de former la somme algébrique des projections. Nous aurons donc :

Rn = Pnx COS {nx) + Pny COS (wy) + Pn» COS {nz)

ou, en multipliant les valeurs tirées des équations (6) :

R» == Ra; COS* {nx) + Ry COS* [ny) + R« cos* {nz) + 2 Sicy COS {nx) COS (ny) -h 2 ^yz cos {ny) cos {nz)

+ 2 Szx cos {nz) cos [nx)

Exercice 3. — Un arbre, travaillant simultanément à la flexion et à la torsion^ subit à Fendroit le plus dangereux une action moléculaire perpeîidiculaire à la section^ dont fintensité est égale à 300 kilogr, par cm^y et une action moléculaire tangentielle d'intensité égale à 400 kilog, par cm^. Dé' terminer les valeurs de IMmax et S mû«.

Solution. L'état élastique est double. Prenons Taxe longitudinal de l'arbre pour axe des or et supposons Taxe des y parallèle à la direction de Faction moléculaire tangentielle. Nous avons :

Ra.= 300 S = 400 Ry = o

Les équations (12j et (14) donnent :

Vi'max = -h 577,2 kilogr. par cm*.

S'ma* = 427,2 »

% \. De Vélasticité. — io. Déformations corrélatives des actions moléculaires. — 46. Essais des matériaux à l'extension. — 17. Elasticité et Plasticité. — 18. Loi de Hooke, déformations d'un prisme travaillant à Texiension ou k la compression. — 19. Principe de superposition. — 30. Propriétés élastiques des corps ne satisfaisant pas à la loi de Hooke.

5 2. Déformations élémentaires. — ^i. Déformations élémentaires d'un parallélipipède infmiment petit. — ââ. Relation entre G, E, B et m. — 23. Ellipsoïde des déformations. ~ 24. Déformation élémentaire dans une direction quelconque.

g 3. Travail des matériaux de construction. — 2o. Limite pratique du travail des matériaux. — 26. Expériences de Woehler. — 27. Causes déterminantes de la rupture dans le cas d'un état élastique triple; opinions diverses à cet égard. — 28. Travail élastique de comparaison.

I 4. Travail spécifique de déformation. — 29. Energie potentielle interne d'un parallétipipède infîniment petit.

Exercices, N»* 4 à 10.

DE L'ELASTICITE

§6. Déformations eorrélatives des actions moléca-

laires. — Les conditions d'équilibre dos actions moléculaires et toutes leurs conséquences sont applicables à tout corps, quelle que soit la façon dont il se comporte, à condition toutefois que la loi de continuité soit satisfaite. Elles sont donc

valables aussi bien pour un las de sable ou une molle d'argile que pouf les mélaux, les liquides ou les gaz. Nous avons vu également qu'elles ne fournissent que 3 équations entre les composantes des actions moléculaires et les forces exlérieures, alors que 6 quantités sont nécessaires pour définir Tétat élastique d'un corps en un point donné. Nous sommes donc obligés pour résoudre complètement le problème d'introduire dans le calcul de nouveaux élémenls.

Sous rinfluence des actions moléculaires le corps, quel qu*il soit, subit certaines modifîcalions de forme, certaines déformations. Il est évident qu'il doit exister des relations parfaitement déterminées entre les déformations et les aclions moléculaires corrélatives. La déformation subie par le corps en un point donné est complètement définie si nous savons de 'combien le point s'est déplacé dans le sens des 3 axes de coordonnées. Si donc nous connaissons les relations existant entre les déformations et les actions moléculaires correspondantes, nous pouvons exprimer celles-ci en fonction de celles-là; en substituant dans les équations 5, nous obtiendrons un système de 3 équations aux dérivées partielles à 3 variables indépendantes: le problème pourra donc être résolu complètement, en théorie du moins; pratiquement la résolution des équations présente le plus souvent des difficultés insurmontables. / *

L'expérience seule peut donner la relation existant entre les actions moléculaires et les déformations corrélatives. Pour la déterminer, il faut mesurer les déformations produites par des forces connues sur un corps donné, étudier l'influence des dimensions du corps en question et conclure de là quelles seront les déformations subies par un parallèlipipède infiniment petit.

16. EHnaisiden matériauiK à Texteiision. — L'une des expériences les plus fréquentes consiste à déterminer les déformations subies par une tige métallique travaillant à l'ex-

lension. On emploie à cet effet une lige d'environ 20 à 25 ram. de diamètre et de 300 mm. de longueur. L*expérience consiste à mesurer Pallongement qu'éprouve la portion médiane de la lige^ comprise entre deux points de repère distants d'environ 100 à 150 mm. Cet allongement étant très petit, il est nécessaire d'avoir un appareil assez sensible pour le constater.

L'appareil à miroir, construit à cet effet par Bauschinger, permet de mesurer les allongements avec une exactitude d'un dixm-illième de mm. Il se compose essentiellement (iig. 9) de

^ deux ressorts F fixés à Tun des

F R p » / ^"" n points de repère A sur Téprou-

^S ^ juMjs vetteS. L'extrémité libre des

ressorts s'appuie légèrement contre deux roulettes d'ébonite R, qui peuvent tourner librement autour de leurs axes. Ces axes sont calés entre pointes dans un cadre fixé surl'éprouvette à l'autre point de répère B. Lorsque Téprouvette subit un effort d'extension, l'espace compris entre les deux points de repère s'allonge, et les ressorts F en, s'appuyant sur les roulettes R les font tourner d'un certain angle proportionnel à TallongemenL L'axe des roulettes porte un miroir qui permet de mesurer cet angle à l'aide d'une règle divisée et d'une lunette, selon la méthode si souvent utilisée en physique. Il est nécessaire d'employer deux roulettes : on voit en effet que celles-ci tournent en sens inverse; par suite les erreurs d'observations, dues à des imperfections de calage de l'éprouvette dans la machine d'essais, à des déformations de certaines pièces de celles-ci, etc., sont éliminées en prenant la moyenne des lectures faites aux deux lunettes. On pourrait naturellement observer d'une façon semblable le raccourcissement d'une tige soumise à un effort de compression.

Une expérience de ce genre faite sur une éprouvetle d'acier doux montre que les allongements sont proportionnels aux efforts d'extension tant que ceux-ci ne dépassent pas une

certaine grandeur ; de plus ils disparaissent complètement lorsque Teffort cesse. Si par contre l'effort d'extension dépasse une certaine limite, les allongements corrélatifs ne disparaissent plus complètement; enfin pour une certaine valeur de cette force, la tige se rompt.

Une éprouVelte de bois ou d'autre métal se comporterait sensiblement de la même manière, les matériaux pierreux par contre d'une façon tout autre.

tV.Elastleitéet planiieité. — Gomme dans Texemple précédent, on constate d'une manière générale que les déformations subies par un corps sous Tinfluence de forces extérieures données sont de natures diverses. Si, les forces extérieures cessant de solliciter le corps, les déformations observées précédemment ne subissent aucune modification, on dit que la matière dont est formée le corps esl plastique (Type de matière plastique : Targile mouillée).

Si au contraire les déformations disparaissent avec la cause qui les produit, la matière du corps esl dite parfaitejnent élastique (Type de matière élastique : le caoutchouc). Si enfin les déformations ne disparaissent que partiellement, la matière sera semi-élastique. Afin de définir d'une manière précise la notion d'élasticité, nous introduirons le principe du travail de déformatimi. Nous entendons par là le travail mécanique fourni par des forces extérieures pour amener un corps dans un état de déformation donné,ce travail s'emmagasine dans le corps sous forme d'énergie potentielle interne. Dans l'exemple précédent ce travail serait

/i=-f;pdx (17)

P désignant l'effort d'extension, x l'allongement corrélatif.

Nous pouvons maintenant, formuler les définitions suivantes :

l) L'élasticité est la propriété des corps de pouvoir emmagasiner sous forme d'énergie potentielle interne, le travail de

déformation et de le restituer entièrement ou partiellement lorsque la cause des déformations cesse d'agir.

2) Un corps est parfaitement élastique lorsqu'il restitue entièrement, sous forme d'énergie mécanique, l'énergie potentielle inlerno accumulée durant la déformation.

3) Le degré d'élasticité d'un corps semi-élastique est le rapportde Ténergie restituée, lorsque la cause delà déformation est supprimée, au travail de déformation.

4) Il n'existe aucun corps qui soit parfaitement élastique, quels que soient les efforts auxquels il est soumis. On appelle limite d'élasticité, la limite à piàrtir de laquelle un corps cesse pour un système de forces extérieures donné d'être parfaitement élastique.

Pour une barre de fer doux travaillant à l'extension cette limite est d'environ 1800 kg. par cm' (ellevarieunpeu suivant les sortes de fer); au-dessous de cette limite, le fer est parfaitement élastique. La fonte de fer, les pierres, les ciments se comportent autrement, ces corps sont d'abord semi- élastiques, puis une application répétée des forces finit par établir un état de régime : les déformations sont alors parfaitement élastiques. Il n'est toutefois pas nécessaire de tenir compte de ce fait dans les calculs pratiques de Résistance des matériaux.

Le temps durant lequel les forces agissent sur les corps n'est pas non plus sans influence pour les matières précitées. Les déformations augmentent avec ce temps, surtout si l'état de régime, dont nous venons de parler, n'a pas encore été atteint par une application réitérée des charges. L'influence du temps est encore plus nette pour les matériaux tels que les cordes, les courroies, les filés et les tissus.

Inversement, lorsque les forces extérieures sont supprimées, la déformation ne disparaît pas instantanément : le corps ne revient que lentement à sa forme primitive. De plus, les déformations produites par des forces données ne dépendent pas seulement de ces forces, mais de celles qui ont agi précédemment sur le corps et du temps qui s'est écoulé depuis leur application.

Ces phénomènes, étudiés avec §om dans le cas des fils de soie employés dans la construction des instruments de physisique, sont peu connus en ce qui concerne les matériaux utilisés dans les constructions. Ils sont du reste peu intenses (cordes de .chanvre et courroieà de transmissions excepté) de sorte qu'il n'y a pas lieu de s'en occuper davantage.

18. liol de Hooke, déformations d'un prinme travaillant à l'ex.tenffion onà la eompression. — Il résulte des

essais à l'extension ou à la compression d'éprouvettes de fer doux, que les allongements observés sont jusqu'à une certaine grandeur de l'effort exercé, proportionnels à l'effort qui les produit. On trouve de plus que, pour un même effort, les allongements sont inversement proportionnels à la longueur observée. Si donc nous appelons dilatation^ e, le quotient de l'allongement A/, par la longueur primitive /, nous pourrons écrire :

-; désignant une constante dépendant des propriétés de la

matière. On appelle E le coefficient cTélasticité longitudinale de la matière, sa valeur inverse / porte le nom de coefficient de souplesse directe. La dilatation s, quotient de deux lon« gueurs, est un nombre ; il s^en suit que E est de même dimension que R, c*est-;à-dire que l'intensité d'une action moléculaire : il s'exprimera donc, par exemple, en kg. par cm*. On trouve pour le fer soudé E == 2.200.000 kg. par cm*, pour l'acier doux E = 2.200.000. La valeur de E est la même pour ces matériaux dans le cas de l'extension et dans celui de la compression.

Nous avons trouvé précédement.

P désignant l'effort total de compression ou d'extension, F la section noraiale de la tige, il vient donc