FR' = P

nous obtenons alors pour Pk l'expression :

Pk = Zà±±M± Vp'+Y'^'^'- P'P- (265) Le signe de la racine doit être choisi de façon que Pr soit

RÉSISTANCE DES PRISMES CHARaÉS DEBOUT. — FLAMBEMENT 34S

toujours égal à la plus petite des deux valeurs données par la formule.

Si fo = Oy c'est-à-dire pour un prisme dont Taxe longitudinal est rigoureusement recliligne, rt = o. On trouve alors :

pourvu que : P'> Pe . Si F <Pe > ce qui a lieu pour un prisme très court, on obtient, en vertu de la remarque qui a été faite au sujet du signe de la racine,

Pk = P'.

La formule distingue donc le cas du flambement de celui de la compression proprement dite. Afin de donner une idée des différences que peuvent présenter entre elles les valeurs de Pk et Pé, nous indiquerons les chiffres suivants, qui se rapportent à un support formé par une cornière. Les dimensions de la section sont 70 X 70 X 9 mm, E= 2.H0.000 kg. par cm% fo est supposé = 1 mm. On trouve, pour / = 2 m. :

F=23,6 t., PE = H,8t., PK=10,4t.,

et pour / = 3 m.:

F = 23,6 t., Pb =5,2 t., Pk =5,0 t.

La différence entre Pk et Pe est donc sensible, surtout dans le premier cas ; elle croit rapidement lorsque fo augmente. Pour une valeur donnée de fo la différence entre Pk et Pe est d'autant plus petite que le prisme est plus long ; il convient d'autre part de remarquer que plus le prisme est long, plus il est difficile de le dresser parfaitement, de sorte que les pièces très allongées auront en général des valeurs de/o plus grandes que les courtes.

Si Ton suppose que t^ est très petit (c'est-à-dire que fo est petit comparativement an rayon de gyration minimum de la section transversale), on peut négliger dans la formule (265) le terme en i^*, et remplacer par conséquent le radical par l'expression approchée :

i[F* + 2 (T, 4- 1) P'Pe +(2ti + 1) Pb > - 4 P'Pb ]

= 1 [(F - Pe )• + StiPe (F + Pb )].

Si de plus P' est de beaucoup plus grand que Pei ce qui a lieu lorsque le prisme considéré est très long, on peut écrire avec une approximation suffisante :

V^(P' - Pe )* + 27iPE (F + Pb ) = P' -.Pe + ^ ^T^ZTT^' et Téquation (265) devient :

PK=PB-^^r^ . ' (266)

Cette formule est d'un usage commode pour estimer la différence entre la charge critique réelle Pk et la valeur donnée par la formule d'Ëuler P^^à condition naturellement que Thypolhèse P' beaucoup plus grand que Pe, sur laquelle elle repose> se trouve remplie.

Comme nous l'avons déjà fait remarquer, Téquation (265) s'applique aussi au cas où il n'y a pas de flambement, mais simplement compression proprement dile. Une difficulté se présente toutefois dans les applications : on ne connatt pas en général quelle est la valeur à donner à /o ou à yi; en outre, la formule (265) ne tient pas compte des différences inévitables entre Taxe du prisme et la ligne d'action des forces. Il est donc préférable d'employer à sa place une formule empirique établie par M. de Tetmajer d'après les résultats de nombreux essais fails avec différents matériaux. Pour :

P>Pb,

M. de Tetmajer propose l'emploi de la formule suivante :

PK==aF-ô£, (267)

dans laquelle a et d représentent des valeurs tirées des résultats d^expériences, / la longueur du prisme, t le plus petit des

ray'Ons de gyralion principaux de la section. Nous donnons ci-après les valeurs de a et de 6 pour une série de matériaux :

Fer a = 3.030 kg. par cm* 6= 12,9 kg. par cm*

Acier doux. a = 3.100 » é = 11,4 »

Acier. . . . a = 3.210 » 6=H,6 »

Sapin (sec). a= 293 » 6= 1,94 ».

Pour la fonte de fer, l'équation (267) n'est pas valable; pour des prismes de longueur telle que— soit situé entre 5 et 80,

M. de Tetmajer pose, en vertu de ses essais :

^i = [0,S3 (ly 120 -f + 'ï'^eo] kg. (268)

Dans le cas de prismes plus élancés, pour lesquels - > 80, il

propose le simple emploi de la formule d'Euler.

Ces formules supposent le prisme fixé aux extrémités, mais non encastré.

•8. Prittine eneaiitré aum deax extrémitéti. — Si l'une des extrémités du prisme est encastrée et l'autre maintenue simplement fixe, le prisme se comporte exactement comme une pièce de longueur double dont les deux extrémités seraient fixes et non encastrées. Il n'est donc pas nécessaire de traiter spécialement ce cas ; on peut utiliser directement les formules que nous venons d'établir; il suffit d'y remplacer / par 2/.

Supposons maintenant le prisme encastré aux deux extrémités. Nous avons déjà eu l'occasion de faire remarquer qu'il était en général difficile de réaliser pratiquement cette condition d'une manière parfaite et qu'il convenait, par conséquent, de n'appliquer qu^avec prudence les résultats obtenus dans rhypothèse d'un encastrement parfait. Il est bon de s'assurer, dans chaque cas particulier, du degré d'efficacité des encastrements.— Si, par exemple, le prisme repose simplement parles sections d'about contré les plaques d'une machine d'essais, on

voit facilement qu'il suffit d'une petite inégalité de ces surfaces ou d'une légère inexactitude dans le parallélisme des plaques pour rendre possible une déviation de Taxe longitudinal. Du reste, dans un essai de ce genre, il serait facile de se rendre compte de Tefficacité des encastrements en fixant aux extrémités de Téprouvette de petits miroirs, et en observant sur ceux-ci, à Taide de lunettes, Tirnage d^une échelle fixe. Si les encastrements sont bons, les miroirs ne doivent pas tourner et, par conséquent, le chiffre lu sur l'échelle ne doit pas varier.

Supposons les encastrements absolument efficaces^ et admettons que, par une action extérieure, le prisme se trouve déformé de telle sorte que l'axe longitudinal ait la forme indiquée sur la figure 65. Nous allons déterminer quelle doit être

fig. 65

l'intensité des forces P pour que celles-ci soient en état de maintenir le prisme dans l'état indiqué, lorsque l'action extérieure qui produit ce dernier cesse.

Pour simplifier, nous admettrons que Taxe du prisme était à l'origine rigoureusement rectiligne et qu'il coïncidait avec la ligne d'action des forces P.

Soit Mo le moment du couple qui se développe dans les sections d'encastrement; nous avons, pour le moment de flexion dans une section transversale d'abscisse x, l'expression :

M = Mo-f-Py ;

l'équation différentielle de la ligne élastique sera donc : L'intégrale générale est de la forme :

y = A siQ o^ + B cos our — -poù, comme précédemment;

•vî

Pour déterminer les constantes d'intégration A et B, nous avons les relations :

y= 0 pour x = 0 eif par suite de l'encastrement,

-- =0 pour a:=o et a: = /; nous tirons de la première :

o Mo

Nous avons :

y- == Aacosaar — Ba sin our,

poor rr ss o, il vient :

A= 0, et, pour X = /,

B a »in olI = 0.

Or, ni B ni a ne sont nuls, il faut donc que sin a/ = o .

L'angle a/ n'est certainement pas nul; pour que l'état d'équi-» libre admis puisse subsister, il faut donc que la force P attei^ gne une valeur telle que a/ soit égal à tc ou à un multiple. Si l'on prend a/ = it, la condition : y=o pour a:= /, dont nous n'avons pas tenu compte jusqu'ici, n'est pas remplie. Cette solution olI = 11 correspondrait donc au cas oh l'extrémité droite du prisme pourrait se déplacer dans le sens des y, sans toutefois pouvoir effectuer de rotation. Afin de satisfaire & la condition y s=s o pour x s=s /, nous devons avoir encore :

B cos olI — =?= 0

c'est-à-dire cos a/=:4-l et non — 1, comme ce serait le cas pour a/ = ::• Il faut donc choisir, pour qu'il y ait équilibre^ rinteosité des forces P de telle sorte que a/ = 2tc. Si l'on remplace oc par sa valeur dans cette relation, on en tire :

Si P est plus petit que la valeur ci-dessus, le prisme revient dans son état initial ; si, au contraire, P est plus grand, la déformation va s'accentuant de plus en plus jusqu'à la rupture* On voit que la charge critique est, toutes choses égales d'ailleurs, 4 fois plus grande que pour un prisme dont les extrémités sont simplement fixes. De même que dans le cas précédent^ la rupture se produit déjà sous l'influence d'une charge moindre et cela pour les mêmes raisons. On pourrait naturellement refaire à ce sujet les mêmes calculs que plus haut; nous y renonçons cependant pour ne pas allonger inutilement.

•0. Prisme eneastré à une emtrémité et iiinni h l'antre d'une glissière ne permettant un déplaeement que

dans le sens de l'axe longritudinal. — La marche à suivre

est la même qu'à l'article précédent. L'action de la glissière

peut être représentée par une force V agissant parallèlement à

Taxe des y.

•*" Wi/^^ '^JP

Fig. 66.

Le moment fléchissant dans la section transversale d'abscisse

a: est par suite :

M= Py — Var,

donc':

En intégrant il vient :

y = A sin cnx+B cos a^ 4- -r j? ;

expression dans laquelle a conserve la même signification que précédemment.

Nous avons ;

y = 0 pour a: = o et y = o pour a:= /,

d'où nous concluons :

Psina/'

les constantes d'intégration sont ainsi déterminées. Il reste encore à satisfaire à la condition ;t^= o pour x = 1. B étant nul, nous obtenons en différenciant y :

~ = Aacosaa: + -- ;

ax ir

pour x= /, nous devons donc avoir ;

AaCOSa/+- = ;r-: r +~=0.

P Psina/ ' P

En résolvant par rapport à V, il vient Y = o et par suite i/=o. C'est là naturellement une solution possible, savoir celle dans laquelle le prisme reste rectiligne malgré Tiniluence delà charge. L'équation précédente est encore satisfaite pour une valeur quelconque de V, si

al cos »l .

c'est-à-dire si :

Celte équation transcendante possède un nombre infini de solutions.il nous suffit de connaître la plus petite d'entre elles, après kl=o, puisque nous cherchons simplement la valeur que P doit atteindre pour maintenir le prisme dans un état de

déformation donné. Cette solution est très approximative-

ment :

donc a*/* = 20 environ ; par saite, tenant compte de la valeur de a, nous trouvons :

Cette valeur de P est sensiblement égale au double de celle trouvée pour un prisme à extrémités fixes non encastrées et à la moitié de celle correspondant à un prisme encastré aux deux extrémités. On pourrait aussi dire que le prisme considéré peut supporter la même charge qu'un prisme de même section, à extrémités fixes mais non encastrées^ dont la longueur

serait r= .

On fait assez souvent usage de cette comparaison entre la longueur d'un prisme chargé debout dans un cas quelconque avec celle qu'il pourrait au maximum avoir si, supportant la même charge, il avait ses extrémités fixes et non encastrées.

tOO. — Prisme eharyé deboat et traYaillanl 0iiiialtanénient à la flemlen. — Supposons la flexion produite par une force Q agissant au milieu du prisme, le moment de flexion

dans la section d'abscisse x est :

M=iLa: + Py,

par suite :

Donc:

y = A sin aa: + B cos eux w^'

La ligne élastique se déconDpose en deux branches qui se raccordent au milieu. En raison de la symétrie, il suffit de déterminer A et B pour l'une des branches, par ex. celle de

gauche. Pour j:= o, y = o et pour ^ == - , ^ = o. La première de ces conditions donne :

B=o, €t de la seconde résulte :

îPa cos ^I '

En introduisant ces valeurs dans l'expression d'y et en faisant a; = -- , nous obtenons la flèche :

Cette formule donne une valeur infinie pour /, si

En tenant compte de la valeur de a, nous trouvons pour la valeur correspondante de P :

Ainsi, d'après ce résultat, la flexion n^influencerait pas la valeur de la charge qui produit le flambement. Cette conclusion n'est toutefois pas tout à fait exacte; en effet, la formule est établie dans Thypothèse que toutes les déformations sont parfaitement élastiques; or, Use peut fort bien que les

actions moléculaires développées par suite de la flexion dépassent la limite d'élasticité de la matière, bien avant que les forces P aient atteint la limite critique, et naturellement, sitôt que la limite d^élasticité est atteinte, la formule n'est plus applicable, puisque la loi de proportionnalité entre les déformations et les actions moléculaires, sur laquelle elle repose implicitement, n'est plus remplie. De même qu'à l'article 97 nous avons trouvé la charge critique réelle Pk < Pe, de même ici, celte charge critique doit être plus petite que la valeur fournie par la formule d'Euler, et cela d'autant plus que la force Q est plus grande.

£n utilisant les mêmes notations qu'à l'article 97, la valeur du travail élastique dans une fibre de la section transversale médiane du prisme est donnée par la formule :

/étant défini par (27t). Si, après avoir encore remplacé a par sa valeur, et pris R =: R', on résout cette équation par rapport à P, on obtient Pk.

Il se présente toutefois une difficulté : l'équation est transcendante. Le plus simple, dans le cas particulier, est de remplacer d'abord la formule (271) par une formule approchée, en introduisant au lieu de la tangente trigonométrique son développement en série. On a :

^^^ = ^ + T +TÏÏ + «rr + 5«ÏÏS + ,

cette série est convergente pour x^j. Dans les calculs pratiques de résistance, on considère en général des charges plus petites que la charge de rupture, car l'on prend toujours un

coefficient de sûreté assez grand. Par conséquent, -- est toujours plus petit que- et même le plus souvent plus petit que Vanité. Dans ces conditions, la série converge assez rapide-

ment, de sorte qu'il suffit de prendre les trois premiers termes du développement. L'équation (271) devient alors :

ou, si Ton met pour à sa valeur :

Le premier terme de l'expression ci-dessus, représente la

flèche du prisme lorsque P = o, il est en effet identique à

l'expression trouvée précédemment (formule 83). Désignons

cette flèche par fo; si nous remarquons de plus que 10 est très

sensiblement égal àic', nous pouvons écrire le second membre

P de la parenthèse sous la forme p-? de sorte que nous avons

finalement :

Si nous faisons R = R' et si nous multiplions par F les deux membres de l'expression établie pour R, celle-ci devient (F = RF) :

.=P+(^+pî^'/.)^

Nous pouvons maintenant la résoudre sans difficulté et obtenir ainsi la charge critique réelle Pk. Le calcul est exactement le même qu'à l'article 97, nous nous abstiendrons donc de le poursuivre.

toi. Formale empirique delVaTier, Sehurarx eiRan* l&iue. — La théorie des prismes chargés debout a passé par des phases assez curieuses. Quoique l'une des plus anciennes de la résistance des matériaux, la formule d'Euler a été reconnue exacte seulement depuis un petit nombre d^années ; on continue même à témoigner dans certains milieux une profonde méfiance & l'égard des résultats qu'elle fournit.

g54 CHAPITRE X

Ce rejet d'une formule, basée sur une théorie mathématique à laquelle on ne pouvait trouver d'erreur et établie d*aprës les mêmes hypothèses que celles admises pour d*autres calculs de résistance, parait à première vue étrange. La raison en est cependant bien simple : cette formule ne pouvait s'accorder avec rhabitude ancienne de mesurer exclusivement lé degré de sécurité d'une construction en indiquant les charges pratiques maxima auxquelles les différentes pièces étaient soumises. Il est évident en effet que dire : le travail du fer à la compression ne doit pas dépasser 700 à 1.000 kg. par cm% ne signifie rien s'il s'agit d'un prisme chargé debout, car si lo prisme est très long, ce travail peut déjà correspondre à une charge égale ou même supérieure à celle qui produit le flambernent. Il était donc, en particulier, très difficile d'employer la formule d*Euler tout en observant à la lettre tel ou tel règlement officiel prescrivant la charge pratique à admettre par unité de surface. C'est en grande partie pour cette dernière raison que Ton préférait Temploi des formules empiriques avec lesquelles cette difficulté n'existait pas, et c'est aussi pourquoi l'usage de ces formules s'est si longtemps maintenu.

Il n'en est pas moins étonnant qu'au lieu d'entreprendre des essais pour vérifier l'exactitude de la formule d'Euler, on ait longtemps* préféré faire usage de formules empiriques, reposant sur une base beaucoup moins solide. Un fait qui montre bien le peu d'importance accordée à la formule d^Euler est le suivant : Tauteur se souvient d^avoir,lorsqu^il faisait ses études, suivi un cours de résistance des matériaux donné par un homme éminent, dans lequel cette formule était entièrement passée sous silence.

Les travaux de Bauschinger, publiés en 1878, et, plus récemment, ceux entrepris à la station fédérale d'essais pour la résistance des matériaux à Zurich, par son directeur, M. de Tetmajer, ont montré que les résultats obtenus par la formule d'Euler concordent bien mieux avec ceux de la pratique que les valeurs fournies par la formule empirique en usage. Tous

BÉSISTANGE DES PRISMES CHARGÉS DEBOUT. — FLÀMBEMEMT 355

les Iravauic ré.c6Qls parus sur la question arrivent également à la même conclusion* L'accord paraît donc s'être fait sur ce points que la formule d'Euler est le résultat de la théorie exacte de la compression des prismes chargés debout.

Etant donné l'importance qu'a eue la formule empirique^ nous croyons bon d'en dire deux mots. Elle a été établie de différentes façons et à diverses époques, et porte par suite les noms de formule de SchwarZj de Rankine ou de Navier.

Pour l'établir, on part de l'hypothèse, parfaitement justifiée d'ailleurs, que, par suite des irrégularités de l'axe longitudi-nalet du défaut de centrage des forces P, tout se passe comme si celles-ci agissaient à l'extrémité d*un bras de levier j9. Ce dernier est naturellement inconnu, on pose arbitrairement :

Dans cette expression x désigne une constante qui doit être déterminée par l'expérience. Pour justifier la formule ci-dessus, on peut dire que les erreurs que doit représenter p sont généralement d*autant plus grandes que / est plus grand comparativement à la distancer de la fibre la plus extérieure à l'axe neutre, mais il est évident que l'on pourrait tenir compte de ce fait d*une tout autre façon, et que, par suite, l'équation (275) est fortement entachée d'arbitraire.

Une fois la relation (275) admise, le problème se trouve ramené à celui de la flexion d*un prisme sous l'action de forces parallèles à l'axe. L'intensité du travail élastique dans la fibre extérieure est donnée par la relation ;

où t désigne le plus petit rayon de gyration de la section transversale. Si l'on entend par R la charge pratique de la matière, on trouve pour la charge totale que peut supporter le

prisme :

p^FR

Telle est la formule qu'il s* agissait d'établir. Si le fait de donner la charge totale que peut supporter le prisme en fonction de la charge pratique de la matière doit réellement être considéré comme un avantage, il est certain que cette formule le possède. Il nous parait toutefois que la question de savoir comment ses résultats concordent avec ceux de la pratique est infiniment plus importante; or, nous avons déjà dit plus haut que cette comparaison ne tourne pas à l'avantage de Téquation (277). Il est naturellement toujours possible de faire concorder les résultats de cette formule avec ceux d'un certain nombre d'essais, il suffit de choisir convenablement x. A ce point de vue, toutes les formules qui contiennent des constantes déterminées à l'aide d'expériences ont un avantage sur celles qui sont établies d'une manière rationnelle comme la formule d'Euler, car si ces dernières reposent sur de fausses hypothèses, une seule expérience suffit pour eu démontrer l'inexactitude. Il est certain également, qu^on pourra employer sans inconvénient la formule (277) dans tout un groupe de cas plus ou moins semblables, si Ton a soin de prendre pour x une valeur résultant d'essais exécutés dans des conditions analogues. L'équation (277) ne pourrait avoir d'importance au point de vue scientifique que si la constante x ne dépendait que de la matière et ne variait pas avec la longueur du prisme. Or, il n'en est pas ainsi ; les essais de M. de Tetmajer démontrent absolument le contraire. Dans chaque cas particulier, il faut donc introduire une valeur nouvelle pour x,et la plus ou moins grande exactitude du résultat dépend essentiellement du choix plus ou moins juste de la valeur de x.

109. Flambemeiit d'au prisme très lon§^ traTaillant à la torsion. — Le cas des prismes chargés debout est certainement le cas d'équilibre instable le plus important que Ton rencontre dans la pratique. Il en existe cependant d'autres encore : nous en avons déjà traité un à l'article 88, nous allons en voir encore un. Il s'agit de l'état d'équilibre instable dans

résistance: des prismes chargés debout. - FLAMBEMENT 3577

lequel se trouve un prisme de section circulaire, très long com-* paraiivement à ses dimensions transversales, et travaillant à la: torsion. Ce problème a été traité pour la première fois par GreenhilL Le prisme en question se trouve dans un état analogue à un prisme chargé debout. Sitôt que, par une cause accidentelle, Taxe longitudinal vient à perdre sa forme initiale rigoureusement rectiligne, les déformations augmentent de plus en plus, jusqu^à ce qu'enfin la rupture se produise. Nous pouvons donc parler d*un flambemeut du prisme.

Chacun connaît du reste le phénomène pour l'avoir essayé non sur un fil métallique, mais avec un cordon ou une ficelle; lorsqu'on tord une ficelle incomplètement tendue(ce qui équi* vaut à la déformation accidentelle du prisme), celle-ci, lorsque la torsion a atteint un certain degré, tend à se déjeter et s'enroule sur elle-même si on en lâche les extrémités. On observe aussi assez souvent dans les essais de torsion pratiqués sur des fils métalliques des effets analogues.

Nous emploierons pour Télude du cas présent la même méthode que celle que nous avons utilisée dans les articles qui précèdent. Nous déterminerons la valeur du moment de torsion M qui est nécessaire pour maintenir une déformation pro* duite par une cause extérieure. Sous Tinfluence d'un moment de torsion inférieur à M, le prisme reprendrait sa forme pri* mitive; sous l'action d'un moment plus grand que M, au contraire, les déformations vont en croissant. La valeur M représente donc le moment de torsion critique du prisme considéré.

Supposons que, par suite de la déformation accidentelle qu'il a subie, Taxe du prisme se soit transformé en une hélice à grand pas^ telle que celle qui est représentée sur la figure 68 (sur cette dernière, on a indiqué en outre le cylin* dre de Thélice ; il ne faut pas confondre ce cylindre avec le prisme lui-même, qui n'est pas représenté sur la figure). Adn mettons de plus qu'à Tétat initial Taxe longitudinal du prisme coïncide avec la génératrice X du cylindre; il faut en effet que

358 GHAPITRR X

eet axe coïncide avec une des g^énératrices puisque les extrémités du prisme sont fixes.

Menons une section transversale quelconque mm ; le mo-

Fig. 68.

ment de torsion supposé M peut être représenté par un vecteur parallèle à l'axe des X (on sait en effet que^ dans la théorie des vecteurs, un couple est représenté par un vecteur perpendiculaire au plan du couple et de longueur égale au moment de celui-ci). T)écomposons ce moment en deux composantes, dirigées Tune suivant la tangente à Thélice et Fautre perpendiculairement à celle-ci dans le plan de la section. La première composante produit la torsion du prisme, tandis que Tautre, si M est assez grand, contribue à maintenir la flexion de Taxe longitudinal.

Menons encore, perpendiculairement à l'axe a:, deux axes de coordonnées rectangulaires y et z. Soit a, g, y, les angles de la tangente à Thélice avec les axes de coordonnées. Nous pouvons poser avec une approximation suffisante:

cos tt = 1 ; par contre :

cos0=^, cosY=^, ^ as de

yel z désignant les coordonnées du point considéréde l'hélice, et ds un arc élémentaire de celle-ci. Décomposons mainte* nant le vecteur M en 3 composantes : l'une dirigée suivant la tangente et les deux autres suivant les axes des y et des Zj dous aurons pour ces dernières :

RÉSISTANCE DES PRISMES GOARGËS DEBOUT. — PLAMBEMENT 359

My = M cos p = M — >

Ms SS3 M cos Y =» M

Le vecteur My, qui est parallèle à Taxe des y, tend à produire une flexion dans le plan xz ; inversement M^ tend à fléchir Taxe dans le plan xy. L'action simultanée de ces deu& couples produit la double courbure de la ligne élastique. En vertu du principe de superposition, nous pouvons considérer séparément les actions de My etM;s et ajouter ensuite géométriquement les résultats ; nous avons, par conséquent, les deux équations :

El?-

as ' as

Il est nécessaire de vérifier les signes dans ces deux équa* lions. SopposoM, pour fixer les idées, que y? ^t -4^, 7^ i '®

même que M^ et Mj? soient positifs. Admettons que le signe positif du couple corresponde à un sens de rotation analogue à celui des aiguilles d^une montre, on voit que My tend à faire

sêo chapitre X

Louraer l'axe des x vers l'axe des s, taadis que Mj tend produire ua mouvement de l'axe des y vers l'axe des x. P rapport à l'axe des x, les deux rotations sont donc de sign différents.

11 faut, par suite, introduire M^ et M^ avec des signes difl rents dans les équations précédentes. La question de sav< lequel des deux est positif et lequel négatif dépend des hyp thèses faites au sujet des signes ; ce point n'a du reste p d'importance pour les résultats que nous voulons établir. Posons enfin ds = dx\ les équations précédentes prenne alors la forme :

ta première fournit, après intégration :

en substituant dans la seconde, nous pouvons écrire :

L'intégrale générale de cette équation, qui est de la mëi forme que celle qui conduit à la formule d'Euler, est ;

y = A sin pu- B cos px — C g, (280)

dans laquelle

On trouveraitune expression de même forme pour a, comr on le voit immédiatement si l'on élimine y au lieu de z da les équations (2*78).

Pour x= o et « = /, y = 0, il faut par suite que les coi tantes d'intégration A et B aient les valeurs ci-dessous :

g pEI C ^ ^CÇ — cosffO

^M~}' ^ 13 sin pi '

donc, linalemont :

La constante G est encore inconnue. Différencions y deux fois et substituons la valeur trouvée dans la seconde des équations (278) ; cette dernière devient :

d*oùy en intégrant,

^=^[^(cos?/-l)+sinpa:]+K. (283)

Nous devons aussi avoir

js = opour ar = o et a: = /;

la première de ces conditions permet de déterminer K,

C(i-cosp/), psinp/ '

de sorte que z devient :

La seconde condition montre que Télat d^équilibre admis est maintenu quel que soit G, pourvu que ]a relation

(1— cosp/)*H-sin'p/=o

soit satisfaite. Pour qu'une somme de carrés soit nulle, il faut que chaque terme le soit séparément, nous devons donc avoir :

cosp/=+l, sinp/=o.

Celte condition est remplie lorsque P est tel que p/= 2ir. Si l'on tient compte de la valeur de p, on peut écrire la relation :

d'où:

El *

Telle est la valeur que le moment de torsion ne peut dépasser sans qu^un flambement du prisme se produise.

Il est possible de donner ce résultat sous une autre forme. Noua avons trouvé, (formule 233) pour Tangle de torsion produit par le moment M, l'expression ;

mi m.

^ "^ 7ra*G ~ 2IG '

en introduisant dans cetle formule la valeur M de Téquation (285), nous obtenons :

Ce n^est donc que lorsque TangJa de torsion est plus grand que 2 n que le danger de flambement est à craindre. Pour un prisme en acier^ il faudrait par conséquent que la longueur fût environ égale à 3.000 diamètres pour que la rupture par flam^ bement se produisît avant celle provenant de la torsion. Il faut remarquer toutefois que diverses circonstances accessoires, dont nous n'avons pas tenu compte (courbure initiale dd Taxe longitudinal, etc.), peuvent avoir pour conséquence une diminution considérable de la longueur à partir de laquelle il y a danger de flambement. Donc, à ce point de vue encore, le cas que nous venons de traiter est absolument semblable à celui des prismes chargés debout. Etant donné la moindre importance pratique de ce problème, nous n'entrerons pas dans plus de détails.

RÊSISTAIfGE DES PRISMES CHARGES DEBOUT. — FLAMBEMENT 363

EXERaCES SUR LE CHAPITRE X

Exercice 45. — A partir de quel rapport entre la longueur i du prisme et le côté a de la section^ y a-t-il danger de flam" bernent pour un prisme de section carrée y si F on se base sur la formule dEuler ?

Solution. Il suffit de poser

R' désignant la limita d'élasticilé de la matière pour la compression. On a F = a', I = -- , il vient donc :

Si Ton prend par exemple E = 2.100.000, R' = 2000 kg. parcm', valeurs correspondant àPacier doux, on trouve :

On suppose que les extrémités du prisme sont fixes et non encastrées. Le calcul à la compression proprement dite, même

lorsque le rapport -^ est inférieur à la limite trouvée, est toujours peu sûr, il est donc de beaucoup préférable d'employer dans ce cas la formule de Tetmajer. — On opérerait d'une façon analogue pour d'autres formes de section.

Exercice 46. — Déterminer \ V à l'aide de la formule dEu* ierj 2* avec celle de SchwarZy la charge que peut supporter sans danger une colonne circulaire en fonte de 6 m. de hau^ leur et de 20 cm. de diamètre. Les parois ont 2 cm. d'épaisseur E=i .000.000 kg. par cm\ R = 700 kg. par cm^, x = 0,0002.

Solution. Nous avons :

F=it(10*— 8*) = H3cm",

364 CHAPITRK X

I = ^ (10* — 8») = 4630 cm', t'=~= 41 cm'.

Pour Tapplication de la formule d'EuIer, nous supposerons que rexlrémité supérieure de la colonne est maintenue fixe par la conslruclion qu'elle porle.Ily aurait naturellement lieu, dans un cas concret, de s'assurer que celle hypothèse est bien réalisée ; si elle ne Tétait pas, nous devrions introduire le double de la longueur du prisme dans la formule. Il est en tous cas préférable^ pour plus de sécurité, de ne pas tenir compte d'un encastrement possible des extrémités. Diaprés la formule d'Euler, la charge critique est

Pk = ^' y, = 10 -^ = 128.600 kg.

Si nous prenons un coefficient de sécurité égal à 6, nous obtenons la charge pratique :

P= ■f= 21.400 kg.

Avec la formule de Schwarz on trouve :

^ /« i+2Xio X -^

Nous donnerions la préférence au premier résultat, mais le Second pourrait aussi être employé à la rigueur.

Exercice 47. — Un prisme chargé debout est encastré à l'extrémité inférieure. Vexti^émité supérieure est lihrê^ elle éprouve toutefois dans ses déplacements latéraux une gêne Croissant proportionnellement à ses déviations. On peut supposer, par exemple, cette extrémité reliée à des barres qui s" allon^ tfent selon la loi de l'élasticité lorsque V extrémité du prisme se déplace. Déterminer la charge qui produit le flambement.

Solution. Soit ^o le déplacement de Texlrémité libre ; la gêne apportée aux mouvements latéraux de ce point peut être

RÉSISTANCE DES PRISMES CEIARGÉS DEBOUT. — FLAMBEMENT 2

représentée par une force horizontale H, définie par la rel tion

c élant une constanle qu'il faut considérer comme donnéi Pour une section transversale d'abscisse x (les abscisses soj comptées à partir de l'extrémité libre), nous avons :

l'équation de laligne élastique est donc : L'intégrale générale est par suite :

Pour x = o, y =yo, donc B = o.

De plus y =iO et - = 0 pourr/ = /, nous avons par suite 1

Aat cos»/ p*^^ "■

En résolvant ces deux équations par rapport à A, noi trouvons :

A— ^Lzï i "

pour que ces deux solutions soient identiques, nous devo: avoir :

cf-P c

BiD «f a COS ni

tg «/ = « /-

S6e CHAPITRE X

OU, si Ton exprime P en fonction de a :

tga/ = tt/— -— (a/)^

La plus petite racine de cette équation transcendante donne a/ et par suite la charge critique cherchée.

Si Ton pose c = oo , le prisme est fixe à l'extrémité supérieure et nous retombons sur le cas qui a été traité en détail à l'article 99. Si, inversement, nous faisons c = o, le prisme est absolument libre à Textrémité supérieure ; Téquation précédente donne dans ce cas :

tga/=+oo,

comme nous Tavions déjà mentionné au commencement de Tarticle 99.

Exercice 48. — Considérons un prisme chargé debout^ à extrémités fixes mais non encastrées, et supposons gii" au milieu on en diminue la section transversale sur une longueur /, de façon que le moment d'inertie minimum de la section se trouve réduit de la valeur I à la valeur ï. Comparer la résistance au flambement du prisme affaibli avec celle du prisme primitif. On suppose que la longueur l' est petite comparativement à la longueur totale l du prisme.

Solution. — L'angle que forment avec la verticale les tangentes de la ligne élastique, aux extrémités de la partie médiane affaiblie du prisme^ esl^ pour un moment de flexion

donné quelconque, f p) fois plus grand que si la section du

prisme était constante. Pour obtenir le même angle avec un prisme dont la section n'aurait pas été affaiblie (moment d'inertie = 1), il faudrait que la longueur de la partie médiane con-

sidérée fût égale à /'+ 1\ l" étant une longueur définie par la relation

Si la partie médiane considérée est relativement courte, la flèche au milieu du prisme ne sera pas beaucoup plus grande dans le second cas que dans le premier, si Ton fait coïncider les lignes élastiques des parties extrêmes. On reconnaît donc que le résultat de TafTaiblissement de la section transversale est le même que celui qu'on obtiendrait si Ton augmentait la longueur du prisme de V\ la section du prisme étant constante. Étant donné cette remarque, il est facile de calculer la charge que peut supporter le prisme.

L'auteur a fait à ce sujet une longue série d'essais et ce sont précisément les résultats de ceux-ci qui Tont amené à la solution que nous venons d'indiquer. Ces résultats ont montré, comme on pouvait s'y attendre, que la longueur /'à introduire dans le calcul est, en réalité, un peu plus grande que celle de la partie à section réduite. Il est en effet impossible que la matière, dans les parties du prisme avoisinant la portion médiane, soit bien utilisée. Les essais faits portaient sur des cornières ; l'affaiblissement de la section, pratiqué sur des longueurs variant entre 25 et 60 mm., était tel que Y variait entre i/4 et 1/5 L Dans ces conditions, il fallait augmenter /' de 2 à 4 cm., pour faire concorder les résultats du calcul avec ceux de l'expérience.

§ 1. Equations fondamentales. — i03. Considérations générales. ~ 104. Calcul des déformations élémentaires en fonction de S, iq, C. — 105. Relations entre les composantes des actions moléculaires et les quantités

§ 2. Mouvements ondulatoires à l'intérieur d*un corps élastique. — 106. Equations du mouvement. — 107. Applications des formules générales aux ondes longitudinales. Ondes sonores. — 108. Ondes transversales.

§ 3. Remarques sur les solutions des équations fondamentales. — 109. Les équations fondamentales fournissent, pour un système donné de forces extérieures, un système bien déterminé S> ^> s et un seul.

§ 4. Théories de St^Venant. — llO. Flexion et torsion. — 111. Considérations sur les résultats de l'article précédent. — 112. Torsion, prismes de section transversale circulaire. — 113. Torsion (suite), prismes de section transversale elliptique. — 114. Assimilation du problème de l'article précédent à un problème d'hydrodynamique.

S 5. Théories de Boussinesq et de Hertz. Dureté des corps. — 115. Théorie de Boussinesq. — 116. Théorie de Hertz. — H7. Dureté des corps, en particulier celle des métaux.

§ 6. Etat élastique à Vintérieur d'une masse de terre meuble. — 118. Calcul des composantes des actions moléculaires. — 119. Calcul de la poussée des terres.

EQUATIONS FONDAMENTALES

tes. Considérations i^énérales. — Les composantes des actions moléculaires qui agis sent en un point quelconque d'un corps sonlliées entre elles parles équations (4) et (5) que

nous avons établies dans le chapitre premier en nous basant exclusivement sur les conditions universelles de Téquilibre. Les relations (4) permettent de réduire de neuf à six le nombre des composantes inconnues. Les équations (5), les seules que nous puissions établir à Taide des lois de la mécanique, «ont insuffisantes pour calculer 6 inconnues : le problème consistant à déterminer les composantes des actions moléculaires est, comme nous l'avons déjà reconnu précédemment, staliquement indéterminé. Pour faire cesser cette indétermination, nous avons fait, dans les^ chapitres qui précèdent, diverses hypothèses dont nous avons justifié l'emploi simplement en nous basant sur la concordance des résultats qui en découlent avec les données fournies par Texpérience. Celte méthode est absolument correcte au point de vue pratique ; par contre, elle est insuffisante au point de vue scientifique, car elle ne permet pas de ramener l'explication de faits et de phénomènes divers à quelques principes généraux. C'est au contraire ce qu'essaie de faire la théorie mathématique de Félasticité : elle se propose de déterminer Tétat élastique d'un corps sans avoir recours à d'autres lois qu'à celles de l'équilibre et à la loi de l'Elasticité. II est vrai que cette loi, qui définit les relations entre les déformations élastiques et les actions moléculaires corrélatives, ne nous est pas connue sous sa forme générale: elle prend au contraire différentes formes suivant les matériaux, ainsi que nous l'avons vu au chapitre IL Gomme, cependant, la loi de Hooke est celle à laquelle obéissent les matières les plus importantes pour les applications, c^est sur celle-ci que se basent les calculs de la théorie de l'élasticité ; les résultats obtenus ne sont donc rigoureusement valables qu'autant que la loi de Hooke est applicable.

Examinons d'abord si le problème, tel que le pose la théorie de l'élasticité, est réellement soluble. Soient Ç, y), ^, les composantes, mesurées suivant un système d'axes coordonnés, du déplacement élastique qu'un point a:, y, z du corps consi-

rnF-

déré éprouve sous l'influence d'un système de forces extérieures donné. Comme nous n'avons pas à considérer les mouvements que le corps peut effectuer dans son ensemble, mais simplement les déplacements qu'éprouvent ses éléments les uns par rapport aux autres, il est avantageux de choisir le système d'axes auquel sont rapportés .r, y, z et l, y), 2^^ de telle façon que l'un des plans de coordonnées, le plan xy par exemple, soit relié invariablement au corps considéré. Nous supposerons donc : V l'origine coïncidant toujours avec le même point du corps ; 2"^ Taxe des œ passant toujours par un autre point donné, et enfin 3^ le plan de xj/ contenant toujours un troisième point donné du solide. Le plus commode est de prendre ces deux points à une distance infiniment petite de l'origine ; naturellement, la droite qu'ils déterminent ne doit pas •comprendre l'origine.

Dans ces conditions, les quantités Ç, n, ^ sont indépendantes des mouvements que le corps effectue dans son ensemble; elles sont donc particulièrement aptes à définir les déformations élastiques. La loi de l'élasticité permet de calculer les composantes des actions moléculaires en fonction des déformations élastiques dont elles sont corrélatives : si l'on connaissait Ç, Y), 1^ en fonction de x, y, ^, c'est-à-dire si Pétat élastique du corps était entièrement connu, il serait donc possible de calculer les actions moléculaires qui agissent en chaque point. En tous cas, nous pouvons exprimer les composantes de ces actions en fonction des seules quantités Ç, y), 2[. Nous ramenons ainsi le nombre des inconnues du problème de sixèi trois ; les équations (5) suffisent dès lors avec les conditions aux limites pour déterminer complètement ces inconnues.

Nous avons déjà employé cette méthode lorsque nous avons traité le problème des enveloppes à parois épaisses, art. 89.

Il ne s'agit, en effet, là que d'un cas particulier très simple du problème général. La méthode que nous utilisons maintenant n'est qu'une généralisation de celle employée au dit article.

104. Calcul dett déformations éléiiieutaire« en fonction de S, r„ (. — Nous allons calculer d'abord les dilatations ^.r, ^y, tz. Considérons deux points distants initialement l'un de l'autre de dx^ leurs coordonnées sont donc :

x^y^z et x+dXyi/jZ.

Après la déformation, les coordonnées du premier deviennent :

et celles du second :

x + dx+l + ^dx,y-h ^+^ ^^> ^"^"^ +5^ ^^•

En effet, d'après les hypothèses que nous avons faites (page 18) sur la nature des actions moléculaires corrélatives des déformations élastiques, les déplacements du second point sont égaux aux valeurs que prennent les fonctions $, -n, ^ lorsqu'on y remplace x^ y, js, par x -+• dx^ y, z. On les obtient donc en développant Ç, n, ^ en série à l'aide de la formule de Taylor et en s'arrêtant au premier terme du développement.

L'allongement éprouvé par dx est :

^x= r- dx;

nous avons par suite, pour la dilatation, c'est-à-dire pour rallongement de l'unité de longueur, l'expression :

On trouverait de même sy, es en considérant l'allongement éprouvé par une longueur dy ou dz. Nous avons donc :

dri

dÇ dz

ÉLÉMENTS DE LA. THÉORIE M.\THÉMAlTIQUK DE L'ÉL.\STIGITÉ 373

Uq raisonnement analogue nous permet de calculer les valeurs de la distorsion Yxy qu'éprouve Tangle droit compris entre deux éléments de longueurs dx et dy^ menés parallèlement à l'axe des a; et à Taxe des y par le point x^ y^ z. Pour comparer la grandeur de l'angle déformé à celle de l'angle initial^ supposons Tun d'eux déplacé parallèlement à lui-même de façon que les sommets des deux angles coïncident (fig. 70). Il suffit que nous considérions les déformations des côtés de

l'angle dans le plan de la figure : en réalité, ces côtés se déplacent aussi perpendiculairement au plan xy ; mais ces dernières déformalions, qui peuvent être envisagées comme une rotation ayant lieu autour de Taxe des X pour Tun des côlés et autour de l'axe des y pour l'autre, ne modifient pas l'angle que nous voulons calculer. De même, les dilatations n'influencent pas la valeur de Tangle. Il nous suffit donc de remarquer que l'extrémité de Télément dx se déplace parallèlement à Taxe des y d^une quantité égale à

j- dx^ et que l'extrémité de dy se déplace dans le sens de Taxe

Fig. 70.

dï

des X de---^ dy. De plus, nous voyons que l'angle droit initial

devient aigu si les dérivées partielles considérées sont positives.

La distorsion est très petite ; nous pouvons par conséquent remplacer l'angle, exprimé en longueur d^arc, par sa tangente trigonométrique. Nous avons donc :

Cette formule n'est rigoureusement exacte qu^autant que Ç, T„ ^ sont infiniment petits par rapport à x, y, z. Cette condition n'est pas absolument remplie dans les déformations réelles

874 Chapitre xi

d^un corps élastique, toutefois l'erreur résultaat de ce fait est généralement négligeable. — On procéderait de même pour les distorsions fyz et yzx» On peut du reste écrire directement les formules pour ces dernières en permutant cycliquement i, 71, ^ et x^ y, Zy dans la relation ci-dessus. On a donc :

dy ■*" dic

Yyz —

dr, rfÇ ' dz "*" dy

rfC dl dx dz

Calculons encore la variation de volume qu'éprouve le corps au point considéré. Considérons le parallélipipède infiniment petit dx^ dy, dz, et supposons d'abord que seules les distorsions Y se produisent. Si celles-ci étaient des quantités finies, elles entraîneraient une variation de volume car, par exemple, le rectangle dx dy se transformerait en un parallélogramme d'aire :

dx dy cos yary.

Si yxy est infiniment petit du premier ordre, son cosinus ne diffère de Tunité que d'un infiniment petit du second ordre. La variation de volume due aux distorsions est donc négli* geable. Cette conclusion n'est, il est vrai, absolument rigoureuse que si y, tij Ç sont réellement infiniment petits.

Supposons maintenant que les dilatations se produisent. Il en résulte une variation du volume du parallélipipède qui est une quantité infiniment petite du premier ordre par rapport au volume initial. Dans la déformation, ce dernier devient :

dx (1 -f- ex) dy (1 + ey) dz (1 + eg),

ou, si l'on multiplie et si on laisse de côté les infiniment petits d'ordre supérieur au premier :

dx dy dz (1 + e» -j- ey -{- es).

Soit e la variation de l'unité de volume, nous avons :

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTiaTÉ 375

OU, en tenant compte de (287) :

t05. Relations entre les eomposantes des aeliéas moléculaires et les quantité» S, m, ç. — Avec Taide des formules précédentes, il est facile de calculer les composantes des actions moléculaires en fonction des quantités ^, n, C Etant donné le principe de superposition, nous avons :

par suite, en tenant compte des équations (288), nous obtenons :

Syz = Szy = G^j^4-~^.

rfC\ dy)

Nous avons vu que la loi de Hooke permet d'établir entre les composantes des actions moléculaires et les dilatations élémentaires les relations suivantes :

Eeof = Rx (Ry4- Rjs)!

Eey=Ry-i^(Rz + Rx). ) (291)

Ecjt = Ra: (R« + Rw).

En additionnant et en remplaçant la somme £« +ey H- ezf par e, nous obtenons :

R. + Ry+R,=^j^Ee. (292)

La première des équations (291) peut s'écrire : Eex = ^^^R« - -(Rx + Ry + Rz)

d'où, en résolvant par rapport à Rx :

^^=^x{'*-^;;r=rt)'

Celte expression peut se simplifier encore un peu, en tenant compte de la relation :

Nous avons finalement, en opérant cette simplification et en tenant compte des relations (287) :

\ar m

Les deux dernières formules s'obtiennent en permutant cycliquement Ç, yi, 2^ et ar, y, r, dans la première.

Le problème est ainsi résolu : nous avons exprimé les composantes des actions moléculaires en fonction de ^, y^, ^. Il ne reste plus maintenant qu'à introduire ces expressions dans les conditions générales d'équilibre représentées par les équations (5). Ces dernières sont delà forme :

d^x , d^yx , dSzx dx ' dy ' dz

dSxy

dSxs dx

dSyt

'dT

kjh

en substituant dans la première les valeurs trouvées (290) et (294) y nous obtenons :

2G (^ + -L-^-îU G l'^ ^ ^)

\dx^ ' m^2dxj \dy^ ' dxdyj

\(/x" ' dxdx) ou, en ordonnant :

W ' rfy* dW Xda^'^'dxdy'^ dxdz)

La somme des dérivées partielles du second ordre d'une fonction telle qu'elle se trouve dans la première parenthèse de l'expression ci-dessus est une quantité qui revient très fréquemment dans toutes les théories de physique mathématique. L'opération qui consiste à former celte somme est désignée sous le nom d'opération de Laplace, du nom du mathématicien qui en a fait usage le premier dans la théorie du potentiel. Pour abréger, on la représente généralement par un signe symbolique ; nous emploierons le signe A*, celui-ci représente donc l'opération :

rf* rf« rf«

La seconde parenthèse de la relation précédente peut s'écrire :

dx \dx dy dx)

ou, simplement, si l'on tient compte de (289) :

de dx

Par conséquent, nous avons finalement, si l'on pratique encore des transformations analogues sur les deux autres équations (5) :

S^* A. m de Y i /qqa\

*' ' wi — 2 rfy G '

wi — 2 ar G

Telles sont les équations sur lesquelles se base toute la théorie de Télasticité. 11 convient de remarquer que ce sont ^ là simplement les équations (5) mises sous une nouvelle forme

et non pas de nouvelles relations. Comme leur signification géométrique est moins reconnaissable sous cette forme, une confusion pourrait facilement se produire.

Remarquons enfin qu'il est possible, par Temploi de la méthode des vecteurs, de réduire les 3 équations (296) à une seule, qui exprime simplement la condition que la somme de toutes les actions moléculaires qui agissent surTélément considéré est nulle.

Si l'on désigne par u le vecteur dont les projections sont 5» >î, ^1 ®^ P^^** P 1^ forceayant pour composantes X, Y, Z, nous pouvons remplacer les équations (296) par la suivante :

Dans cette expression, A e est un symbole destiné à représenter l'opération qu'il faut effectuer sur e ; comme nous ne ferons pas usage de cette formule dans la suite, nous ne noas étendrons pas davantage sur la signification de A.

On voit par cet exemple les simplifications que peut apporter dans le calcul l'emploi de la méthode des vecteurs ; ici, une seule équation suffit pour exprimer la même conditioa que celle que définissent les trois relations (296).

MOUVEMENTS ONDULATOIRES A LTNTÉRIEUR