D UN CORPS ÉLASTIQUE

ioe. Eqoaiiontt da inoaveineut. — Dans la plupart des problèmes de la théorie mathématique de Félasticité, la résultante P (X, Y, Z) des forces d'inertie ne joue qu'un rôle très secondaire. En général, elle se réduit simplement au poids du corps et n'exerce le plus souvent aucune influence sensible; il serait donc possible de supposer le corps dépourvu de poids et de ne considérer que les forces agissant à la surface. Dans ce cas, les équations (296) à (298) se simplifient : le dernier terme du membre de gauche disparaît. Dans les paragraphes suivants nous nous occuperons exclusivement de cas où cette supposition 6st permise ; par contre nous allons traiter ici une application des équations (296) dans laquelle il est nécessaire de conserver ces derniers termes.

Si la masse du corps ne se trouve pas à Tétat de repos, mais exécute au contraire un mouvement varié, les forces élastiques qui régnent à la surface d'un élément de volume quelconque et le poids de cet élément doivent posséder une résultante qu'il est possible de déterminer d'après les lois de la dynamique, en partant de Taccélération de Pélément. Considérons le parallélipipëde élémentaire dx^ dy^ dz^ et soit |ji Tunité de masse (c'est-à-dire le quotient du poids spécifique par g^ l'accélération due à la pesanteur); la masse du parallélipipëde sera :

^dxdydz.

Nous devons envisager maintenant les coordonnées \y t\^ C non plus seulement comme fonction du lieu, mais encore comme fonction du temps ; par conséquent, les composantesde l'accélération de l'élément considéré sont :

dh'

En vertu des lois de la dynamique, on a pour les composantes de la résultante de toutes les forces agissant sur Télément les expressions suivantes :

jjL — dx dy dz, V-yzdx dy dz^ \k'—dxdy dz.

Faisant usage du principe de d'Alembert, nous pourrions dire aussi que les forces agissant sur Télément font en chaque instant équilibre à une force, appelée force effective^ dont les composantes sont égales et de signe contraire aux valeurs données ci-dessus. La force effective est, comme le poids et les autres forces d'inertie, proportionnelle à la masse ; le mieux est donc de la réunir à P ou à ses composantes X, Y^ Z. Il suffit pour cela de la rapporter à l'unité de volume, c'est-à-dire de supprimer dans les expressions ci-dessus le facteur dx dy dz, et d'ajouter les expressions restantes changées de signes à X, Y ou Z.

Comparativement à la force effective, qui, dans le cas d'oscillations très rapides, peut atteindre de très grandes valeurs, le poids du corps est en général insignifiant. Du reste, le poids n'exerce sur les mouvements ondulatoires aucune inQueace, attendu que c'est une force constante, agissant toujours dans les mêmes conditions sur le corps. Nous pouvons donc supposer celui-ci dépourvu de poids (mais non de masse), c'est-àdire nous pouvons nous figurer le corps transporté sur la lune ou sur tout autre astre où l'attraction due à la gravitation est très faible, sans que rien soit changé aux mouvements oscillatoires, à supposer naturellement que les autres conditions restent les mêmes. Dans cette hypothèse, la seule force d^inertie est la force effective ; les équations (296) prennent par suite la forme :

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ 38i

de ±dx

Gdt^

Il d*-n 'Gdt^

de ^dz~'

IJ^d'K Gdt*

Telles sonl les équations qui déHnissent la loisuivant laquelle une déformation élastique se transmet à Tinlérieur d'un milieu élastique. L'expérience montre que cette propagation a lieu sous forme d'onde. Nous allons appliquer d'abord ces résultats à une espèce particulière d'ondes, savoir aux ondes sonores.

107. Applieation des rorniiilcs s^éuérale* aux onde» lon^pitiidiualefi. Oaden sonores. — Considérons une onde sonore plane qui se propage dans le sens de l'axe des œ. Ëtaht donnés les résultats de la physique expérimentale, qui démontrent que le mouvement du son est un mouvement périodique, pouvant être représenté dans le cas d'un ton simple par une fonction sinusoïdale du temps, nous sommes conduits à poser, comme solution possible des équations (298), le système de valeurs suivant :

i = Asin27r(| — ^^;r,= o;Ç = o. (299)

Le calcul que nous allons entreprendre a précisément pour but de montrer si ce système qui correspond aux résultats de l'expérience est bien la solution des équations (298). Avant do résoudre le problème, il est bon d'être éclairé sur la signification des constantes qui figurent dans les expressions ci-dessus : A est Pamplitude de l'ondulation, X représente la longueur de l'onde, car, si l'on augmente x de X sans modifier le temps, l'angle dont nous considérons le sinus augmente de 2t., de sorte que le sinus lui-même ne varie pas. De même, on voit facilement que t représente la durée d^une oscillation, car

si t varie de t, le sinus et par suite \ reprennent la même valeur. Supposons maintenant que xeX, t augmentent simultanément, Tun de ^x^ l'autre de Lt ; il se peut fort bien que cette augmentation ne modifie pas la valeur de \^ et il suffit pour cela quelesquanlités b^x et A/ satisfassent à la relation

On dit alors que Tonde s'est déplacée de bx dans le temps A^; en effet, au bout du temps A^ toutes les phases du phénomène se reproduisent dans le même ordre, mais en des points distants de A^ des précédents. On peut aussi parler de la vitesse avec laquelle Tonde avance ; il convient alors de remarquer qu'il ne s'agit pas là, comme en mécanique, de la vitesse d'un corps, par exemple celle du mouvement qu'exécute Télément considéré, mais de la vitesse avec laquelle un certain état élastique bien déterminé se propage à travers le corps. Soit V la vitesse du son ; on a, par définition,

ou, si Ton tient compte de la relation ci-dessus,

C4es remarques failes, nous allons vérifier si le système de valeurs (299) satisfait les équations (296). Rappelons encore que ces dernières ont été établies en se basant exclusivement sur les conditions universelles d^équilibre et sur la loi de Hooke, de sorte que, pour tout corps satisfaisant à cette dernière, les résultats que nous allons en tirer sont rigoureusement exacts. En substituant les valeurs (299) dans (289), nous trouvons :

^ = A -T cos 2u

de ds

La seconde et la troisième des équations (296) sont satisfaites, car tous leurs termes sont nuls séparément. D'après (299) nous avons :

- = A^cos2^(<^-;j

dl dl

A'Ç se réduit donc à ;

€ est-à-dire à la même valeur que —•

Si nous difiérencions \ deux fois par rapport à /, et si nous substituons les différentes valeurs trouvées dans la première des équations (298), celle-ci devient :

-ÏEî'ACf)'si.K?-0=-S-*(?)-K?-;)-

On reconnaît que cette équation est satisfaite identiquement, quelle que soit Tamplitude A (c'est-à-dire quelle que soit l'intensité du son), pourvu que la condition

2m— 2/1 \» pi/l\« m

entre la longueur d'onde X et la durée de Poscillation t soit satisfaite. Nous tirons de cette dernière relation :

). Am— 2 G ,^^ ,

Celte formule est en parfait accord avec les résultats de rexpérience, en ce sens qu'elle ne fait dépendre la vitesse du son que des propriété physiques de la matière et non de Tarnplitude ou de la longueur de Tonde.

Il est clair que le calcul que nous venons de faire n'est valable que pour les corps élastiques solides. Pour les ondes sonores dans Tair, on peut établir une théorie analogue. — Si Ton prend, par exemple, pour une masse d'acier doux,

m = ;^ , G = 850000 kg. par cm* lu

et comme poids spécifique 7,7, on a d'abord pour la niasse de l'unité de volume :

O.OOTTkg. ^gg ^ ^^3 kg.Xsec..

cm . cm*

icm».X981 — sec*

et par suite :

sec. sec.

cm.'

On sait que la vitesse du son dans Tair est de 333 — ^' ^ sec.

Dans Tacierdoux, elle serait, d'après le calcul, environ 20 fois plus grande.

L'expérience montre, en effet, que la vitesse du son dans les corps solides est beaucoup plus considérable que dans Tair.

Le fait que les lois de propagation du son, à l'intérieur de malièros telles que les pierres, la maçonnerie, etc., correspondent d'une manière très satisfaisante aux résultats tirés de la loi de Hooke, constitue une forte présomption en faveur do la justesse de l'hypothèse qui prétend que ces corps obéissent sensiblement à celte loi dans le cas de très petites défor-

mations élastiques, comme celles produites par les ondes sonores.

C*est là un point quil no faudrait pas perdre de vue lorsqu'on élablit une loi d'élaslicilé empirique pour les maté^ riaux cités plus haut. Nous avons déjà remarqué que la formule de Schûle, dont nous avons parlé dans le deuxième chapitre, est précisément eu contradiction avec ce fait. Il faudrait donc démontrer, si Ton voulait la conserver à tout prix, qu'en admettant cette loi, il pourrait se produire des ondes sonores ne contredisant pas les résultats de Texpérience. Le calcul, pour peu qu'il soit habilement exécuté, ne saurait présenter de trop grandes difficultés.

Si Ton fait m =2 dans la formule (301), on obtient t; = oo. Nous avons déjà vu que m ne pouvait prendre une valeur inférieure à 2, et que, dans ce cas, le corps ne subit pas de variation de volume par suite d'une déformation élastique. Ainsi, dans un corps incompressible, une onde longitudinale se transmettrait avec une vitesse infinie : en somme, il n^est plus possible de parler d'un mouvement ondulatoire ; il y a simplement communication immédiate à toute la masse d'un ébranlement causé en un certain point.

I09. Onden transTersales. — On a à considérer, en physique, non seulement des ondes longitudinales, mais aussi des ondes transversales. Pour représenter une de ces dernières, nous posons :

$=Asin27w(^ — ^) r, = (? t; = o. (302)

L'onde se propage encore dans le sens de Taxe des œ comme dans le cas précédent ; par contre, les oscillations se font dans le sens de l'axe de y. Le terme d'onde transversale provient précisément de ce que la direction de Toscillation est perpendiculaire à la direction de propagation. Les constantes A, X, T ont la même signification que précédemment ; on a

ici :

386 CHAPITBE XI

It T

Nous allons vérifier si le systëme de valeurs (302) satisfait aux équations (298). Nous trouvons d'abord immédiatement :

rfç . rf« . di 6 = — 4- — +— =o;

dx dy dz

les ondes transversales jouissent donc de la propriélé de se produire sans entraîner une variation de volume de la matière. Par conséquent, un corps incompressible tel que le fluide éther de Tancienne Optique physique ne peut transmettre que des ondes transversales et pas d'ondes longitudinales. Ce résultat concorde avec le fait démonlré par les phénomènes de polarisation : ceux-ci permettent de constater en effet que les ondes lumineuses sont transversales. Dans ces théories de rOptique, les formules (302) représentent un rayon lumineux simple, puisque toutes les ondes sont de même longueur, et polarisé dans un plan, puisque toutes les ondulations ont toutes lieu dans le plan xy. Dans la théorie de Ncumann, le plan xy porte le nom de plan de polarisation, tandis que dans celle de Fresnel ce nom est donné au plan xz.

e étant nul^ les équations (298) se simplifient et peuvent s'écrire :

A^ = iSM (303)

^ Gdt'

Ce sont là les équations qui servent de base àToptique physique, aussi bien dans les théories anciennes de Neumann ou Fresnel que dans la théorie électro- magnétique de la lumière. Quoique partant d'hypothèses absolument différentes, celte théorie conduit en effet aux mêmes équations fondamentales que la théorie de l'élasticité.

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÊLASTIŒTÉ 3fi7

Les valeurs 302 satisfont,comme on le voit immédiatement^ la seconde et la troisième des équations (303). Il suffit de vérifier la première. Nous avons :

^■^ = g=-HT)'='-^(?-T)-

par conséquent, l'équation en question est identiquement satisfaite si

,27r»x II /27r\*

[l )-G\rJ'

Nous tirerons de cette relation la vitesse de transmission des ondes transversales :

Cette vitesse est donc toujours plus petite pour une matière donnée que celle des ondes longitudinales. Les fluides ne peuveiU transmettre d'ondes transversales, mais seulement des ondes longitudinales, c'est pourquoi les ondes transversales émises par les corps solides ne sont pas perçues directement par nos sens ; elles ne sont en effet pas transmises à nos organes par l'air*

La vitesse de la lumière est connue; aussi, lorsqu'on considérait encore la lumière comme un mouvement vibratoire de Téther satisfaisant aux lois de Télasticité des corps solides, pouvait-on utiliser Téquation (30i) pour déterminer la masse de l'unité de volume de l'éther, à condition de calculer G par un autre moyen. Or, il existe en effet un procédé pour déterminer G : on connaît, par exemple, la quantité d^énergie que la terre reçoit du soleil par seconde. Cette énergie, sur son parcours entre le soleil et la terre, se trouve emmagasinée dans Péther sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle interne. On a pour cette dernière, si Ton rapporte le

calcul à Tunité de volume (formule 45), —, ou - Gy*. Si donc

Ton mesure ou si l'on détermine par un procédé quelconque y, on peut, calculer G et par suite {x. Les estimations entreprises selon cette méthode conduisent toutes à des valeurs excessivement petites pour |jl. On a cru reconnaître dans ce fait une preuve en faveur de la justesse de la théorie entière. Depuis que Ton a démontré expérimentalement les rapports qui existent entre les phénomènes optiques et les phénomènes électromagnétiques, ces considérations n'ont plus qu'une valeur historique.