FONDAMENTALES
€•9. Les équations fondamentales fournissent pour eiiaqne système de forées extérieures donné un système bien déterminé de valeurs pour S, m, Ç et
un seul. — Dans ce qui suit, nous supposerons toujours le corps au repos, de plus, nous admettrons que le poids est négligeable devant les forces agissant à la surface du corps. Celles-ci sont considérées comme données.
Dans ces conditions, les équations fondamentales prennent la forme :
de
^dx
de
Idy
de
^2ds
Considérons un système de valeur ^, y), Ç satisfaisant ces équations ; nous pouvons dire qu'il représente un système pos-
siblc de déformations, c'est-à-dire que ce syslëmc est compatible avec les coaditions d'équilibre que doivent satisfaire en chaque point les composantes des actions moléculaires. On peut se demander si le système trouvé est bien celui qui correspond à Tétat élastique réel du corps. Il se pourrait, en effet, qu'il y eût d'autres systèmes de valeurs qui satisfissent aussi les équations,ei qui représentassent par conséquent aussi des états élsisliques possibles. Nous allons démontrer qu'il n*en est pas ainsi, mais, qu'au contraire, il n'existe qu'un seul système de valeurs Ç, r^, !^ qui, pour un système de forces extérieures donné, satisfasse aux équations (305) et aux conditions aux limites, et que, par conséquent, dans chaque cas particulier, le problème est soluble sans ambiguïté.
Les quantités i, y\, ^ étant connues, il est possible de calcu> 1er les valeurs des composantes dos actions moléculaires sans ambiguïté à l'aide des formules (290) et (294). En particulier, à chaque système i, yj, t^ correspond à la surface du corps, un système d'actions moléculaires bien déterminé, et pour que les valeui's Ç, tj, JJ correspondent à l'état élastique réel, il faut que ce système d'actions moléculaires fasse équilibre aux forces extérieures. Cette dernière condition est exprimée par les équations (6). Celles-ci doivent donc être satisfaites par hypothèse, si nous y introduisons le système de valeurs Ç, T,, JJ considéré.
Supposons maintenant pour un instant qu'il existe, outre le système Ç, r|, Ç, un autre groupe de valeurs ?', r/, C, qui satisfasse aussi les équations (305) et les conditions aux limites.
Dans ce cas, les différences
correspondent aussi à un état élastique possible ; en effet, on a :
e''=e—e\ A*r = A'$ — A"5', etc.
Zn CHAPITBE XI
Si Ton substitue dans la première des égoations (305), par exemple, il vient :
relation qui est évidemment satisfaite, puisque Ton a par hypothèse :
Ait I m de
m — 2 rfdp
On raisonnerait de même pour les deux autres équations (305). On aurait pu du reste prévoir ce résultat, puisque les équations (305) sont linéaires.
A ce système \'',i\ ^ Ç" correspond aussi un système d'actions moléculaires bien déterminé. Gomme le montrent les formules (290) et (294), on a :
Rx = R« — — Roj , etc.
Nous avons admis que Ç, t^, 2^ et ^', r\\ X^ satisfont à toutes les conditions aux limites ; donc, à la surface du corps en particulier, les actions moléculaires Rx, etc., ainsi que R*' ,
forment un système en équilibre avec les forces extérieures* Les actions moléculaires K^\ correspondent donc à un état dans lequel aucune force extérieure n'agit sur le corps; en d'autres termes, ce système correspond à l'état naturel du corps.
Nous avons fait remarquer en son temps que des actions moléculaires, les actions moléculaires de fabrication, pouvaient exister à l'intérieur d'un corps sans que celui-ci fftt soumis à des forces extérieures. Mais ces actions moléculaires latentes dépendent de causes particulières, indépendantes du problème que nous traitons ; nous ne pouvons par conséquent pas en tenir compte. Nous ne considérons ici que les actions moléculaires qui se développent sous l'influence des charges extérieures, et nous supposons que ces
ÉLÉMENTS DE Lk THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ Stl
actions disparaissent avec la cause qui les produit* Dans ces eonditionSf noas devons poser :
R^" = 0, Ry" = 0,.... etc.
De là résulte immédiatement :
et par suite
Ainsi le système ('^ V» C^ dont nous avions admis Texis* ience est identique à Ç, y|, 2^, Les équations fondamentales n'admettent, dans chaque cas donné, qu^une seule solution» et nous soÉnmes par conséquent certains d^avoir trouvé l'état élastique réel, si Tétat considéré satisfait aux équations (305) et aux conditions aux limites.
