THÉ0ME8 DE SAINT-VENANT

t lO. FleiKion et torsion — Lorsqu e nous avons traité delà flexion et de la torsion dans les chapitres précédents, nous avons admis que les fibres parallèles à Taxe longitudinal ne sont soumises à aucun effort de compression ou d*extension transversal et que, dans les plans passant par Taxe longitudinal, les actions moléculaires tangentielles sont nulles. En d'autres termes, si nous prenons Taxe du prisme pour axe des r, sons avons supposé :

Ry=R,==:Sys=0. (306)

Nous n'avons du moins tenu aucun compte de ces actions moléculaires ; nous avons admis implicitement qu'elles n'existaient pas, ou qu'elles étaient négligeables devant celles dont nous avons calculé Tintensîté*

à92 CHAPITRE XI

Nous pouvons nous proposer nnaintenant de rechercher jusqu'à quel point ces hypothèses sont permises et de déterminer à quel état élastique la théorie de Télasticité conduit lorsque les conditions (306) sont rigoureusement remplies. C'est là le problème qu'a résolu pour la première fois de Saint- Venant dans ses célèbres travaux.

Il est évident que Tétat élastique défini par (306) n*est pratiquement possible, que si aucune des forces extérieures n'agit perpendiculairement à Taxe du prisme, car, si tel n'était pas le cas, il faudrait qu'à la surface au moins, là où ces forces agiraient, les composantes indiquées dans les équations (306) fussent différentes de zéro,afin que les équations de condition (6) fussent satisfaites. La théorie de de Saint- Venant n'est donc rigoureusement exacte que lorsque les forces extérieures sont appliquées aux sections transversales extrêmes seules des prismes considérés.

Il pourrait aussi y avoir à la surface du corps des forces extérieures parallèles à l'axe longitudinal, toutefois ce cas est sans importance pratique.

Si nous exprimons les composantes des actions moléculaires en fonction des déplacements élastiques, à Taide des équations (290) et (294),nous pouvons remplacer les relations (306) par les suivantes :

du e

di/ ^m— 2 '

rfÇ , e

dz m — 2 '

rfjî rfÇ

dz ' dy '

en tenant compte de la signification de ^, nous pouvons écrire

aussi :

mj-2 rfç

m dx '

dy ds mdx ' ^ ^

If ' £? ds dy

Les relations (305) preaaent par suite la foriue :

dx'

rfx'

Il n'a toutefois pas encore été tenu compte de !a troisiëi des équations (307). Nous devons maintenant chercher quel) sont les conditions pour que les relations (307) et (306) soie compatibles. A ceL effet, nous allons cherchera éliminer I variables i\ et >, pour ne conserver que \.

La dernière des relations (307) donne :

d'où:

di* rfy dt

et par suite, si l'on tient compte de la seconde des formul (307) :

En introduisant celte valeur dans la seconde des équatio (308), nous trouvons finalement :

dx* dxdy ^ '

Nous procédons de même pour exprimer s en fonction de De la dernière des équations (307), nous tirons :

d'où, en vertu de la seconde des relations (307) :

dy* M dxds

En substituant dans la dernière des fornmles (308)^ nous

trouvons :

dx* dxdz

La dernière des expressions (307), différenciée deux fois par rapport à Xj donne :

dcc^ds dx^dy

en tenant compte des formules (310) et (312), nous pouvons amener cette équation à la forme :

dxdydz ^ '

Nous avons ainsi obtenu une condition importante que doit nécessairement satisfaire le déplacement élastique \ parallèle à Taxe des x, W est facile d'établir encore d'autres relations auxquelles les dérivées partielles du troisième ordre de \ doivent également remplir.

De (310), nous tirons :

rf»i? rf>g

ds^dy dxdxf^

d'autre part, en différenciant deux fois la seconde des formules (307) par rapport à or, nous obtenons :

iPn 1 rf»Ç

d3t^dy mdx*'

De la comparaison de ces deux expressions résulte :

dxdy^ m dx* De même, (312) donne ;

'dx'dz~

dxdz}^

la seconde des formules (307)

rf>Ç

1 rf'Ç

da^dz

mfite3»

Nous n'avons pas otilisé^ jusqu'à présent, la première des relations (308) qui ne renferme que des dérivées partielles de Ç. Comme nous connaissons déjà certaines relations entre les dérivées du troisième ordre de celle fonction, il est tout indiqué de différencier l'équation en question une fois par rapport à j:. U vient :

rfx» dxdy^ dxdz*

Nous pouvons remplacer le second et le troisième terme du membre de gauche par les valeurs trouvées précédemment, (314) et (31 S) ; Texpression prend alors la forme :

d'où résulte immédîatemenl, en vertu des formules précédentes :

dxdz*~^'

Les formules (313), (316) et (3!7) permettent de se faire une idée claire des propriétés de Tinconnue Ç. Pour plus de clarté, nous pouvons écrire ces formules sous la forme suivante :

Jg/rfl\ rf'MN rf'/riS^ d} /rig\ ,,.-..

dx\dx/ dy\dx) dzAdxl ~ dydzKdx) ~ ^' ^ ^

Il n'est pas possible d'en tirer directement la forme analytique de la fonction Ç, mais bien par contre celle de t-, c'est-à-dire celle de la dilatation dans le sens de Taxe longitudinal du prisme, j- ne peut contenir x qu'à la première puis-

sance, puisque sa seconde dérivée par rapport à x est nulle ; de même, il faut que cette expression soit linéaire par rapport ày et àz. Enfin, elle ne peut renfermer de terme contenant à la fois y et z. L'expression la plus générale qui satisfasse aux conditions (318) est par suite do la forme :

— = a^ + a^x H- a^y 4- «jS + a^xy 1 a^xz^ (319)

dans laquelle les quantités a sont des quantités indépendantes de x^ y, z, mais dépendantes des forces extérieures.

Examinons de plus près la signification du résultat auquel nous arrivons. D'après la loi de l'élasticité, nous avons :

Ro? = Eea; = E — ,

puisque Ry et Rz sont nuls. Donc, en multipliant Pexpression l3l9) par E, nous obtenons l'action moléculaire Rj?. Noiis trouvons par conséquent pour Rar une fonction linéaire des coordonnées. Or, c'est précisément là Thypothèse dont nous étions partis au chapitre III. Nous voyons donc que cette hypothèse n'est pas arbitraire, comme nous Tavions présentée, mais qu'au contraire elle est, pour les corps obéissant à la loi de Hooke, une conséquence nécessaire des suppositions faites, savoir Ry = R^ == Syz = o.

Nous arrêterons ici nos recherches, car en continuant nous ne ferions que retrouver les résultats auxquels nous sommes arrivés précédemment en introduisant hypothétiquement la loi de répartition linéaire des actions moléculaires. En particulier, nous avons déjà trouvé qu'il est possible de satisfaire à toutes les conditions d'équilibre sans avoir re-

ÉLÉMENTS de; la THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ 397

cours aux forces intérieures Ry, Rz et Syz ; il est donc superflu de démontrer une fois de plus que les équations (307) et (308) sont compatibles si la condition (318) est satisfaite, et qu elles correspondent à un état élastique pouvant toujours être réalisé en appliquant des forces extérieures de grandeur et de direc*. lion convenables dans les sections d'about du prisme.

Itl. Considérations sup l'article préeédent. — La

théorie que nous venons d'exposer parait, à première lecture, longue et compliquée. Si, toutefois, on se donne la peine de suivre le développement pas à pas, on reconnaît que chaque étape, considérée en elle-même, est en somme très simple et facile à saisir. La suite des opérations, par contre, parait peu claire, on ne voit pas bien le but de telle ou telle opération et Ton ne se rend d'abord pas bien compte pourquoi les résultats sont combinés entre eux de telle façon plutôt que dé telle autre. Il faut songer que le problème consiste à vérifier si les valeurs trouvées pour trois inconnues satisfont à six équations données. Cette vérification ne peut se faire qu'en éliminant deux des inconnues de façon à n'avoir plus à opérer qu'avec une seule. Or, on sait que, dans toute élimination de ce genre, il est en général possible d^arriver plus rapidement au but en employant certains artifices de calculs qu'en suivant la méthode générale.

On peut se demander quel est le résultat pratique de la théorie que nous venons d'établir, et quelle est son utilité pour l'étude des phénomènes de flexion. Pour répondre à la question, nous devons nous rappeler avant tout que, ainsi que nous l'avons démontré à Tarticle 109, tout état élastique possible devient réel si les forces extérieures qui agissent à la surface du corps sont compatibles avec le système des actions moléculaires superficielles qui correspond à la solution considérée. Envisageons, par exemple, un prisme encastre à une extrémité et sollicité à l'autre par une force extérieure. Pour que la solution fournie par la théorie de de St- Venant

if"

GHAP1TR6 XI

■■•iV •

représente Tétàt élastique réel, il faut d'abord que la surface du prisme ne soit soumise à aucune force extérieure. Cette condition est remplie ici. De plus, la charge ne doit pas être appliquée à l'extrémité libre d'une manière quelconque; il faut, au contraire, qu'elle soit distribuée sur cette section suivant la même loi que celle que nous avons trouvée pour les actions moléculaires tangentielles dans un prisme travaillant à la flexion. Eniin, il faut que Pencastrement soit de telle nature que les déformations correspondent à la solution considérée, c'est-à-dire que la dilatation transversale des fibres qui travaillent à Textension et la contraction transversale des fibres qui travaillent à la compression ne soient pas rendues impossibles.

Si toutes ces conditions sont remplies et si le corps obéit à la loi de Hooke, la solution de de Saint-Venant représente indubitablement l'état élastique réel. Il est évident que de telles conditions ne seront jamais rigoureusement remplies dans la pratique ; aussi l'importance de la théorie de de Saint- Venant serait-elle de beaucoup réduite s'il n'était possible de prouver que les résultats auxquels elle conduit ne sont pas sensiblement modifiés quand la façon dont sont appliquées les forces extérieures s^écarte quelque peu de celle que demandent les conditions aux limites du problème.

Reprenons l'exemple ci-dessus et supposons par exemple que la charge qui agit sur le prisme soit constituée par un poids attaché à une corde entourée autour de Textrémité do prisme. Il est certain que dans le voisinage immédiat de cette extrémité, la répartition des actions moléculaires sera absolument différente de celle que donne la théorie de de Saint- Venant, car l'état élastique réel doit satisfaire à de toutes autres conditions aux limites. Mais nous allons voir que plus on s'éloigne de l'extrémité, moins la façon dont la charge est appliquée exerce d'influence. Supposons que l'on applique à Textrémité du prisme un système de forces en équilibre formée d^unepart, par des forces distribuées selon la loi exigée par la

théorie de de Saint- Venant et, d'autre part, des foi'ces égales et de signe contraire à celles que la corde exerce sur le prisme; les conditions du problème de de Saint- Venant sont alors exactement remplies. Par conséquent^ la différence entre les répartitions des actions moléculaires dans les deux cas différents d'application de la charge, est donnée par les actions moléculaires que développe le système auxiliaire de forces extérieures que nous avons ajouté. Ce système de forces en équilibre, concentré à Texlrémité du prisme, peut produire en ce point des déformations assez fortes et par suite des actions moléculaires relativement intenses ; mais il est cer* tain, d*autre part, que Tinfluence de ce système cesse rapidement de se faire sentir lorsqu'on s'éloigne de l'extrémité. Il est évident que si nous serrons l'extrémité d'un rail entre les mâchoires d'un étau, par exemple, de telle façon que les forces appliquées se fassent équilibre, Tinfluence du traitement subit par la pièce au point considéré doit disparaître rapidement lorsqu*on s'éloigne de ce dernier.

Nous avons ainsi montré que la façon dont les forces sont appliquées n'exerce une influence sensible que dans le voisinage des points d'application. Les solutions fournies par la théorie de de Saint-Venant sont donc encore applicables même lorsque les conditions aux limites exigées par celle-ci ne sont pas strictement remplies.

A une distance égale au triple ou au quadruple de la plus grande des dimensions de la section, il n^y a certainement plus lieu de s'attendre à un écart quelconque. C'est ce fait qui donne en somme à la théorie de de Saint- Venant toute son importance.

Nous nous étions proposé de trouver pour les formules de la Résistance des Matériaux une base plus solide que celle formée par les différentes hypothèses faites dans divers cas particuliers sur les déformations ou la répartition des actions moléculaires. Ce but est maintenant atteint. Jusqu'à présent, il est vrai^ il s'est agit d'une confirmation subsé-

quente de résultats acquis plutôt que d'établir de nouveaux résultats.

En ce qui concerne la flexion, remarquons expressément que seule la loi hypothétique de la répartition linéaire des actions moléculaires se trouve confirmée et non pas l'hypothèse de Bemouilli des sections demeurant planes dans la déformation. En effet, cette hypothèse n'est généralement pas exacte.

tt:9. Torsion. Prisme de seetion iransversaie eiroulaire. — Le calcul de l'article 110 pouvait s^appliquer à un prisme travaillant simultanément à la flexion et à la torsion.

Nous allons restreindre notre étude au cas de la torsion seule. Il suffit pour cela de poser Rx = o^ ou, ce qui revient au même,

Cette condition est compatible avec Téquation (319). Il suffit de supposer que toutes les constantes a s'annulent. De Téquation (320) nous tirons, en intégrant :

où (p désigne une fonction encore inconnue des coordonnées de la section. En tenant compte de (320), nous pouvons écrire les équations (307), qui définissent Tétat élastique considéré sous la forme :

tf = 0, dri dç

ds dy

Les équations (308) se simplifient aussi beaucoup, elles deviennent :

— -I-— ^o dœ^ dy*

Toutes les formules de l'article iO sont encore applicables puisque le cas présent n'est qu'un cas particulier du précédent. Les formules (309) et (310) fournissent les relations :

tandis que de (311) et (312) nous tirons :

Ces équations nous permettent d'indiquer la forme analytique des fonctions 7) et !^. •t\ doit être indépendant d'y (formule 322j et linéaire par rapport à x et à 2, (formule 324). r, est donc de la forme :

où les quantités b sont des constantes, provisoirement inconnues. Nous trouvons de même :

Ç = Co + Cio: + y (c, + c, x). (327)

Si nous ajoutons encore l'équation (321),

nous obtenons un système de valeurs Ç, y;, ^ qui correspond à Tétat élastique réel, pourvu que Ton choisisse la fonction ^ de façon qu*elle satisfasse à l'équation aux dérivées partielles

'ïT'

rfy« d£*

6t que Ton ait soin de déterminer les constantes 6 et c de façon que :

dr) di

dz dy

Cette dernière condition donne, si nous tenons compte des formules (326) et (327),

relation qui doit être identiquement satisfaite. Il faut donc que :

Etant données les suppositions que nous avons faites sur le système d'axes (art. 104), nous devons avoir à Torigine,

de plus, puisque Taxé des x passe par un point infiniment voisin,

dx dx"^ ^

et enfin, le plan xy contenant toujours un même point du corps, également infiniment voisin de Forigine :

dç dy

Ces conditions nous permettent de calculer en partie les constantes b et c. De la première résulte :

de la seconde, et de la troisième,

Les constantes 6 et c se trouvent ainsi réduites à une : A, = — c,. Désignons dorénavant par c la valeur inconnue de cette constante, nous pouvons écrire :

Ti = cxz, Ç = — cœy] i = y (y, z). (330)

La difficulté principale du problème réside dans la détermination de la fonction cp qui doit satisfaire à l'équation (328). Remarquons que Ç = cp (y, z) pour a: = o ne représente pas autre chose que Téquation de la section transversale, x=s: o, déformée. D'ailleurs toutes les sections transversales prennent la même forme dans la déformation, puisque Ç est indépendant de X.

L'ancienne théorie de la torsion admettait que les sections demeurent planes dans la déformation. Voyons si cette hypothèse se trouve confirmée. Pour que les sections restassent planes, il faudrait queÇ fût une fonction linéaire d'y et >r. Nous posons donc, par hypothèse :

Cette expression satisfait, en effet, l'équation (328), elle représente par suite un état élastique possible. Il nous reste à voir si les conditions aux limites sont remplies. La surface d*un prisme travaillant à la torsion est, sauf dans le voisinage des mécanismes, roues, poulies, etc., qui transmettent le couple dû torsion, entièrement libre de forces extérieures ; par conséquent il faut qu'à la surface les actions moléculaires qui agissent dans les plans passant par l'axe longitudinal et les normales à la surface soient nulles, indépendamment de Ry, Rzn &yzi qui le sont déjà par hypothèse.

En d'antres termes, la répartition des actions moléculaires dans les sections transversales doit être telle que ces forces soient, à la périphérie, tangentes au contour des sections. C'est la condition que nous avons posée précédemmeiit,et dont nous devons tenir aussi compte actuellement.

Pour mettre cette condition sous forme d'équation, rêve-

noDs aux valeurs de Sx^ et Sxs données par les formules (290)

Soit :

Téquation du contour de la section transversale, ou d'une partie de celui-ci ; pour que la résultante des actions moléculaires Sxy et Sxz soit tangente à la surface, il faut que :

Sxs ds

Sxy dy

Nous avons donc Téquation de condition :

dl dK

dz dx dz

(K d^ ~ dy ' (333)

dy dx

qui doit être satisfaite sur tout le pourtour de la section, ou du moins sur la partie considérée de celui-ci. Si nous remplaçons 71 et Ç par leurs valeurs (330), cette relation prend la forme :

dz~^y dz

dl , dy

Telle est Téquation que \ doit remplir à la périphérie, et cela non seulement dans le cas particulier que nous étudions maintenant, mais aussi en général.

Cherchons sous quelles conditions la valeur (331) admise pour \ satisfait à cette relation. Dans le cas particulier, (334) peut s'écrire :

Gf-cy dz

ai + cz dy

Nous pouvons intégrer immédiatement cette équation différentielle. Il vient, si Ton sépare les variables :

(a, — cy)dy = (a, + cz)dz d'où :

Or c*est là, on le reconnaît immédiatement à l'égalité des coefficienls de y* et de z', Téquation d'un cercle. Nous en concluons donc que les sections transversales (fun prisme travaillant à la torsion ne demeurent planes que si le prisme est de section circulaire. Ainsi, nous arrivons, dans le cas de la torsion, à un tout autre résultat que dans le cas de la flexion : dans ce dernier, nous avons trouvé confirmée la loi de répartition des actions moléculaires qui se base sur Thypothèse de Navier, tandis qu'ici nous reconnaissons que l'ancienne théorie de la torsion est fausse, sauf dans le cas des prismes de section circulaire.

Le résultat que nous venons d'obtenir confirme naturellement l'exactitude de nos calculs précédents concernant les prismes de section circulaire.

IBS. Torsion (saite). Prismes de seetions elliptiques. — • L'équation aux dérivées partielles (328) admet une infinité de solutions qui correspondent toutes à des états élastiques possibles. Pour que ceux-ci se produisent, il faut simplement avoir soin que les conditions aux limites qui doivent être remplies à la surface du corps soient satisfaites. En particulier, si nous supposons que cette surface est libre de toute force extérieure, nous savons que la condition représentée par l'équation (334) doit être satisfaite. On peut, pour résoudre le problème, admettre une solution de l'équation (328) et déterminer, k l'aide de (334), la forme de la section qui correspond à cette solution : c'est la méthode que nous venons d'employer ; ou bien, on peut inversement se proposer de déterminer la solution de (328) qui correspond à une forme

40e CHAPITRE XI

donnée de section transversale. La question posée sous cette forme est toujours difficile à résoudre ; pour des sections compliquées, double té, elc, on ne possède pas encore de solution rigoureuse. Le calcul a élé fuit pour les sections de formes rectangulaires, mais il exige des développements en

série compliqués qui le privent de toute importance pratique. Le procédé inverse, consistant à trouver la section correspondant à une solution particulière de Téquation (328), est beaucoup plus simple. L'intégrale générale de (328) est, comme on le vérifie facilement, de la forme :

S = f (y, z)=f,{y -4- 1» -f f,{y—iz) (335)

où /i et /i désignent deux fonctions quelconques de y et z, et i la racine carrée de Tunilé négative. Suivant les valeurs choisies pour /i et /„ on obtient diverses solutions particulières. Il convient de remarquer que la partie réelle et la partie imaginaire de chaque solution satisfont indépendamment Téquation (328).

En particulier, on peut prendre comme solution la forme la plus générale de série de puissances qui soit compatible avec Téquation (328), savoir, si nous nous bornons aux exposants entiers positifs :

Ço = ûo + ai(y+t>)4-flj(y + û)*+ 1 jgg.

+ b,{y^iz) + b,(y^izy

Dans cette expression, a et A peuvent être des coefficients, quelconques.

Parmi toutes ces formes, considérons la suivante :

Ç = cp(y,r) = ay4î. (337)

Il est facile de s assurer en substituant qu'elle satisfait à l'équation (328). On reconnaît qu'elle est aussi contenue dans la solution (336) ; on peut en effet la considérer comme la partie imaginaire de l'expression :

Cherchons la forme de la section qui correspond à cette valeur de Ç. L'équation (334) s'écrit :

(a — c)y dz {a-\-c)z dy

d'où

{a — c)ydy = (a + c)zdz.

En intégrant, nous obtenons :

(a + c) jV{c-a)Ç = K, ce qui peut s'écrire de la façon suivante :

où K' désigne une nouvelle constante.

On reconnaît que (339) est Téqualion d'une ellipse rapportée à son centre, dont les axes sont entre eux dans le rapport :

sjc + a

• D faut toutefois supposer que a est plus petit en valeur absolue que c.

Nous trouvons pour les composantes des actions moléculaires tangentielles :

Pour que cette solution corresponde absolument à l'état élastique réel, il faut que, dans les sections terminales, les forces extérieures qui produisent le moment de torsion soient réparties sur ces sections suivant la même loi que <^elle que nous venons de trouver. Pratiquement, cette condition ne sera probablement jamais réalisée ; mais, comme nous

rons TU à l'article 111, pour les parties du prisme suftîsam- Dl éloignées du pointd'appHcalioa des forces extérieures, la arlition de celles-ci n'a que peu d'influeace. >i nous comparons les résultats auxquels nous venons d'ar- 3r avec ceux de nos recherches précédentes sur la torsioa prismes de section elliptique, nous voyons que les valeurs lothétiques (235)

it identiquement de même forme que les expressions (340).

théorie de rélasticité confirme donc absolument l'kypose faite précédemment. Il est par conséquent inutile de irsuivre le calcul, car nous retrouverions simplement les ultats obtenus plus haut.

4ous ne ferons qu'une seule remarque : l'équation (337)

celle des sections transversales déformées. Nous reconssons qu'elle représente un paraboloïdo hyperbolique. Si n suppose le prisme déformé coupé par des plans perpenulaires à l'axe longitudinal, ceux-ci coupent les sections nsversales déformées suivant des hyperboles équilatëres;

plans passant par l'axe longitudinal fournissent des seons paraboliques.

tl4. AssimIlaUoii flu prsbiéme précédvnl A an sblème d'hydrodjnamiqne. — La question qui préile le plus d'intérêt dans le problème précédent est celle de répartition des actions moléculaires. Nous allons montrer le îport intime qui existe entre le problème qui nous occupe certaine question d'hydrodynamique et voir comment cette limitation peut rendre des services dans certains cas. Supsons que l'on trace dans la section considérée toutes les nés qui, en cbacun de leurs points, ont comme tangente le cteur représentant l'action moléculaire qui agit en ce point. lUS appellerons ces lignes lignes de tension. On fait souat usage de constructions de ce genre pour représenter la

ÉtËHENTS DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ 409

répartition d'un vecteur sur une région déterminée. La plus connue des applications de celte méthode est celle que l'on en fait dans la théorie du magnétisme. Dans cette dernière, les lignes qui correspondent à celle que nous avons tracées sont les lignes de forces et leur ensemble forme le champ magné* tique. On peut imaginer aussi un liquide se mouvant partout dans le sens des lignes tracées avec une vitesse proportionnelle à l'intensité de la force au point considéré. Le mouvement de ce liquide donne une idée très claire du champ considéré ; dans la théorie du magnétisme, la notion de flux de force qui découle de cette représeatation joue, comme on sait, un rôle très important.

Voyons comment nous devons transformer les équations de condition pour les assimiler à la nouvelle manière de voir. Considérons d'abord la condition à la limite, exprimée par l'équation (334). Noua pouvons la formuler simplement comme suit : le mouvement du liquide doit être dirigé on chaque point de la périphérie suivant la tangente ; c'est-à-dire le mouvement doit avoir lieu comme si le liquide était contenu dans un récipient à parois immobiles.

Noua avons trouvé àc plus :

En différenciant la première de ces relations par rapport à y et la seconde par rapport à ; et en additionnant, nous obtenons :

dy • dr ^W «'W'

Dans le cas de la torsion, l'équation générale d'équilibre est

donnée par l'équation (328) ; or en vertu de celle dernière, le

second membre de la relation ci-dessus disparaît, nous avons

donc la formule :

rfy dt ^

Soient u^ v, w les composantes de la vitesse d'un liquide ; nous avons ici u = o (puisque le mouvement a lieu dans un plan). Par hypothèse, la vitesse du liquide est en chaque poiat proportionnelle à Taction moléculaire correspondante, v et ter sont donc proportionnelles à Sxy et Sxx ; en conséquence, le mouvement du liquide doit satisfaire à la relation :

rfu rft? rftt? r^MaV

dx dy^ dz ' \ /

Le premier terme n'est ajouté que pour la symétrie, il n& change rien du reste au résultat, puisqu'il est identiquement nul. L'équation ci-dessus est désignée en hydrodynamiquesous le nom Adéquation de continuité. Le membre de gauche représente la différence entre la quantité de liquide qui entre durant Tunité de temps dans Pélémeut de volume et celle qui en sort. Dans le cas particulier, cette différence est nulle, le liquide doit donc être supposé incompressible.

Nous n^avons pas encore épuisé toutes les conditions auxquelles le mouvement du liquide doit satisfaire. Si Ton différencie la première des relations (341) par rapport à z et la seconde par rapport à y el si Ton soustrait les deux résultats Tun de l'autre, il vient :

rf^dS^2Gc. (344)

dz dy

Le membre de gauche est de même forme que la composante suivant Taxe des x d'un vecteur qui Joue un grand rôle dans l'hydrodynamique. On désigne en effet dans cette science,, sous le nom de tourbillon^ le vecteur dont les composantes suivant les axes sont données par les expressions :

dw dv du dw dv du dy dz^ dz dx^ dœ dy ^'

(i) La notion des tourbillons ou des mouvements tourbillonnaires a étéintroduite en hydrodynamique par Helmholtz, qui, par ses travaux, en a rendu remploi particulièrement utile et fécond.

On considère entre autres dans cette théorie les lignes de courant qui

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ 41i

Dans le cas particulier, les composantes du tourbillon suivant l'axe des y et Taxe des z sont nulles (voir la note) ; le tourbillon possède une intensité constante 2Gc le long des lignes de tourbillons parallèles à Taxe des x.

Le mouvement du liquide considéré est absolument défini par les conditions que nous venons d^établir ; par conséquent^ les lignes de courant coïncideront absolument avec les lignes de tension que nous avions tracées précédemment.

Nous devons renoncer à établir d^autres résultats, car il nous faudrait nous baser sur des théorèmes d'hydrodynamique que nous ne pouvons supposer connus de la plupart des lecteurs. Nous nous bornerons à indiquer un article de M.Bredt paru dans la Zeitschrift des Vereins deutscher Inge^ nieure, 1896, n® 28, qui montre tout le parti que Ton peut tirer de Fassimilation du problème de la torsion à une question d'hydrodynamique. On verra, entre autres, comment on peut, à raide de cette méthode, étudier la répartition et calculer approximativement la grandeur des actions moléculaires

sont en chaque point tangentes au vecteur correspondant u, v, w, et les lignes de tourbillons qui, en chacun de leurs points, sont tangentes au Tecteur tourbillon. Si nous désignons pour abréger par \ n, v les composantes du tourbillon^ les équations différentielles de ces dernières lignes sont :

dx dy dz

^^'^ «mH^ aiH^M« ^b^a^ «as^ «

Si, en particulier, la vitesse est indépendante de x, comme dans le cas qui nous occupe, u est nul, ainsi que les dérivées partielles de t? et t^ par rap» port à X' Les valeurs explicites des composantes \ fi, y, sont alors

dw dv

dy d%*

et les équations différentielles des lignes de tourbillons prennent la forme

dx dy dz A o o

dy = dz zz 0.

Les lignes de tourbillons sont des droites parallèles à Taxe des x.

Pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur à l'ouvrage de U.Poincaré,

Théorie des tourbillons. Paris, G. Carré, 4893.

N. du T.

412 GHAPITRK XI

dans le cas de profils compliqués, comme les sections double té, par exemple. M. Bredt est toutefois dans l^erreur lorsqu'il s'attribue la priorité de l'équation (344) : toute cette assimilation du problème de la torsion à Thydrodynamique se trouve déjà développée dans l'ouvrage de Tait et Thomson « Natural Philosophy. »

La méthode que nous venons de décrire conduit à des résultats particulièrement intéressants lorsqu'on l'emploie pour étudier la perturbation que cause, dans la répartition et l'intensité des actions moléculaires, une fissure ou en général une irrégularité quelconque (défaut de fonte, etc.) de la section considérée. Supposons que cette irrégularité puisse être assimilée à un petit trou circulaire. Le champ des tensions éprouve, par suite de la présence de cet obstacle, des modifications importantes : les lignes de tensions qui ne peuvent en traverser les parois doivent le contourner. On voit immédiatement que la vitesse du liquide ou, ce qui revient au même, les actions moléculaires du prisme, seront par suite augmentées le long des parois du trou. On peut déterminer par le calcul Tinfluence de cette irrégularité ; on trouve que les actions moléculaires sur les bords du trou sont égales au double de ce qu'elles seraient s'il n'y avait pas d'obstacle. Il ne nous est pas possible de donner ici cette démonstration par suite des connaissances en hydrodynamique qu'elle exige.