THÉORIE DE BOUSSINESQ ET DE HERTZ DURETÉ DES CORPS
1 16. Théorie de BouMinesq. — Considérons deux corps, obéissant à la loi de Hooke, qui se touchent suivant un point
ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ 4ia
OU une génératrice de leurs surfaces. Si nous pressons ces deux solides Tun contre l'autre, il se produit à Tendroit du contact une déformation : les deux corps se touchent suivant une surface. On peut se proposer de déterminer exactement les déformations subies par les corps dans ces conditions, ainsi que les actions moléculaires qui en sont corrélatives.
C'est là le but de la théorie de Hertz ainsi que celui de la théorie similaire de Boussinesq dont nous donnerons d'abord un résumé, sans entrer plus avant dans le sujet que ne le comporte le plan de cet ouvrage.
Considérons un corps limité à sa partie supérieure par un plan horizontal et assez grand pour que nous puissions le considérer comme illimité dans les autres directions. Si la terre, par exemple, obéissait à la loi de Hooke, nous pourrions lui assimiler le corps en question. Nous avons vu toutefois que cette hypothèse n'est pas exacte.
Supposons qu'en un point du plan supérieur on applique une force isolée P. Sous l'influence de celle-ci, le plan se déforme ; nous allons étudier la nature de cette déformation* Choisissons un système de coordonnées dont Torigine est le point d^application de P (dans la position initiale de ce dernier) et dont Taxe des s coïncide en sens et en direction avec celte force ; supposons de plus ce système fixe dans Tespace. Nous pouvons dire que les parties du corps très distantes du point d'application de P ne se déplacent pas sensiblement par rapport aux axes de coordonnées. L^axe des x et Paxe des t/ sont horizontaux et sont contenus à Tétat initial dans le plan qui limite le corps ; soit r la distance d'un point quelconque du corps à Porigine, on a :
Pour r= 00, étant donné le choix des axes de coordonnées, les déplacements élastiques ^, r^, ^ doivent s'annuler. En général, ces quantités l, t„ s^ auront à satisfaire aux conditions générales d'équilibre que nous transcrivons ici ànouveau :
m de
m — 2 dx m de
rr = 0,
m — ^dy m de
m — ^dz
Nous allons montrer que le système de valeurs
r zx
dans lequel p, ç^, n désignent 3 constantes, représente un état élastique possible, c*est-à-dire compatible avec les conditions générales d'équilibre. La démonstration exige des calculs un peu longs, mais qui ne présentent pas de difficultés. Nous tirons d'abord de (346^ :
dx ^ \jrz 4- r*
(z zxdr\
{rz + r«)« (^ + 2r) 3jJ
d'autre part, en différenciant (345) par rapport à x^ nous obtenons :
dx r *
En substituant ce résultat dans t. ei en réduisant les ter-
dx
mes semblables, nous trouvons :
dl ^ r'(r + r)-a;»(^ + ar) ^(r«-3j:«)
dx
■t:i^t. -;'. ^Çr;
En permutant x et y dans celle expression, nous obtenons immédiatement — :
Enfin, la troisième des équations (346) fournit par différenciation la relation :
Si nous additionnons les 3 dérivées que nous venons de calculer, nous obtenons e (formule 289). Dans la somme, les termes contenant le facteiir n se réduisent à
z «l ceux que multiplie p peuvent s'écrire :
2r« (^ + r) -' (r* — g») {% + 2r) ~P (z+ryr^
Si Ton effectue les simplifications, cette expression se réduit à:
on, enfin, si Ton divise par (r + r)*, à :
Donc, finalement :
Il nous faut maintenant former A'i.La différenciation directe serait trop longue, aussi élablirons-nous de préférence quelques formules préliminaires dont l'emploi abrégera le calcul.
Soient A et B deux fonctions quelconques de Xj y et z ; on a :
