AB)=A^4-2''-^^-^+B

(io;

On trouverait de même deux expressions analogues pour les dérivées par rapport à ^ et à r ; par conséquent :

^' (AB) = Aà'B + BA'A +

"^ \dx dx '^ dy dy"^ dz d%)* ^ ^

Cherchons encore la valeur de A' U\ A étant comme cidessus une fonction dear, y et z. Nous avons :

^/l\__J dk dx \kj A* dx'

dx' \ A/ ~ A« dx' "*" A» \dx) ' et par suite, en tenant compte des expressions de même forme que l'on peut établir pour tiI-t ) et— [-) :

^-l=-^-AH-è[Q*H-(|)-H-(^)']. (35^)

Calculons maintenant AV. Nous avons déjà trouvé :

dr x

donc

dx'

X dr r* dx

Nous avons des expressions analogues pour les dérivées par rapport à y et à ^ ; il vient donc, si Ton tient compte de (345) :

AV=i,

En vertu de (352), nous trouvons, toutes réductions faites :

C'est là, notons-le en passant, une des formules les plus connues de la théorie du potentiel. — Poursuivant notre but, nous formons :

A» (if -f- r)=:A*^-i-AV = i,

et, d'après (352),

\jt+r) r(« + r}« ^ (r + r)'L W \rJ \ r / J

Nous trouvons encore à l'aide de la formule (351) et en tenant compte de (354) :

A'(J)=A«(.:xJ)=:-2^,. (356)

Ces calculs préliminaires faits, nous pouvons former sans grande peine A*Ç. Pour A* du premier terme de Ç, nous avons d'abord, étant donnée la formule (351) :

ce qui peut s'écrire, en tenant compte de (355) et (356) et en effectuant les opérations :

r* ^ riz '\-r) -^rs

r* {z + ry

Le membre de droite s^annule, donc :

Nous pouvons poser aussi immédiatement :

par suite de la symétrie des expressions. Effectuons maintenant l'opération A' sur le second terme de

$, Nous avons d'abord :

dx\r^l f*

dx\f^J r"»"^ r^*

les dérivés secondes par rapport à y et à r sont de même Torme, par suite :

bJzx étant nul, nous avons, formule (351) :

Nous trouvons donc, finalement, en vertu des formules

(357) et (360) :

» ^ zx

r* L'équation (350) donne :

de Q. .zx.

si Ton substitue les deux valeurs précédentes dans la pre«* raière des équations fondamentales,

m de

m — ^dx

on reconnaît que celle-ci est identiquement satisfaite, si les constantes /), y, n sont telles que

ÉLÉMENTS DE LA THÉOftiE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ 41»

La considération de la seconde des équations fondamentales ne fournit pas de relation nouvelle, toutes les formules étant absolument symétriques par rapport à 2: et y ou Ç et y;. Elle sera certainement satisfaite si Péquation de condition (361) est remplie.

Calculons maintenant ^%. Le A' du premier terme de 2^ disparaît àcause de la formule (354). Pour le A' du second^ nous obtenons (formule 351) :

OU, en tenant compte de (359) :

Nous avons donc :

D'autre part, d après (350)

2=in-p-,)(L-,t):

si nous substituons les deux valeurs qui précèdent dans la troisième des équations fondamentales :

Air . "• ^^

nous voyons que celle-ci est aussi identiquement satisfaite si la relation (361) est remplie.

Nous avons donc prouvé que le système de déplacements élastiques Ç, r^, Ç choisi (éq. 346) correspond à un état élastique possible. Il nous reste à montrer qu'il satisfait de plus aux conditions aux limites du problème. Ces conditions sont les suivantes : Le plan horizontal limitant le corps n'étant sollicité que par la seule force P, les composantes Rj^ des actions moléculaires doivent être nulles pour z = o^ sauf dans le voisinage immédiat de Torigine. Il faut, de plus, et

pour la même raison, que les composantes Szx et S^y soient nulles en tous les points de la surface. Vérifions d'abord si cette dernière condition est satisfaite. Nous avons (formules 290):

d'autre part, les relations (346) fournissent, pour les dérivées partielles qui figurent dans ces expressions, les valeurs suivantes :

'^ r\z + ry\

•p - + nx

rfç

dx"

Si nous substituons ces valeurs dans les formules de S^^ et Ssy, nous obtenons, toutes réductions faites,

Ces composantes doivent êlre nulles pour z=o ; il faut par conséquent que les constantes ;?, n, q satisfassent à l'équation de condition :

Calculons maintenant R^ ; la formule (294) donne :

\dz m — ij

nous avons ici :

par suite :

Cette expression s^ànnule en effet pour i? =o, sauf dans le voisinage de Torigine. En ce point ;* = o, jz prend la valeur indéterminée =•. Nous pouvons encore simplifier l'expression de R^; résolvons, par rapport à /? et ^, les deux équations (36i) et (364) qui lient entre elles les constantes/?, ^, n^ nous obtenons :

En substituant ces valeurs dans Rs, nous trouvons finalement :

R, = — 6Gn j^- (366)

Cette formule ne nous permet pas de déterminer les valeurs queRr prend à Tintérieur de la surface de contact. Il faut, du reste, remarquer que toute la théorie renonce à décrire les phénomènes qui se produisent dans le voisinage immédiat du point d'application de la charge ; sans cela, nous n'aurions pu prendre pour les déplacements élastiques les valeurs choisies (formules 346). Celles-ci prennent^ en effet, la valeur indéterminée - à Torigine.

La théorie de Boussinesq n'est valable que pour les points

situés à une certaine distance de Torigine et se base sur l'hypothèse que, pour ces points, la répartition de la charge à l'origine n'exerce pas dlnfluence sensible.

Il nous reste à déterminer la constante n qui dépend de Tiiitensité de la force P. Pour éviter d^avoir à considérer les phénomènes dans le voisinage immédiat de l'origine, nous procédons de la manière suivante : menons un plan horizontal à une distance z de Torigine ; si nous faisons abstraction du poids propre du corps, il est évident que la somme des composantes Ra qui agissent sur ce plan doit être égale à P. Traçons dans ce plan une circonférence de rayon p dont le centre soit sur l'aze des r, nous avons :

D'après (366), Rz possède en tous les points de la circonférence la même valeur, par conséquent la grandeur de la résultante des forces R^^ qui agissent sur une surface annulaire comprise entre les circonférences de rayon p et p + rfpest égale à :

6Gn 27rprfp.

L'intégrale de cette expression, prise entre les limites p=o et p = oo, doit être égale à P. Nous pouvons laisser de côté le signe — de la formule (366), qui exprime simplement que R^ est un effort de compression. Nous avons donc :

6Gnirz' / — ^-^=P;

l'intégrale est facile à calculer ; on a :

./oO>«+z»)î ^^ Jo 3z»

donc:

4Gn7r = P.

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ 4ia

Pour que celte relation soit identiquement satisfaite, il suffit de prendre

Si nous introduisons les valeurs des constantes /), y, n dans les expressions de Ç, ti, ^. celles-ci deviennent :

* 47rmG r(2 + r) "^ 4 jtG r» '

^ 2m-2pl , __P £\ 47rmG r irrG r»

Pour comparer ces résultats avec ceux fournis par Fexpé* rience,Ie mieux est de contrôler les valeurs de 2^ à la surface du corps, car ce sont évidemment les déformations du plan supérieur dans le sens de Taxe des z qui peuvent se mesurer le plus facilement. Pour z=o, nous avons, en tenant compte de

la relation :

i(m+iy

Il résulte de cette formule que le plan considéré se transforme, dans la déformation, en un hyberboloïde de révolution. En particulier, il devrait en être ainsi avec le sol si celui-ci obéissait à la loi de Hookc. Nous avons déjà signalé à Tartiticle 74 les essais de Fauteur qui ne conGrment pas cette conclusion.

L'état élastique du corps est complètement déterminé par les relations (369). Il serait facile maintenant d'en tirer diverses conséquences au sujet de la répartition des actions moléculaires. Nous n'entrerons toutefois pas dans de plus longs calculs, et nous nous bornerons à signaler quelques résultats que le lecteur pourra établir lui-même sans diffi« culte.

m CHAPITRE XI

Il suffit d'étudier la répartition des actions moléculaires dans un plan quelconque passant par Taxe des z, car cette répartition est la même pour tous les autres. Considérons le plan yz par exemple, et menons un plan horizontal, z==const., qui coupe le premier suivant une horizontale. En tous les points de cette ligne, Szy=o (ce qui résulte du reslc de la symélrie). Soit T la résultante de R^ et S^o^pour la section horizontale ; celte force passe par Torigine et son intensité est donnée par la formule :

De plus, si Ton trace une circonférence de rayon quelconque, passant par l'origine et dont le centre se trouve sur Taxe des js, on démontre que T possède la même valeur en tous les points de la circonférence et varie en raison inverse du carré du rayon de celle-ci. Ces indications permettent de se faire une idée relativement claire de la répartition des actions moléculaires.

fie. Théorie de Hertz* — La théorie de Hertz se meut sensiblement dans les mêmes voies que celle de Boussinesq, elle demande toutefois des calculs plus longs ; c'est pourquoi nous avons préféré traiter la théorie de Boussinesq d'une façon plus détaillée, tandis que nous ne ferons qu'indiquer les grands traits de la théorie de Hertz. Pour une étude plus approfondie de la question, nous renverrons le lecteur soit au mémoire original de Hertz, soit à l'ouvrage de Love : Treatise onthe theory of Elasticily ^ 2 vol., Cambridge, 1892-93.

Hertz détermine aussi un système de valeurs Ç, t^, Ç qui satisfait les équations générales et les conditions à la limite. Il considère deux corps dont les surfaces ont des courbures quelconques et les suppose pressés Tun contre l'autre avec une force donnée. Il admet toutefois que la surface de contact créée par déformation est de dimensions très petites comparalivement aux rayons de courbures des surfaces. Tandis que

la théorie de Boussinesq cesse d'être valable dans le voisinage du point d'application de la force, la théorie d'Hertz rend compte au contraire des phénomènes à l'intérieur de la surface de contact des doux corps et dans le voisinage immédiat de celle-ci. Par contre, pour les points situés à des distances finies, elle cesse d^être applicable.

On trouve que la surface de contact est toujours limitée par une ellipse, qui, dans quelques cas spéciaux devient un cercle.

Les expressions pour Ç, r^, !^sont plus compliquées que dans la théorie de Boussinesq. Nous pouvons résumer la marche du problème de la façon suivante : on considère l'équation (297) :

On sait, par la théorie du potentiel, que la force v émanant de masses distribuées d'une façon quelconque sur une surface^ et dont l'intensité varie en raison inverse du carré de la distance, satisfait à l'équation ci-dessus en tous les points de l'espace, sauf à l'intérieur de la surface. Ainsi, si Ton suppose la surface de contact des deux corps couverte de masses attractives (par exemple de masses électriques) réparties selon une loi de densité déterminée, et si l'on prend en chaque point du corps les déplacements élastiques proportionnels à la force attractive émanant de ces masses, on obtient un système possible de valeurs Ç, r^, s- Celui-ci ne satisfait toutefois pas les conditions aux limites. Par contre, il est possible de former, à Taide du potentiel de ces masses, d'autres fonctions qui satisfont les équations générales et certaines des conditions à la limite, de sorte qu^après quelques essais, on peut arriver à la vraie solution. C'est le chemin que parait avoir suivi Hertz dans ses recherches.

Soit V le potentiel des masses réparties sur la surface de contact ; si nous formons la fonction II définie par la relation suivante :

U = azy + b£Ydz, (372)

il est facile de reconnaître que le système de valeurs

p dn

î = g + cV.

satisfait aux équations fondamentales, à la condition que les constantes a, d, c remplissent la relation :

Il reste à vérifier les conditions aux limites. Les actions moléculaires tangentielles doivent être nulles àlasurfacedes corps. Si Ton forme Sxf et S^y, on voit que cette condition est remplie si :

Après quelques transformations, et en remplaçant 6 et c en fonction de a à Taide des équations (374) et (375), on trouve pour Rji :

\ dz^ dzj

A la surface des corps, c'est-à-dire pour j5=o, cette expression se réduit à :

R,^o=-2GaÇ- (377)

Cette quantité s'annule partout, sauf à Tintérieur de la surface de contact. On voit maintenant la raison pour laquelle nous avons supposé que les masses dont nous avons pris le potentiel sont réparties seulement à l'intérieur de cette surface.

Telle est, dans ses grands traits, la théorie de Hertz. Nata<f-

rellement, il faut considérer les deux corps ; d'où résalle encore quelques conditions aux limites, dans Texposé desquelles nous n'entrerons pas.

Les résultats les plus importants auxquels Hertz est arrivé sont les suivants. Supposons que, lorsque les corps sont à leur état initial, c'est-à-dire qu'ils ont un point de contact commun, on détermine dans le voisinage immédiat de ce dernier ie lieu des points des deux surfaces qui sont distants, dans le sens de Taxe des z, d'une quantité constante très petite e. La projection du lieu géométrique de ces points sur le plan tangent commun aux deux surfaces est une ellipse (théorie de rindicalrice). Hertz trouve que la surface de contact est aussi limitée par une ellipse dont les axes coïncident avec ceux de la précédente ; par contre le rapport des axes entre eux n'est pas le même. Il trouve pour les demi-axes a et 6 de l'ellipse de contact :

+/>iî+Pii+/>jj)

Les coefficients numériques jjl et v ne dépendent que du rapport des axes de l'ellipse e = const. Hertz en donne une table. Si l'ellipse e = constante dégénère encercle, jjl=v = 1, la surface de contact est aussi limitée par une circonférence. Dans la formule précédente, P désigne la force avec laquelle les deux corps sont pressés l'un contre l'autre ; 6| et 6, sont deux constantes se rapportant chacune à l'un des corps et dépendant des propriétés élastiques de la matière. Etant donné nos notations, nous avons :

4 (m« ■- 1) 2 (w - 1) ~ m»E ~ mG

Enfin, les quantités p représentent les 4 courbures principales des deux corps à l'état initial (ce sont donc les valeurs réciproques des rayons de courbure principaux).

La répartition des actions moléculaires Rz sur la surface de contact est donnée par la formule :

inab V a* b*

A la périphérie R- = o ; sur le reste de la surface, R^ varie comme l'ordonnée d'un ellipsoïde construit sur la surface de contact. Rz atteint sa plus grande valeur au centre de cette dernière. Cette valeur maximum est égale à 1 4/2 la valeur moyenne pour la surface entière.

Dans le cas particulier d'une surface de contact circulaire, on trouve pour la valeur maximum Ro de Rr :

« et, pourle rapprochement a qu'éprouvent les deux corps parle

fait de leur aplatissement :

Le diamètre 2a de la surface de contact crott proportionnellement à la troisième racine de P, ainsi que Rz ; a varie proportionnellement à la puissance 2/3 de P.

En particulier, pour deux sphères de même matière, de rayons r^et r„ on trouve, si Ton remplace 8 parla valeur indiquée plus haut et si Ton prend m = — :

Le signe — dans la formule ci-dessus correspond au cas où l'une des sphères serait creuse. De plus :

R<, =0,388 Y/pE*rîi±iiT, (383)

°' = *'23y'LtLiL.. (384)

Un autre cas intéressant est celui d'une sphère de rayon r et dune plaque; on le déduit du précédent en faisant croître indéfiniment le rayon de Tune des sphères. Il vient :