DE TERRE MEUBLE

tl9. Calenl de» aetionii moléealaires. — Notre inten* tion n'est pas d'établir ici une théorie complète de la poussée des. terres, nous désirons seulement donner un résumé de la question, en nous servant des résultats qui précèdent.

Nous avons déjà indiqué que le terrain est susceptible de subir des déformations élastiques ; toutefois, ce n'est pas ces dernières que nous voulons étudier.

Considérons une couche de sable répandue sur le sol, ayant partout la même épaisseur et couvrant une étendue illimitée,

et déterminons Tétai élastique régnant en un point quelconque de celle masse. Le point considéré doit toutefois être assez loin des bords, pour que Ton puisse admettre que l'influence de ces derniers est nulle.

Dans ces conditions, il est évident que l'état élastique qui règne aux points correspondants d^une série de verticales tracées à travers la couche de sable est le même partout. Prenons une de ces verticales^ dirigée de haut en bas, comme ase des z, nous pouvons indiquer immédiatement la valeur de Rx. Supposons un prisme de base dF et de hauteur z, nous devons avoir :

R, rfF = yzdF, (393)

Y étant le poids spécifique^ du sable. La composante verticale de l'action moléculaire qui agit en un point donné est donc de même grandeur que dans un liquite de densité y. Dans le sens horizontal, il est évident que les actions moléculairea doivent être les mêmes dans toutes les directions. L'ellipsoïde des actions moléculaires est, par suite, de révolution autour de Taxe des z. Donc :

Rac = Ry .

L'état élastique considéré ne diffère de celui qui règne à l'intérieur d'un liquide qu'en ce que Rx=Ry ne sont pas égaux à Rz' H nous faut précisément chercher le rapport entre les actions moléculaires horizontales et l'action moléculaire principale verticale. Il est évident que ce rapport dépend des propriétés physiques de la matière. Si les grains de sable n^exerçaient aucun frottement les uns sur les autres^ la masse totale se comporterait comme un liquide, et le rapport cherché serait égal k 1. L'intensité des actions moléculaires horizontales dépendra donc de la grandeur du frottement.

Nous définirons la grandeur du frottement à Paide de l'angle de frottement que nous pouvons appeler aussi ici angle d'éboulemeut, car sur les bords le sable prend de lui-même

celte inclinaison. Si Ton essayait de donner aux bords du tas de sable une pente plus forte, ceux-ci s'écrouleraient. D'après la théorie du frottement^ ce fait se produit lorsque Tangle entre la normale à la pente et la verticale est plus grand que Fangle de frottement. Donc, celui-ci est bien égal à l'angle d'éboulement. Soit cp cet angle ; considérons à Pintérieur de la masse un prisme horizontal de longueur égale à Tunilé, et dont la base est formée par un triangle rectangle infiniment petit. Supposons les arêtes du prisme parallèles à Taxe des y, soient dx et dz les côtés du triangle de base, ^ Tangle formé par rhypolénuse avec Tborizontale (abstraction faite des lettres qui sont ici un peu différentes, nous pouvons nous servir de la figure 7). Pour établir les conditions d'équilibre de ce prisme, nous utilisons direciement les résultats de l'article 11. Nous avons ici, en vertu des équations (9), et en remarquant que S=(?:

S'=^îZl' 85n 2f

Soit ^ Tangle formé par Faction moléculaire dont les composantes sont R' et S' avec Tbypoténuse, nous trouvons :

S^ (Rg - Rjg) sin %^

^^~R'~Rx+Ry+(R5— R«)cos2ip'

ce qui peut s'écrire, en développant sin 2if et cos 2^ et en opérant les réductions :

II nous importe surtout de connaître la valeur maximum y/ de Tangle ^^. Nous trouvons cette valeur en égalant à zéro la dérivée de tg ^^ par rapport à ^. Gomme ^ ne figure dans l'expression que sous la forme tg ({/, il revient au même de dériver par rapport à cette quantité. Nous obtenons :

d^où résulte Téquation :

R^ — Rx tg'f = o, et par soite :

Le double signe indique que le maximum ou le minimum, en tous cas la plus grande valeur absolue de y^\ se produit pour deux directions symétriques, ce qui, du reste, était à prévoir.

Si nous ne tenons compte que de la valeur absolue, nous trouvons^ en substituant (396) dans (395) :

^'ne peut être plus grand que Tangle de frottement, sans cela il se produirait un glissement du terrain le long des sections de direction y. Cesi pourquoi Ton nomme ces dernières surfaces de glissement» Il est certain, par exemple, que le tassement qui s^opëre dans une masse de terre fraîchement re~ muée se produit par une série de glissements de ce genre. Nous avons à envisager Télat limite dans lequel il y a encore équilibre. La grandeur de Tintensité moléculaire horizontale Rx qui correspond à cet état limite, s'appelle Isl poussée active du terrain. Nons la désignerons par R x- Si la masse considérée a été soumise à une compression préalable, ou si elle est tassée, R« peut prendre deé valeurs plus grandes que R^. Lorsque Inaction des forces extérieures cesse, Rz doit se réduire immédiatement à des valeurs plus faibles. Il n'en est pas nécessairement de même pour Rj. : il peut même se faire que Rx conserve, par suite de Tinflueuce des charges appliquées avant, une valeur plus grande que R;;. Toutefois, le rapport entre Rxet Rjs ne peut pas dépasser, dans ce cas non plus, la valeur

qui correspondrait à un glissement à i*intérieur de la masse. La plus grande valeur de Rx compatible avec Rz est désignée sous le nom de poussée passive des terres. Nous la représenterons par R"a?.

Déterminons la valeur de la poussée active R x, c'est-à-dire de la plus petite valeur des actions moléculaires dans le sens horizontal qui soit compatible avec Télat d'équilibre. Â cet effet, nous faisons tg '/==^& ? ^'^^^ ^^ formule (397), et nous

Ro;

résolvons par rapport à -r-' Posons pour abréger :

lg?=A /, désignant le coefficient de frottement ; nous obtenons :

^^ = 2/«+i zfc 2/ v//^ + 1 . (398)

Pour obtenir la poussée active, nous devons prendre la racine avec le signe — ; le signe H- correspond à la poussée passive.

Si Ton prend, par exemple, ^ =35% c'est-à-dire/ =0,70, valeur correspondant à celle observée pour le sable, on trouve :

Kx est donc environ égal à un quart de R^ ; c'est là une valeur approximative dont on fait souvent usage dans lesapplicalions.

On peut interpréter la formule que nous venons d'établir dans un autre sens. Si Ton substitue dans (397) la valeur de

?f prise de (396), on obtient, si l'on fait y '= <p,

Or,pourlapousséeaclive, K^ < R^^lg ^' est par conséquent, en verlu de (396), plus grand que Tunité, 2^' est donc on

4^8 CHAPITRE Xi

angle obtus, et par saite Tangle de frottement an angle aiga . La relation (399) donne :

2f ~-t-^ouf =j + ^. (400)

De là résulte une règle très simple pour la construction des surface de glissement. Celles-ci font avec Thorizontale ou en général avec la direction de faction principale minimum un angle égal à 45"* +le demi-angle de frottement.

t !•. Applieation des eonsidérations précédentes ma caleul de la poussée des terres contre les mura de aoncènement. — Supposons que nous menions un plan vertical à travers la masse de terre considérée et que nous enlevions toute la partie située d'un côté de ce plan pour la remplacer par un mur. Si ce dernier n*existait pas, la masse glisserait jusqu'à ce que se soit formé un talus d'une inclinaison égale à Tangle d'éboulement. Le mur empêche ce mouvement de la masse, il est donc soumis à une certaine poussée, quenons voulons déterminer.

 première vue, il semble que l'on peut poser, en un point donné, cetle force égale à l'action moléculaire R^j. qui régnait en ce point avant que Ton ait enlevé une partie de la masse ; on pourrait dire à l'appui de cette supposition qu'il doit être indifférent, pour la partie restante, d^èlre maintenue en équilibre par le mur ou par le reste de la masse. Ce raisonnement n^est cependant pas absolument exact : tant que Tune des parties delà masse est soutenue par l'autre, il faut, par raison de symétrie, que Bot soit une action moléculaire principale ; par contre, lorsque l'une des parties est remplacée par le mur, la symétrie est absolument détruite. Il peut très bien se faire que la terre exerce nonseulement un effort normal R« sur le mur, mais aussi un effort tangentiel S. Si l'on tient compte du fait que le mur cède inévitablement^ et effectue sous l'influence de la charge une rotation autour d'un axe horizontal, on arrive même à conclure que la composante S peut atteindre une valeur égale

au produit de Reparle coefficient de frottement. C'est un point de la théorie de la poussée des terres sur lequel il a déjà élé beaucoup discuté et qui ne sera jamais élucidé définitivement que par des essais.

Si la surface du mur qui se trouve en contact avec la terre était absolument polie, de sorle que Ton fût certain qu'ail n'existe aucune force de frottement entre le mur et la masse, on pourrait employer sans hésitation les formules de l'article précédent ; il serait en effet indifférent que la partie de la masse de terre considérée fût soutenue par le reste ou par un mur. Ces conditions n'étant pas remplies, il y a lieu d'être prudent dans les applications des formules précédentes au cas actuel.

Nous pouvons aussi supposer lamasse déterre (nous admet* ions toujours implicitement que celle-ci est limitée par un plan horizontal) soutenue par un mur dont la face postérieure est dirigée suivant une surface de glissement du terrain. 11 suffit

pourcela quecette face forme un angle de 7 + ^ avec l'horizon-

taie, c'est-à-dire par exemple un angle de 60^30', si (p = 35®. Un cas semblable nese présente pour ainsi dire jamais dans la pratique, toutefois s'il était réalisé, on pourrait dire avec plus de justesse que dans le cas précédent, que le mur remplace l'effet de la terre enlevée. Car, en effet, dans les petites déformations que subirait le mur, la surface de séparation entre celui-ci et la masse de terre jouerait le même rôle qu^une surface de glissement.Nous pourrions donc admettre commegrandeur de la poussée du terrain la valeur de l'action moléculaire que nous avons calculée pour une surface de glissement. Cette action moléculaire est dirigée dans le sens de l'autre surface de glissement, car l'angle que forment deux surfaces de glissement est égal à- — cp ou--+- ©, comme le montre la formule

(400). Les composan te R'etSMecetteaction moléculaire peuvent être déterminées à l'aide de (394)^ eny exprimant R^ en fonction de R^ à l'aide de (398) et en faisant ^ = 'y. Pour y, on prendrait la valeur donnée par (400).

Il est enfin encore un autre cas auquel on peut appliquer immédiatement les formules trouvées pour Tétat élastique à Tintérieur d'une masse de terre illimitée^ c'est celui dans lequel le terrain considéré est limité, à la partie supérieure, par un plan incliné de o sur Thorizonlale. On connaît alors immédiatement Tune des surfaces de glissement pour chaque point de la masse : elle est parallèle à ce plan. L'autre, qui forme

avec la première un angle r — ç, est par conséquent verti-

cale» Les directions des actions moléculaires principales sont aussi connues, elles coïncident avec les bissectrices de Tangle formé par les surfaces de glissement.

Si Ton suppose que la. masse de terre considérée s'appuie contre un mur de soutènement vertical, rien n'est changé à Télat élastique de la masse illimitée, puisque la surface de séparation est une surface de glissement. En raison de la symétrie de l'état élastique, les actions moléculaires sont égales sur les deux surfaces de glissement. D'autre part^ nous pouvons facilement calculer la valeur des actions moléculaires sur celle de ces surfaces qui est parallèle au plan limitant le corps : elle est égale au poids de la terre située au-dessus de la surface considérée. Pour un élément (/F, située à la profondeur s (dans le sens de la verticale) ce poids est égal à

yzdF cos <p ;

la pression sur l'unité de surface de la face interne du mûr, à une distance verticale z du plan supérieur, est par suite :

Y z cos o ;

elle est dirigée parallèlement à la pente naturelle et forme en conséquence l'angle ç avecThorizontale.

Méthode graphique de Mobr pour la détermination du moment d'inertie d'une surface plane.

Nous supposerons d'abord que Taxe XX' par rapport auquel le moment d'inertie doit être formé, passe par le centre de gravité de la surface; s'il n'en était pas ainsi, on trouverait facilement, à Taide delà relation (Si), page 85, le moment d'inertie relatif à un axe parallèle à XX'. Décomposons la surface considérée en un certain nombre de bandes par des droites parallèles à XX', en ayant soin de mener ces dernières à des distances assez rapprochées pour que les aires qu'elles délimitent puissent être assimilées à des rectangles, des trapèzes ou des triangles. Soient i le nombre des bandes ainsi formées, f^

/i, /a ,/i leurs aires, 5,, 5,, 5„...^| leurs centres de gravité ;

^D^flf ^3 t^< la distance de ces derniers à l'axe XX' :X' (dans

la figure t =7). Le moment d'inerlie de la surface considérée F est égal à la somme des moments des aires partielles ;or le moment d'inertie de Tune quelconque de celles-ci, fk, est :

où ïk désigne le moment d'inertie de A par rapport à un axe parallèle à XX' passant par Sk, Nous avons donc :

Si les surfaces / ont été choisies suffisamment petites, les moments U sont des quantités très petites comparativement

ut

NOTES

aux produits /^ a\, de sorte que nous pouvons poser avec une approximation tout à fait suffisante pour les applications :

1= 2 AaV

Supposons maintenant que l'on applique au centre de gra* vite de chacune des aires partielles considérées une force égale à Taire correspondante et parallèle à Taxe XX', et construisons le polygone funiculaire de ces forces, en ayant soin

de prendre la distance polaire H égale à — = - et de placer le

pôle G symétriquement par rapport aux extrémités AB de la ligne des forces. La résultante des forces passe, comme on sait, par le point d^intersection C des côtés extrêmes du polygone funiculaire ; de plus, dans le cas présent où les forces sont égales en grandeur aux aires des surfaces /, cette résultante passe par le centre de gravité S de la surface : elle coïncide par conséquent avec Taxe XX'. Si donc S et par suite la position de XX' n'étaient pas déterminés préalablement^ nous pourrions Tobtenir par cette construction.

Fig. i.

Considérons maintenant Taire comprise entre les côtés extrêmes du polygone funiculaire et la ligne brisée A'B', et décomposons-la en triangles^ en prolongeant les côtés du poly*

gone jusqu'à l'axe XX^ Soit par exemple y^ la base du triangle formé par les côtés 0' et i' ; ce triangle est semblable au triangle Ây i, C, du polygone des forces ; nous pouvons par suite écrire la proportion suivanteentre leurs hauteurs et leurs bases :

ai yi

ou, en tenant compte de la valeur choisie pour H :

«1 Vx

En considérant les triangles formés par les autres côtés du polygone et en procédant de même, nous pouvons établir la série suivante de relations :

Multiplions chacune de ces égalités par la valeur de a correspondante, il vient :

En additionnant membre à membre, noas trouvons :

S aV* = F 2 î^.

Le membre de gauche est le moment d*inertie cherché (formule y) ; d'autre part, on reconnaît que la somme qui figure dans le membre de droite n'est autre chose que Taire

4M NOTES

de la surface A'B'C ; en effet, chacun dos termes de cette somme est Taire d'un des triangles composant la surface A'BX'. Sôit F' cette aire, nous pouvons écrire :