I = FF. (S

Ainsi, le moment d'inertie de la surface donnée est égal au produit de Taire de celle-ci par Taire de la surface déterminée par le polygone funiculaire construit selon la règle que nous venons d'exposer.

Il est facile de nous rendre compte maintenant de la grandeur de Terreur commise en négligeant les termes U dans la forniule (3). Si nous supposons la surface F décomposée en bandes infiniment petites, les termes Ik tendent vers zéro ; d*autre part, le nombre des côtés du polygone funiculaire croît indéfiniment, de sorte que ce dernier tend vers la courbe enveloppe du polygone que nous avons tracé. L'erreur commise est donc égale au produit de la surface F par Taire comprise entre le polygone et la courbe qui l'enveloppe.

Le moment d'inertie de la surface F par rapport à un axe ZZ' parallèle à XX' et situé à une dislance d est (formule S4) :

r=i+Frf«,

ou, en tenant compte de (S),

r=F(F'-Hrf*).

Or, dans le triangle CDD', Tangle en C est droit par suite de la valeur choisie pour H ; doncDD' = 2(1 et par suite :

aire CDD' = rf^

Si nous désignons par F'' Taire de ce triangle, nous pouvons écrire :

Construction graphique de la ligne élastique des prismes

travaillant à la flexion.

i . Théorème de Mohr. — Considérons Tétat d'équilibre d*un fil flexible, mais inextensible^ soumis à Taclion de forces continues et parallèles entre elles (nous les admettrons verticales). Si nous supposons le fil solidifié et transformé en un solide de forme invariable, rien n*est changé, puisque le fil se trouve en équilibre ; par contre, nous pouvons appliquer toutes les lois de la Mécanique. Sous Tinfluence des forces extérieures, il se développe en chaque point à l'intérieur du fil une certaine tension ; si nous coupons le fil en un point, il faut, pour ne rien changer, appliquer en ce point une force extérieure égale à la tension du fil. Considérons la partie ÂB du fil comprise entre son point le plus bas et un point quelconque B (fig. i), page 446, soit H la tension agissant en A, et S celle qui règne en B. Ces deux forces font équilibre aux charges qui agissent sur le fil ; si nous désignons par T la résultante de ces dernières, par Y la composante verticale de S et par R sa composante horizontale, nous avons les relations :

Nous pouvons donc énoncer les deux propositions suivantes :

i' La composante horizontale de la tension régnant en un point quelconque du fil est égale à la tension agissant au point le plus bas.

2° La composante verticale de la tension en un point queU conque est égale à la résultante des fonscs extérieures agissant sur le fil entre le point le plus bas et le point considéré.

NOTES

Soit al'angle compris eDlre& et rhorizonlale :

Si nous rapportons la courbe à un système d'axes xoy^ dont Taxe des ârsoithorizontal, nous pouvons écrire:

dx H*

Soit /> rintensité de la force

continue rapportée à runité de

longueur d*arc ; la force qui agit

sur l'élément ds du fil est pds. Au lieu de rapporter la force/»

à Félément d'arc, nous pouvons la rapportera la projection dx

de d$ sur Taxe des a:, il suffit de poser :

p ds =p'dx ;

il est évident que si p est une fonction continue^ p' le sera aussi. Si nous portons en chaque point les valeurs de p' en ordonnées sur les valeurs de or correspondantes, nous obtenons une certaine courbe abj que nous désignerons dans la suite sous le nom de courbe de charge du fil. Nous avons évidemment :

T=/;pW.;

on voit donc que T est égal à Taire aa' bb\ (a) peut s'écrire :

dx

d*où, en différenciant :

d'y p^ do^ H

Ja'

Nous avons Ironvé précédemment pour l'équatiou diffé lie de laligne élastique d'un prisme droit, l'expression :

(fy M .

rf;.' ÎË' voit que, si nous faisons, dans p, ;?'=M et H^IE, ux équations sont identiques (t). Nous pouvons donc ér r le théorème suivant :

La ligne élastique d'un pi-isme droit peut être envisc nme P état d équilibre d'un fil dont la charge serait enc e point égale au moment fléchissant agissant sur leprisn^ ni la longueur serait telle que la tension atteindrait aupi plus bas la valeur lE.

Nous avons déjà remarqué à Tart. 52 que l'on pouvait ( uire une courbe des moments en portant les valeurs di ordoQuées sur les valeurs de x correspondantes. Nous p as par suite modifier la première partie de l'énoncé ci-< ( et dire aussi que la ligne élastique est l'état d'équili in fil dont la courbe de charge coïncide avec la courbe iments du prisme.

Le théorème que nous venons d'établir a été énoncé d'ab ! Mohr ; il permet de calculerfacitemenl les inflexions sul r un prisme soumis à des forces doonées, saas passer itégration de l'équation dilTérentielle de la ligne élastic