Appli«»ti«Bs da théorèaie de llebr. — l"exem

nsidérons un prisme de longueur /,soliicitéeasoa milieu e force unique P (fig. 2]. La surface des moments est triangle isocèle, dont la plus grande ordonnée est égal , comme on le vérifie Eacilemeat eu calculant la valeur

1) En r£alilé, nous avons trouvé :

igné —, étant dû simplement aux lijpothèses faites sur la directioi e d«s y, est sans importance.

NOTES

plus grand moment de flexion. Nous allons calculer la flèche/

du prisme en son milieu. A cet effet, nous envisageons la ligne élastique comme un fil. La branche A'' G* est en équilibre sous Faction des tensions régnant on A'' el C et de la résultante Y des forces agissant sur le fil. En vertu des théorèmes que nous venons de démontrer, la composante horizon* taie de S est égale à la tension lE régnant en C; de plus, sa composante verticale est égale à V. Enfln, cette dernière force est égale à Taire du triangle A' C D', donc :

V — ^ — = — • 4 4 iô '

elle agit au centre de gravité du triangle A' B' C, soit à une

distance - de C^. Le système de forces étant en équilibre,

Ja somme des moments, pris par rapport à un point quelconque, est nulle. Si nous prenons D'" comme pôle, nous aurons donc :

d'où, en tenant compte de la valeur de V :

comme nous avons trouvé précédemment (art. S2) (l).Il serait {{) Il n'est peut être pas superflu de remarquer que les forces que nous

facile de calculer rinflexion y en un point quelconque F'' , il suffirait d'envisager le segment F'' d et d'établir pour ce dernier les conditions d'équilibre. Le calcul devient toutefois un peu long.

2" exemple. — Supposons le prisme encastré aux deux extrémités et soumis à l'action d'une force continue d'intensité q par unité de longueur, et proposons-nous de calculer comme plus haut rinflexion /qu'éprouve le prisme en son milieu.

Il nous faut d'abord déterminer la grandeur du moment Mo qui règne dans les sections d'encastrement. Si le prisme reposait librement, le moment de flexion dans une section quelconque d'abscisse x serait :

et par suite la surface des moments serait limitée par une parabole A' C B'. En réalité, le moment M qui agit dans cette section est égal à

M' -~ Mo .

Dans la figure, l'influence de l'encastrement se traduit donc par un déplacement en A'' B'' de la ligne A' B' à partir de laquelle sont mesurées les ordonnées.

HJm^-^

Fig. 3

supposons agir sur le fil ne sont pas celles qui sollicitent le prisme. Ce sont au contraire les moments fléchissants qui produisent ces dernières que nous considérons et que nous traitons comme des forces.

4S0 NOTES

Les tangentes à la ligne élastique sont horizontales aux extrémités ; de plus, la ligne élastique est symétrique ; si donc nous formons l'intégrale :

doLf

dans laquelle da. désigne Tangle de contingence, c*est-à-dire Tangle compris entre deux tangentes infiniment voisines, il est certain que cette intégrale sera nulle. Nous avons les relations :

donc :

--. = - et 9 = 77 (formule 78), ds p 'M '

, Mds aa = ---lË

Si nous remplaçons de plus ds par dx^ ce qui est permis, étant donné la faible courbure de la ligne élastique, et si nous substituons dans l'intégrale ci-dessus, nous obtenons la relation :

nudx

1 et Ë sont dés constantes par hypothèse ; il reste donc :

/ Mdx = 0.

Or, l'intégrale n'est pas autre chose que l'aire de la surface des moments. Pour que celte dernière soit nulle, comme l'exige la relation ci -dessus, il faut qu'elle se compose de parties additives et de parties soustractives qui se compensent. Cette condition va nous permettre de déterminer Mo. D'après ce qui précède, nous devons avoir, fig. 3 :

A'A'E = C'D*'E; ajoutons de chaque côté l'aire A'ED'D*, il vient :

rectangle A^A^D^'D' = segment parabolique A'C'D',

l % l ql^

d'où:

La surface des moments est ainsi complètement déterminée. Pour calculer/*, nous procédons exactement comme dans l'exemple précédent; nous égalons à zéro la somme des moments des différentes forces qui agissent sur la portion ac du fil, et nous tirons de cette relation la valeur de /. Pour éviter la peine de calculer les coordonnées du centre de gravité de la partie A' A^'E de la surface des moments, il suffit de considérer cette dernière^ ainsi que nous venons de le faire, comme composée d'une partie additive A'C'D'et d'une partie soustractive A'A^'D^D'. Les forces et leurs distances au point D', pris pour p61e, sont indiquées dans la figure 3 ; on a la relation :

d'où :

384IË

Il est clair que, lorsque la ligne élastique présente une double couiibure comme dans le cas actuel, on ne peut plus logi- (juement l'assimiler & un fil, car, en certains points, la tension devrait être négative. On peut alors supposer le fil remplacé par un chapelet de sphères solides infiniment petites: chaque sphère subit des pressions de la précédente et de la suivante et l'équilibre subsiste.

Nous renonçons à donner ici d'autres exemples, la marche à suivre étant toujours la même.

s. Coastraetioii i^raphique de la lig^ne élastique. —

On démontre en mécanique que la courbe d'équilibre d'un fil flexible, sollicité par un système de forces continues, est une

NOTES

des courbes funiculaires de ce système. La ligne élastique doit donc èlre aussi une courbe funiculaire du système de forces représenté par la surface des moments du prisme considéré. Un système de forces possède une infinité de courbes funiculaires ; il nous faut par suite rechercher quelles sont les conditions à remplir pour obtenir la ligne élastique du prisme. Il faut d*abord que cette courbe passe par les points d'appui du prisme ; si celui-ci est encastré, il faut que les tangentes à la courbe funiculaire aient, aux points d*encastrement, la direction convenable (elles devront être horizontales si le prisme est encastré horizontalement). Ces conditions sont nécessaires, mais non pas suffisantes : en effets soit o (fig. 4) le pôle du polygone des forces qui correspond à une courbe funiculaire satisfaisant par hypothèse aux conditions précédentes, ou voit immédiatement qu'en déplaçant o le long de la parallèle oc à la ligne de fermeture, on obtient une infinité d'autres courbes funiculaires remplissant les conditions exigées. Cette remarque nous montre qu'il est nécessaire, pour obtenir la ligne élastique, d'employer dans la construction du polygone des forces une distance polaire bien déterminée, qu'il s'agit de calculer. Considérons à cet efiet l'arc A'C de la courbe funiculaire, C étant le point de contact de la tangente parallèle à la ligne de fermeture A'B'.

Fig.

Si nous envisageons cet arc comme la courbe d'équilibre d'un fil, nous voyons qu'il devrait y avoir équilibre entre la tension S agissant en A.', la tension S' régnant en C cl la résultante T des forces extérieures qui sollicitent Tare considéré. Il faut donc que ces trois forces forment un triangle fermé. On reconnaît immédiatement que ce triangle est le même que le triangle aco du polygone des forces ; en effet, ac, oay oc sont respectivement parallèles à T, S et S' , et de plus ûc = T. Donc ao et oc sont respectivement égaux à S et S'. Nous avons trouvé que la projection horizontale des tensions dans le til est constante et égale à la tension agissant au point le plus bas, par conséquent la distance polaire du polygone des forces doit être égale à cette dernière tension ; de plus, nous avons démontré que^ pour que le fil coïncide avec la ligne élastique, cette tension doit être égale à lE ; nous voyons donc que la distance polaire qu'il faut choisir pour obtenir la ligne élastique est égale à lE.

Cette condition, jointe aux précédentes, permet de construire la courbe cherchée. La construction n'est toutefois pas possible directement, car si la répartition des forces n'est pas symétrique^ et si les points d'appui ne sont pas à la même hauteur, on ne peut choisir de prime abord la position du pôle 0 par rapport à ai, de façon à remplir d'emblée toutes les conditions du problème. Dans ce cas, le plus généra^ qui puisse se présenter, on construit d'abord une courbe funiculaire en prenant un pôle quelconque o\ puis on détermine la courbe élastique en se servant de la propriété des courbes funiculaires d'un même système de forces extérieures d'être en affinité. On sait que les points correspondants de figures affines sont situés sur des droites parallèles entre elles, tandis que les droites correspondantes des figures se coupent sur un axe dit axe d^affinité. En utilisant ces propriétés, il est facile de construire la ligne élastique à l'aide de la courbe auxiliaire.

Le produit lE est en général très grand comparativement

454 NOTES

aux autres quantités du problème ; la distance polaire est, par suite, très grande. lien résulte une courbe funiculaire de très faible courbure, ce qui est nature), puisqu'elle représente la ligne élastique. Par contre, le tracé de Tépure devient difficile et peu exact. Il est donc désirable de construire les ordonnées de la ligne élastique à une beaucoup plus grande échelle que les abscisses, de façon à obtenir une figure plus facile à con* struire et aussi plus commode pour les applications. U est facile de satisfaire à cette condition, grâce à une propriété des courbes funiculaires relatives h un même système de forces : on démontre que le produit de Tordonnée y de la courbe funiculaire, mesurée à partir de la ligne de fermeiure, par la distance polaire, est une constante pour un point donné (la constante n'est autre chose que le moment de flexion des forces formé par rapport au point donné) (1). Si donc y et y' sont les ordonnées correspondantes de deux courbes funiculaires rela* lives à un même système, nous avons :

En parliculier, si nous faisons H = IE, y est l'ordonnée de la ligne élastique et nous avons :

Ainsi, si, au lieu d'employer une distance polaire égaie à lE, nous employons une distance polaire H', l'ordonnée ^ de

la courbe funiculaire obtenue est — fois plus grande que l'ordonnée réelle de la ligne élastique.

(i) La démonstration est facile à établir :

Considérons un système de forces parallèles agissant sur un prisme. Nous avons défini reffort tranchant agissant dans une section donnée, la dérivée du moment de flexion relatif à cette section ; il est facile de voir qu*il peut aussi être envisagé comme la résultante de toutes les forces extérieures (y compris la réaction de l'appui) agissant d'un même côté de la section considérée. Or, le moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes, de sorte que le moment de flexion n'est autre chose que le mo-

ment statique de l'effort traDchaot par rapport à la section cousidé sait, d'autre pari, que la résultante partielle de quelques forces d'un passe par te point d'intersection des calés du polygooe funiculaire q prennent ces forces ; par conséquent, l'effort tranchant doit passer | tersection de la ligne de fermeture du polygone avec le cûlé que coup tion considérée (ou avec la tangente à la courbe funiculaire). Consid^ triangles mnr et ocd (fig. 4) : ils sont semblables, car les cOlés coi daatssont parallèles deux à deux. On peut donc écrire ta proportioi

(cd) H' mais, en vertu de la nouvelle définition de V,

Or, Yx est par définition le moment de flexion qui considérée, nous avons donc bien :

BESUHE DES FORMULES LES PLUS IHPORT CONTENUES DANS L'OUVRIGE

CtéuéFalités buf les force* intèri ou aclions molécaloirOB.

H, action moléculaire, P, efTort d'exteDsion ou de compi sioD agissant sur la surface F.

'■ Si/J!, SjîJ Sji, Syi — Sj|/,

relatioDS entre moléculaires.

les composantes tangentielles des

acti

du

dx

équations exprimant les conditions d'équilibre d'un pars

lipipède intiniment petit de volume 4gal à l'unité ; X, Y,

composantes des forces d'inertie agissant sur ce solide.

Pfu! = Rar cos (nx) + S^i cos (ny) + Sjj, cos (tia), \

Pnv = Sx„ COS (nx) + Ry cos [ni/) + S^y cos (hî), {(

Pn* = Sa:.- COS (nx) + S„.- COS (wj) + U; cos (nz), )

conditions d'équilibre d'un tétraèdre; en particulier, si

solide est à la surface du corps, Pnx^ etc., sont les composai

des forces extérieures agissant sur la face dont la normale est n.

Si Ton suppose :

Rs = 0, Safs = 0, Sys = 0, (8)

on réalise un état élastique double ;

formule donnant Tinclinaison f des axes principaux de l'état élastique double avec l'axe des x.

Rdf + Ry . 1

1^' max. =

max.

min.

±iV^4S» + (R«,-R^)«,

R'max. et R'miD. actions moléculaires principales.

Rj? — R|/

tg2y =

équation pour déterminer Torientation des sections dans lesquelles les actions moléculaires tangentieiles atteignent leur plus grande valeur.

S' max. = It i . /4S* + (Vix - RyY min . ^ y

valeurs maxima et minima des actions moléculaires tangentieiles.

pac»

ÎT

Déformations élastique*. Travail des matériaux

. = g = xR.

laide Hooke, t dilatation, E coefficient d^élasticité longitudinale, X coefficient de souplesse directe.