Propriétés élastiques de« corps ne satisfaisant

pas à. la loi de Hooke. — Les fig. iO et {\ donnent les résultats d'essais à l'extension et à la compression exécutés par l'auteur sur des prismes de granit et de molasse. Les prismes étaient de section rectangulaire d e 20 sur 30 cm. de côté. Des essais préliminaires avaient démontré la nécessité de recourir à des prismes d*aussi grandes dimensions. Le travail des blocs à l'aide des oiîlils du tailleur de pierre enlraine certaines modifications des couches extérieures qui influent trop sur les résultats lorsqu'on opère avec des sections plus faibles. Les abscisses donnent, en centimètres, les dilatations observées. Avant ressai,les prismes étaient soumis à des charges réitérées, de sorte qu'ils se comportaient dans l'expérience comme des corps parfaitement élastiques.

La ligne pointillée de la fig. 11 a été obtenue en soumettant le prisme aux mûmes efforts, 15 heures après le premier essai, dont les résultats sont donnés par la ligne pleine. La différence des ordonnées donne une idée de l'influence du temps sur les déformations. Cette influence est ici très grande, ce qui provient probablement de la grandeur de l'effort d'ex-

tension, voisin de la charge de rupture, atteint la première fois.

*S,7eUnu

-n.s.io

eejatM^

Fig. 40 granit

Druck zz Compression Zug = Extension Atm = kg. par cm* Les dilatations sont indiquées en centimètres

Un corps obéissant à la loi de Hooke donnerait, pour image des dilatations en fonction des efforts, une droite. Les pierres donnent, comme on voit, une courbe, en forme d*S, possédant, semble-t-il, un point d'inflexion à Torigine. Les dilatations élastiques e croissent plus rapidement que les efforts d'extension ou de compression correspondants.

Une opinion assez répandue actuellement, bien qu*elle no repose sur aucun essai exact, est que les pierres satisfont sensiblement à la loi de Hooke, mais avec des coefficients d'élasticité longitudinale différents pour la compression et pour l'extension. Si cela était, il devrait être possible d'assimiler les courbes précédentes à deux droites obliques se rencontrant à Torigine et coupant Taxe des abscisses sous des angles différents. On voit qu'il n'en est rien : les calculs basés sur cette hypothèse n'ont aucune valeur.

Pour représenter par une formule la loi (réiasticité qui régit ces corps, il faut poser :

/ étant une certaine fonction qui représente avec une exactitude suffisante les courbes trouvées. La notion du coefficient d'élasticité longitudinale perd naturellement son sensprimilif, il faut en poser une nouvelle définition. Malheureusement, deux

Jjpuch

Fig. 11 molasse

\\io,oatm.

4fS,9,ld* *^^iO'^

quantités absolument diiTérentes sont prises, tantôt Tune tantôt l'autre, comme coefficients d'élasticité, sans qu'il soit toujours possible dans un cas donné de distinguer de laquelle des deux il est question.

En dérivant (20) par rapport àR, on obtient, si Von désigne par f la dérivée de / :

On peut prendre cette valeur — — comme coefficient d'élasticité longitudinale ; en effet, dans le cas de la loi de Hooke cette définition coïncide avec celle qui a été donnée primitivement. Cette quantité est susceptible d'une interprétation géo-

DEFORMATIONS ÉLASTIQUES. TRAVAIL DÉS MATÉRLVUX 45

métrique très simple : c'est la tangente trigonométriquc de Tangle que la tangenle aux courbes (fig. 10 et 11) au point R, e, fait avec l'axe des e.

L'équation (20) donne encore :

Cette valeur devient aussi égaleau coefficient d'élasticité dans le cas de la loi de Hooke ; on peut donc avec le même droit la regarder comme généralisation do ce coefficient. Géométriquement, elle est représentée par la direction de la corde joignant Torigine au point R, e. Et naturellement ces deux définitions ne sont nullement identiques, la direction de la tangente étant diflérente de celle de la corde; dans les deux cas du reste le coefficient d*élasticité n*est plus une constante, mais une fonction de R. Nous adopterons ici la seconde définition, formule (22); celle-ci permet en effet de calculer immédiatement, la déformation, connaissant la force et inversement Or c'est là Tusage principal du coefficient d'élasticité; il faut de plus lorsqu'on donna ce dernier indiquer à quelle force R il se rapporte.

Pour de petites valeurs de R et de e les deux définitions coïncident d^une manière assez satisfaisante pour qu'il soit possible de remplacer Tune par l'autre ; on peut donc poser :

R=tf R=:a

Pour certains problèmes traités dans la théorie de Télasticité, par exemple la propagation des ondjes sonores^ dans lesquels on n'a à considérer que de très petites forces, on pourra employer avantageusement la valeur de E donnée par l'équation (23). Inversement, il serait possible de déterminer cette valeur à l'aide d'observations sur la vitesse de propagation du son.

Sur l'initiative de M. von Bach, un de ses élèves, M. Schûle,

a déterminé à l'aide de nombreux essais la forme de la fonction /.

Il a trouvé que Texpression :

« représente d'une façon satisfaisante la loi cherchée, dans rintervalle des efforts survenant dans la pratique » (*). Les constantes a et m ont été déterminées séparément pour la compression et pour rextension,et cela pour toute une série de matériaux. Une sorte spéciale de fonte de fer a fourni par exemple les valeurs suivantes :

Essai à la traction : a = , ^^, ,^ , m = 1,0663

Essai à la compression : a = T-T^r-^jîj;, 'w = 1 ,395

Les unités, dans la formule (24), sont le centimètre et le kilogramme.

Pour le coefficient d'élasticité longitudinale, on tire de (24),

selon (21) ^= ^

^' «mR*^^^

suivant (22)

et d'après (23) E = oo

M. Lang a proposé (') une autre formule donnant E en fonction de R : •"

E = Eo — cR (25)

E étant pris dans le sens de la formule (22).I1 est impossible actuellement de se prononcer en faveur de Tune ou de l'autre de ces formules ; il faudrait calculer les constantes de la for-

1. Voir Zeitschrift des Vereines Detitscher îngeîiieure, Année 4887, p. 249.