EÛ (^- T
Les forces intérieures qui sollicitent la section T sont ainsi ramenées à une résultante unique passant par le point m, dont les composantes sont données par les deux dernières équations (12), et à un couple dont le moment est donné parla première de ces équations.
Composons de même en une force unique et un couple
la partie des forces extérieures appliquées entrela section T et l'extrémité B de la pièce. Nous supposons que Ton prend dans cetle opération, pour les coordonnées des points d'application, les valeurs qui conviennent à ces points dans le solide AB, ce qui revient à négliger la différence de ces coordonnées et de celles du solide A 4 B 4 . Dans une pièce chargée debout, cette simplification ne pourrait être admise, mais ce cas sera traité ultérieurement. Soient P la force et H le couple ainsi obtenus. La partie mB de la pièce est en équilibre sous l'action : i° des forces moléculaires intérieures; 2° d'une force et d'un couple appliqués à la section T', égaux et contraires à la force (X, Z) et au couple M appliqués à la section T; 3° de la force P et du couple H. Les forces moléculaires intérieures se détruisent comme égales deux à deux et de signes contraires : donc les deux forces et les deux couples se font équilibre; donc la force P est égale à la force (X, Z), et le couple H au couple M. Ainsi les équations (12), dans lesquelles X, Z, M seront remplacés par leurs valeurs en fonction des données relatives à la partie des forces extérieures appliquées entre la section T et l'extrémité B, constitueront le système des équations différentielles de l'équilibre de la pièce considérée entre les trois inconnues daf, dzf, dq. Si l'on différence les équations (i) après avoir
remplacé cosa et sina par leurs valeurs -^ et — > et qu'on
les résolve par rapport à d &r, d &z, on obtient
Idx dz
dfa= — dW—- r d$z', ds ds
dz . dx
d$z = — d$x'+ — dâz'. ds ds
Si Ton divise les équations (9) par "kdv = &>, et que l'on
y remplace a, ol et / par leurs valeurs tirées des équa-
•mr 7 liff
tions (m), savoir a=— > a'= -* /=—> on obtient (r- x Mv
Nous avons retrouvé ainsi les sept équations (28), (29), (3o) et (3i) dun°22, savoir les équations (ia), (i3)et (14)1 dans lesquelles R' représente la quantité désignée par R" dans les équations (3i).
Les équations (20) peuvent recevoir une importante simplification dans plusieurs cas de la pratique. Elle con-
siste à négliger les quantités — » — * — * généralement
dte dty d$z'
très-petites par rapport aux quantités —r— > —r 1 -» --7ce qui réduit ces équations à
ds d3f
ds
dte - ,
Les deux dernières expriment la condition que les sections normales à la fibre moyenne du solide AB dans le premier état d'équilibre restent normales à la fibre moyenne du solide A,B, correspondant au second état d'équilibre. En effet, si cette condition était remplie, après le mouvement de la pièce AB qui fait coïncider la section T avec la section T| , le point m', qui occupe la posi-
tion m 3 {jig* a), serait situé sur la droite m i m\, puisque mm! est normal à T et m l m\ normal à T|. Mais les projections de la distance m z m\ sur les axes ma/, my'y mzf, transportés en m K x\, m^',, m i z\ lorsque T a été transporté en T| , ne diffèrent que de quantités négligeables des projections de cette même distance sur les axes ma/, mjr', mz f . On pourra donc preadre les premières pour représenter les valeurs de celles-ci. Or, les premières sont égales à zéro sur les axes m K y\, m K z xJ qui sont perpendiculaires à la direction de m 3 m\. Mais, si Ton cherche la valeur des projections sur my* ', mzf de la distance m 3 ni t9 on trouve les expressions (5) du n° 14. On aura donc
d9z' — ds$q'=o.
Ces équations expriment donc la condition que les sections normales à la fibre moyenne restent normales à cette fibre dans le second état d'équilibre de la pièce.
Cette condition exige que — ? — soient des quantités
négligeables par rapport à $r', $(/. Or les équations (21) donnent
7 J El' J EF
Soient x, y, z les coordonnées du point où la résultante P
(n° 21 ) rencontre le plan x' z* de la section T. Les moments
M et N seront M = — *X, N=jX. En supposant con-
M ' N stantes les quantités — ,, — , on a, en désignant par s la
longueur de Tare comprise entre les deux limites de l'in-
tégrationj — = — , J — = , e t en remplaçant M
CONSIDÊRtBS DAXS LE PLAH. $Q
et N par leurs valeurs,
H El' *
El*
Ainsi les quantités p— * p— doivent être négligeables
par rapport à -=yf » ^F"* Cette condition est très-souvent
réalisée dans la pratique. Elle Test notamment dans les arcs à grand surbaissement, où X est très-grand par rapport aux autres composantes Y, Z, surtout lorsque les
rayons de gyration dont les carrés sont -* — ont de trèspetites valeurs par rapport aux produits zs, y s, comme cela a toujours lieu pour les pièces dont les dimensions transversales sont très-petites par rapport à la longueur. En effet,
—71—1 carrés des rayons de gyration, sont d'un ordre de
grandeur comparable à z 1 on y 2 ; donc les rapports de ces carrés aux produits zs, y s sont comparables à-i -> quantités très-petites.
4o CHAPITRE II. — PIÈGES EN ARC DE CERCLE.
