CHAPITRE IL

DÉTERMINATION DES FORCES EXTÉRIEURES PROVENANT DE LA RÉACTION DES APPUIS SITUÉS AUX EXTRÉMITÉS DE LA PIÈCE.

25. Supposons que la fibre moyenne soit un arc de cercle situé dans un plan vertical partageant les sections normales en deux parties symétriques et contenant les forces extérieures autres que le poids propre de la pièce. Cette dernière force est elle-même située dans ce plan par suite de la symétrie du solide par rapport à ce même plan. Nous supposerons en outre que la pièce est partagée en deux parties symétriques l'une de l'autre par un plan perpendiculaire sur le milieu de la corde horizontale qui joint les extrémités de l'arc. Enfin la pièce est supposée faire corps, par ses deux sections normales extrêmes, avec des massifs inébranlables.

Dans le premier état d'équilibre, la pesanteur de la pièce est détruite par la réaction de points d'appui suffisamment multipliés, tels que ceux que l'on obtient, d'ordinaire, par l'établissement de cintres ou échafaudages.

Dans le second état d'équilibre, la pièce est soumise à des forces verticales connues, y compris son propre poids, et en outre à des forces inconnues provenant de la réaction des appuis appliquées aux divers points des sections extrêmes EG, FD {fig. 6). Les réactions appliquées à la sec-

DÊTBllIHATION DB P 9 Q, L. 4 1

tion FD peuvent se ramener à une résultante unique passant par le point B, centre de la section, et à un couple.

Soient P la projection verticale de cette résultante, Q sa projection horizontale et L le moment du couple. Nous pouvons déterminer ces trois quantités inconnues à l'aide des équations (12) et (i3). Ces équations deviennent, par l'élimination de d &t/, d$J,

a* Uds

M | rffe== (s5 +T ) l(r -(K + '')*

Afin de simplifier les premiers calculs, nous supposerons que la température est invariable, ce qui donnera t = o,

et que les quantités — et p— peuvent être négligées , ce

qui réduira les équations précédentes à

IUds d$q = zî!z. 9 H El dox = — QqdZf d$z =.àqdx*

26. Soient TI la somme des forces verticales appliquées à la partie de la pièce située à droite de la section quelconque GH (fig. 6), non compris la réaction P ; M' le moment de la résultante de ces forces, pris par rapport au centre m de cette section.

Soient O le centre de la circonférence dont fait partie l'arc AJB; r son rayon; a le demi-angle au centre JOB. Rapportons la courbe à son centre et à la verticale OJ, comme pôle et axe d'un système de coordonnées polaires.

Prenons pour variable indépendante l'angle que fait le rayon vecteur Om avec l'axe OJ. Les valeurs de cet angle w seront prises positivement à droite et négativement à gauche de OJ; elles varieront depuis — a jusqu'à -j-a, entre les deux extrémités A et B de la pièce.

Cela posé, la valeur de M [voir formule (7), n° 24] sera donnée par l'équation

(b) M= M'-h L — Qr(cosw — cosa) -f- Pr(sina — sinw).

Mettons cette valeur dans la première des équations (2), rdtù à la place de ds, et nous aurons

Î* m f \ dtli « • / • • \ A*

— Qr 1 (cosw — cosa) — -f- Pr'fsina — sinw) =-• El £1

Multiplions par E et intégrons depuis — a jusqu'à w, c'està-dire depuis le point A jusqu'au point m; nous aurons, en désignant par dq la valeur de iq à l'origine A,

, r w sinwrfw , /* w cosw

- Pr *J -1 — Qr V —

dans laquelle A = Pr 2 sina-h Qr a cos« -t-Lr.

Mettons dans les formules ( 2 ) la valeur de $q tirée de l'équation précédente, rrfcocoso) à la place de dx, rdw sintù à la place de dz, et nous aurons, en multipliant par E,

l Ed$x=— rsmwrfwl E^ + r I — *- A I —

( „ /* w sin«</w . / ,w cosw</«\ -*'L- — Qr l.— >

Erf(?3= rcos«<f«l E<fy -*" r I — » *~ ! T

/""sinotditt , /*" cosw</«\

Intégrons maintenant les trois équations (3), (4), (5) depuis — a jusqu'à a; nous aurons, en désignant par 8</ t la valeur de $q à l'extrémité B; par ix 0y fcr«, fc§ et d* , celles de <î.r et $z aux extrémités A et B,

^ , r" sinw A - . f * cos»A*

= — rE<fy / sinwrfw— r 1 I l sinwrfw I — p- »

-rA T fsinwA T y)-+- p '*/ '\àn»A> J " ^ " j

„ TV . , r tt cos w A\ •4-Qr 3 I l sinwrfw I — r — J«

= rE8q I cosôicfa + r I l coswrfw / — j— I

H-rAl IcoswAl — 1 — Pr» I I cosuffo» I j J

XV , f"cos»AA Icoswtfwl r !•

27. Les deux dernières équations contiennent des intégrales doubles qui peuvent être remplacées par des intégrales simples à l'aide de l'intégration par parties qui donne les résultats suivants :

ri • ^ f w M'<fw\ r'Wd».

I Isinwtfwf — - — 1=1 — î — (cosw — cosa),

ri. , fd«>\ rj». .

I I sinwrfw I —1=1 —(cosw — cosa),

Cl. , C sinwrfw\ C sinw<&> .

I I sinw rfw I — - — 1 = I — - — (cosw — cosa),

/* / . , /'"coswd&A (** co&tûdu , .

I 1 sinwtfw I — - — )= I (cosw — cosa),

TV ^ f w M'rfw\ f'M'rfw,. . N

I I coswtfw I — - — 1=1 ' (sma — sinw},

I I coswtfw I —1=1 — (sina — sinw),

/* / , /*" sinwrfw \ /** sinwefw , . .

I I coswt/w I 1= I (sina — sinw),

C % l » /* M coswrfw\ (** cosndu , . . .

I I coswtfw f )=/ — ï (sina — sinw).

Posons, pour abréger,

T"MVw

(** M'coswrfw

XCOSw</w . — ='-

DÊTKUMNATION DE P, Q, L. 4")

Les deux premières des huit intégrales précédentes seront

iWj — m # cosa,

Pi — fa COSa.

La troisième est égale à zéro. En effet, les deux valeur» de la différentielle correspondant à deux points symétriques pour lesquelles g* a deux valeurs égales et de signes contraires sont elles-mêmes égales et de signes contraires, car les valeurs de I sont les mêmes pour ces deux points, par suite[de la symétrie de la pièce par rapport au plan vertical perpendiculaire sur le milieu de la corde AB.

Posons

cos* w dta

et la quatrième intégrale deviendra

Pt — 4 °i cos«.

En posant

'* M'sii)6></<k»

la cinquième intégrale devient

m sina — m,.

L'intégrale / — - — est nulle comme composée d'éléments égaux deux à deux et de signes contraires. La sixième intégrale se réduira donc à

p sina.

En mettant dans la septième i — cos 2 o> au lieu de sin 3 a>, elle devient

Pi — /v

La huitième, dans laquelle / T est nulle

comme composée d'éléments égaux deux à deux et de signes

contraires, se réduit à

p t sina.

A l'aide de ces valeurs, les équations (6), (7) et (8) deviennent

(9) E(<fyt — fyo) = rm -h Ào — Qr*p lf

E(^Xj — &r ) = — r t (/iïi — /7i cosa)

— rA(/>j — p cosa)-f- Qr 3 (p, — p t cosa), E(J3i -— <k ) = 2rE<fy sina -h /^(/«osina — /w,)

-+- rAp sina — P/- 3 (p, — p )— Qr'p t sina.

28. L'inconnue L n'entre dans ces équations que dans le trinôme A. L'inconnue P n'entre pas dans les deux premières, qui suffisent pour déterminer A et Q. Avant de les résoudre par rapport à ces inconnues, posons, pour abréger,

E ( tfxj — &r ) -f- r 1 ( m i — /w cosa ) = </, pt — p cosa = a y Pt — picosa = b.

Les deux équations (9) et (io) seront alors

p A — p 1 r*Q=c, — ark -+- br z Q = c',

d'où l'on tire

brc -f- p t c' ribpo — api)'

fi3) goC^fW

Pour abréger les écritures de l'équation (11), posons E(<ki — ■ ^ 5 o)~~ 3rE<fy sina— r*(m sina — m t )z=ic f \

cette équation donnera, pour la valeur de P, après la sub-

stitution des valeurs précédentes de A et Q, I

, ,. ^ rsinac — c*

Remplaçant A par le trinôme qu'il représente dans l'équation (12), on obtient une équation qui donnera la valeur de L en fonction de P et Q, savoir

/ r\ w /« . * % bre -h p t d (i5 L = — r Psma + Qcosoc)+ -=-= - — >•

29. La valeur (i3) de Q est indépendante de d 1 et par conséquent des variations $z 0y Sz lt projections verticales des déplacements des extrémités de la pièce. La valeur (i4) de P est indépendante de d, et par suite de $x 0f <Jx,, projections horizontales des mêmes déplacements. On en conclut que, si les appuis n'étaient pas inébranlables, et que les extrémités pussent se déplacer, des déplacements verticaux ne changeraient pas la valeur de Q, et la valeur de P ne serait pas modifiée par des déplacements horizontaux.

30. Lorsque les forces verticales données sont symétriques par rapport au plan perpendiculaire sur le milieu de la corde, la valeur de P donnée par la formule (14) se réduit, dans le cas de l'immobilité des extrémités, à la moitié de la somme de ces forces.

Remplaçons dans cette formule c et d 1 par les polynômes qu'ils représentent; elle deviendra

La quantité m 2 = I *" devient égale à r ^ a ~M ,

II désignant le poids total de la pièce et des charges qu'elle supporte lorsque ces charges sont symétriques.

En effet, formons l'expression de M' (n° 26). Soit g la distance horizontale de la résultante 71 à l'axe vertical OK (fig- 7). Cette force 7! est la résultante des forces verticales appliquées à la partie- de la pièce située à droite de la section LN (n° 26). M 7 est le moment de cette résultante par rapport au point m^ centre de gravité de la même section. On a donc

M'=z[g— rsinw)Z\

Soient L'N' la section normale symétrique de LN; Z'^M"

les valeurs de 7! , M' correspondant à cette section. Par

suite de la symétrie des forces, la résultante appliquée au

solide ECL/N' est égale à Z', appliquée à son symétrique

FDLN. On a donc

Le moment M /; est égal à la somme des moments par

rapport à m! de la résultante 7! et de celle qui est appliquée

au solide LNN'L'. Cette dernière, passant parle sommet

de l'arc, est égale à II — aZ'. Le premier moment est égal

à Z f (g-\-r sinco) et le second à (II — aZ')rsinw. Il en

résulte

M" = gZ' -4- rsinw(n — Z').

Les deux éléments différentiels de l'intégrale m 2 , qui correspondent aux deux points m et m', ayant pour coordon-

1 • * A / 1 ^ nrsin'wcfo»

nées angulaires o> et — w, ont une somme égale a - ;

on aura donc

JC B /nrsin*&>efo>\ { (— — )'

Mais on a

Jf**sin*w*/w r*du /* a cos*»<£w . . x

DÊTEBSllfATION DE P, Q, L. fa

on en conclut

ainsi que nous l'avons indiqué plus haut. Ainsi, dans le cas de l'immobilité des sections extrêmes, où les variations &/ 0l &/,, $z 0y $Zi sont nulles, la formule (14) se réduit à

Ce résultat, qui est évident a priori lorsque les sections extrêmes sont inébranlables, serait tout différent sans cette condition. La réaction de l'appui de droite serait donnée par la formule

_____ Ersina(<fy -f-<fy,)— E(o;,— <?V n ~~ r * (,°i — Po) ~~~ *

et pourrait être très-différente de l'appui de gauche; la somme des deux réactions est d'ailleurs constamment égale à II. La formule précédente montre qu'elles seront égales

entre elles et à - toutes les fois que la quantité r sina (<?7 -H $qi ) — àzi -+- fc

sera nulle, ce qui peut avoir lieu d'une infinité de manières, dans le cas par exemple où les sections extrêmes éprouvent des rotations égales et de signes contraires, et par conséquent symétriques, ce qui donne $q -f- Stji =0, et où les déplacements verticaux sont égaux, ce qui donne encore dz K — âz = o.

31 . Introduisons dans les formules qui donnent les valeurs de Q et de L (i3) et (i5)]la condition de l'immobilité

5o CHAPITRE II. — PIÈGES EN ARC DE CERCLE.

des sections extrêmes, et ces formules deviendront

(.8) q = tt^t5^

(iq) L ■=. — WPsina -4- Qcosa -f-

v *' ' popi-pi

Les cinq intégrales que représentent les lettres m , m t , p , p iy p 2 (n° 27) se calculeront lorsqu'on connaîtra la fonction I, moment d'inertie de la section normale, en un point quelconque m ayant pour coordonnée angulaire w, pris pour variable indépendante.

Calcul des modifications des valeurs de P, Q, L, résultant de la substitution des équations complètes ( i ) aux équations approchées (2).

32. Nous n'avons plus à nous occuper ici que des nouveaux termes introduits par cette substitution dans les équations (9), (10), (11) et suivantes.

Les expressions de X et Z, projections sur les axes ma/, mz 1 de la résultante de toutes les forces appliquées à la partie de la pièce située à droite de la section T, sont

X— Qcosw -4-(P -f-Z')sinw, Z =— Q sinw 4-(P-f- Z')cosw.

Substituant dans les deux dernières équations ( 1 ) et intégrant comme précédemment, on obtient, pour les termes complémentaires de l'équation (10) et ©' de l'équation (n),

e=2ETrsina-t-Qr -<j -f-(i — -j<r 8 "M 1 — g)" 1 '

DÉTERMINATION DE P, Q, L. 5l

dans lesquelles les lettres ? , <r 2l - , z% , Zj sont ] es ; nU $ grales suivantes :