Z = ZZ
Les trois couples composants du couple résultant unique auront pour moments
i Lz=z(Y'3'-Zy),
(i5) . M = 2(ZV-X' 2 '),
La lettre 2 indique des intégrales doubles qui s'étendent à tous les points de la section T et qui sont de la forme
Les fonctions F sont d'ailleurs entières et du premier degré par rapport à v et /dans les formules (i4) et du second degré dans les formules (i5). En effet, si l'on remplace z*, u', u" par leurs valeurs (7) dans les équations (i3),
on a, en multipliant par co= dvdv',
x , = I-Ei^-r*) + E^ p ErfV n
que nous écrirons, pour abréger,
(i6) ] Y' = (a'-h*V)<fr£fr,
( Z / =(a"— e't)d»di>'.
Si l'on remplace dans les équations (i5) od^y 1 , s' par leurs valeurs x'= o,^ / = t>, z f = v, après y avoir mis les valeurs précédentes de X', Y', Z', on obtient
/ L =ff[[«!s>'- z"t> + e'[* + v'*)]dvdi',
(17) | M=//(-a/-y+^)rfp^, ( X =ff(«ç + Iv*— evï)dvdv'.
Si Ton remarque que le point m est le centre de gravité delà section T, et que Ton a, par suite, ffvdv dv' = o, ffv'dvdv'z=o, les intégrales doubles des équations (16) se réduiront à
/ X= ail,
(18) )Y = a'il, ( Z = a" il,
en désignant par û XWveffdv dv* de la section T.
Les axes my', mz! étant les directions des axes principaux d'inertie de la section T, on a ffvv'dv dv' = o, et, si Ton représente par I =ff( v- -t- t>' 2 ) dvds/ le moment d'iner-
C0NSIDÉ1ÉES DANS l/ ESPACE. 23
tie polaire de la section, c'est-à-dire son moment d'inertie par rapport à l'axe mJ mené par son centre de gravité perpendiculairement à son plan, par Y= ffs/' 1 d\> dv* et V'=ffv*dv rf/les moments d'inertie de la même surface par rapport aux deux autres axes my,mzf, les équations (17) se réduiront à
Ces trois équations et les équations (18) deviennent, en remplaçant», a', a", /, e et c'par les quantités que ces lettres représentent dans les équations (16),
(ao) ( Y = Gû(^ + */■').
Toutes les forces qui sollicitent la section T se trouvent ainsi ramenées à une résultante et à un couple uniques.
21 . Composons de même en une seule force passant par le point m et en un seul couple le système des forces extérieures appliquées à la pièce entre la section T et l'extrémité B (fig. 1); appelons cette force P et ce couple H. La partie de la pièce mB est en équilibre sous l'action : i° des forces moléculaires intérieures; 2° d'une force et
d'un couple appliqués à la section T', égaux et contraires à la force (X, Y, Z) et au couple (L, M, N) appliqués à la section T; 3° de la force P et du couple H. Les forces moléculaires intérieures se détruisent comme étant égales deux à deux et de signes contraires ; donc les deux forces et les deux couples dont nous venons de parler doivent se faire équilibre, donc la force P est égale à la force (X, Y, Z) et le couple H au couple (L, M, N). Ainsi les équations (19) et (20), dans lesquelles X, Y, Z, L, M, N seront remplacés par leurs valeurs en fonction des données relatives aux forces extérieures, représenteront les six équations de l'équilibre des pièces prismatiques.
Si Ton différentie les équations (2) et (3) (n°* 13 et 14), et qu'on les divise par ds, en combinant les trois dernières avec (21), on obtiendra les différentielles des trois inconnues $p, $q, $r sous la forme
( d$p=f[x)dx,
( dâr=zf i (x)dx.
On obtiendra donc ces trois inconnues par des quadratures. On remplacera dans les équations (20) $</, di J par leurs valeurs en 8p, $q, $r, tirées de (3), puis ces dernières parleurs valeurs données par les intégrales de (22), et l'on pourra tirer des équations (20), combinées avec les différentielles de (2), les valeurs des différentielles des trois inconnues $x, $y, $z, savoir
ddx =zF(x)dx, dty = F t (x)dx, d$z = F 2 [x)d.r,
ce qui fera connaître ces inconnues au moyen de trois nouvelles quadratures.
Si Ton divise les deux membres des équations (16) par
dvds/y les premiers membres seront égaux 5 R, R', R", et
l'on aura
R — a -f- lv — e\>\
R' = a' H- eV,
R"^a"— eV.
Mais on tire des équations (i8)et(ig)
a = â' a== H' a= iV /= r' ^=F * = ï ;
/ X Ni» M/
on aura donc
Lorsque les forces extérieures sont toutes connues, les quantités X, Y, Z, L, M, N sont aussi connues, et les seconds membres des équations précédentes, ne contenant que des quantités données R, R', R", sont entièrement déterminées, sans qu'il soit nécessaire de recourir aux équations (20) et (21). Mais, quand la pièce s'appuie par les sections extrêmes sur des plans inébranlables, elle en éprouve des réactions inconnues.
Dans ce cas, il faut recourir aux équations (20) et (21) pour déterminer les forces inconnues. Les forces extérieures seront alors toutes connues, et les équations (23) donneront les valeurs de R, R', R", ce qui est le but final du problème de la résistance des matériaux. Ces quantités devront toujours être inférieures aux valeurs qui corre spondent à la limite d'élasticité.
ARTICLE II
CAS OU LES FORCES EXTÉRIEURES SONT SITUÉES DANS UN PLAN QUI CONTIENT LA FIBRE MOYENNE ET PARTAGE LES SECTIONS NORMALES EN DEUX PARTIES SYMÉTRIQUES.
§ I. — Formules simplifiées déduites des précédentes.
22. Prenons ce plan pour celui des xz. La composante Y de la résultante des forces extérieures sera nulle, car toutes les forces sont situées dans un plan normal à l'axe Oy. Le couple résultant de la composition de ces forces étant situé dans ce même plan, l'axe de ce couple est dirigé suivant l'axe des j^, et les deux autres sont nuls. On a donc L= o, N= o. La droite d'intersection du plan xz et de la section T, divisant celle-ci en deux parties symétriques, est un des axes principaux d'inertie de cette section normale. Donc les deux axes mx J , mz 1 sont situés dans le plan des xz, et l'axe my f est parallèle à Oy.
La première et la troisième des équations (21) se réduisent à d$p'= o et d$i J ^= o. Les composantes de la rotation de T parallèlement aux axes mx J , mz' étant nulles, on en conclut que Taxe de cette rotation est dirigé suivant my r y parallèle à Oy. Ainsi le déplacement de la section T par rapport à la section infiniment voisine est composé d'une rotation autour d'un axe parallèle à Oy, plus un mouvement de translation. Ce dernier est parallèle au plan xz. En effet, Y' étant nul, la seconde des équations (20) donne
ils
Pour déterminer la valeur de 5/ ,; , introduisons dans les formules (3) les valeurs des coefficients angulaires qui
CONSIDÉRÉES DANS Ll M.AH. 27
résultent de la situation actuelle des axes ru j^. fnj\ md . Ces valeurs sont
et les équations ( 3 ) deviennent
ou, en différentiant,
I*/<fy/~ a dop -+- cdêr, d$q' = dtq, dtr' = a"dtp + c d3r.
Les premiers membres de la première et de la troisième étant égaux à zéro, on en conclut dip = o, ddr = o. Ainsi îp et dr sont des quantités constantes, et, comme nous admettons que la section normale au point A, origine de la pièce, ne peut tourner qu'autour d'un axe parallèle à Oy, ces constantes sont nulles, et l'on a dp = o, ir = o.
La première et la troisième des équations ( a4 ) donnent alors 3//=o, di J '= o. Par suite de cette valeur de £/•', celle de ddy est égale à zéro. Mais, si Ton introduit dans les formules (2) les valeurs des coefficients angulaires, b = o, a' = o, ..., ces formules deviennent
i $.r'=z aSx -f- câz,
( $z'=a"à.r+c"fiz 9 et, en différentiant,
Idâ.v'= a d$x -h cd$z, d$z' — a"d$x + c'Vfc.
La seconde des équations précédentes, qui se réduit à ddj = o, montre que $y est une constante, et, si Ton suppose que le point A ne puisse se déplacer que dans le plan xz, cette constante sera nulle, et Ton aura $j = o.
Ainsi, des six inconnues dx, dy, dz, $p, $q, 5r, trois
sont constamment nulles, savoir $y, dp et $r. Les trois
autres seront données par la première et la troisième des
équations (20) et la seconde des équations (21), combinées
avec la première et la troisième des équations (27) et la
seconde des équations (25). Les coefficients angulaires a,
c, a", d 1 peuvent s'exprimer en fonction de l'inclinaison
de la tangente ma/ sur les axes Ox, Oz. En effet, a est le
"dr cosinus de l'anele de mx f avec Ox, out;c est le cosinus
^ds 7
de l'angle de ma/ avec Oz, ou ^; a" est le cosinus de l'angle que fait la normale m z' avec l'axe des x, c'est-à-dire le sinus de (ma/, Ox), pris négativement: c'est — ~;
enfin, d', cosinus de l'angle de mz f avec Oz, est égal à -y
Remplaçant les quatre coefficients par leurs valeurs, on obtient, pour les deux inconnues d$x J , d$zf,
, . , dx dz ,
d$x' = — dtx -+- — d§z, ds ds
» « / àz . dx .
d&z' = r d$jc -4- -- dâz,
ds ds
qui, résolues par rapport à dix et ddz, donnent
? « d* , « . dz , „ #
ds ds
La première et la troisième des équations (20) donnent ddcd etd$zf, savoir
dlr' X
ds Eu
** 9 ' » dte Z
-*--'*= gS*
la quantité fy est mise à la place de i(f t à cause de la seconde des équations (24). La seconde des équations (ai), en remplaçant diq 1 par dàq et supprimant l'accent de 1', puisqu'il n'y a qu'un seul moment d'inertie à considérer dans la question actuelle, donne
Les valeurs de R, R', Redonnées par les équations (a3) deviennent, en y faisant Y = o, L = o, N = o,
§ II. — Démonstration directe des équations (29), (30) et (31), correspondant au cas où la fibre moyenne est située dans un plan partageant les sections normales en deux parties symétriques et contenant les forces extérieures.
23. Soient AmB (fîg* 4) l a fibre moyenne, O x y Qz deux axes coordonnés rectangulaires situés dans son plan ; soient CD, CD' les traces des plans de deux sections normales infiniment voisines, T, T'; m et rri les centres de gravité de ces sections, situés sur ,1a fibre moyenne AB. Partageons
3o CHAPITRE I. — DES PIÈCES PRISMATIQUES
ces sections en trapèzes par des perpendiculaires infiniment rapprochées, menées sur les droites CD, CD'.
Soient M le centre de gravité de l'un de ces trapèzes dans la section ï, v la distance de ce point au centre m de la section, et 1 la demi-somme des bases du trapèze. L'aire w de ce trapèze seraw = Xd*>, en négligeant un infiniment petit du second ordre.
Désignons par les mêmes lettres affectées de l'indice ï, pour le second état d'équilibre, les mêmes choses que dans le premier état d'équilibre représenté {fig- 4)- Cherchons les projections u et u 1 sur les axes mx\ mz* du déplacement qu'éprouve le point M' par rapport à ces axes, supposés liés invariablement à la section T, sous l'action des forces extérieures. Tout étant symétrique par rapport au plan xz } le déplacement d'une section quelconque peut se décomposer en une translation parallèle à ce plan et en une rotation autour d'un axe perpendiculaire au même plan.
Transportons le solide AB sur le solide A t B|, de manière à faire coïncider la section T avec la section T<. D'après ce que nous venons de dire, on obtiendra ce résultat en imprimant au solide AB un mouvement composé d'une translation égale et parallèle à mm K (Jïg- 5 ) , et d'une rotation autour d'un axe mené par le point m, perpendiculairement au plan xz. Soit iq l'angle très-petit qui mesure cette rotation ; soit a l'angle que fait la tangente mx J à la courbe toB avec l'axe Ox. Les projections de la translation mm K sur les axes ma/, mz 1 étant désignées par &r', §z', on aura
$x' — fa cosa -+- $z sina, 8z =: — $x sin a H- 8z cosa,
les projections du même déplacement mm t sur les axes O x, Oz étant représentées par dx, dz. Les projections de m'm\ ,
CONSIDÉRÉES BANS LE PLAN. 3l
du déplacement du centre de la section T', infiniment voisine de la section T, sur les axes ma/, mz sont égales à $x/-i-d$a/, $z'-t-d$z'j car ce sont les valeurs que prennent les fonctions dx', $z', lorsqu'on y remplace x par x-f- dx. Soit m 3 ( fig. 5) la position que vient occuper le point m' lorsque la section T du solide AB coïncide avec la section T\ du solide A|B|. Les projections du chemin m! m 9 sur les axes mx\ mz' seront égales à la somme des projections des deux chemins parcourus par le point ni dans les mouvements de translation et de rotation dont nous venons de parler. Le premier de ces deux chemins est m'm 2l égal et parallèle à mm i7 et ses projections sur les axes mx\ mz 1 sont égales à $x', Sz\ Dans le mouvement de rotation, la droite mm' décrit un angle âq f égal à l'angle des plans des deux sections T et T h et l'arc m'm décrit par le point m 7 dans ce mouvement est égal à $qds, ds désignant la longueur mm de l'élément infiniment petit de l'arc de la courbe AmB. Ce chemin, étant perpendiculaire à mxf, se projette en vraie grandeur sur l'axe mz!, tandis que sa projection sur mx f est égale à zéro. Les projections de m'/w 3 seront donc égales à $x' et 8z'-+-$q ds.
Nous venons de voir que la distance des points m 7 et m\ {fig. 5) avait pour projections dx'-hdSx', <}z-\-ddz f Or cette distance est la résultante du côté m'm 3 et du côté m z m\\ on aura donc les projections.de ce dernier en retranchant de celles de m'm\ celles dem'm 3 , et il restera ainsi, pour ces projections, J
K ] \ dSz'—thtq.
Soit M 3 {fig. 5) la position du point M 7 lorsque T coïncide avec T|. Le point M coïncide alors avec M 4 , et la distance MjM' est le déplacement relatif cherché dont les
projections ont été désignées par u et u'. Pour avoir cette distance, nous chercherons le chemin parcouru par le point M 3 lorsque la section T 3 qui le contient, et dont le centre est en m 3 , vient coïncider avec T t .
Le mouvement de la section T 3 qui ramènera en T, peut se composer çl'une translation M 3 M 4 {fig- 5 ), égale et parallèle à m 3 m\ , et d'une rotation autour d'un axe mené par le point h^, perpendiculairement au plan xz. L'angle de cette rotation doit &re égal à d àq , car l'angle des plans T' et V t est égal kdq-t-ddq, et, en amenant T sur T\ , on a fait tourner le plan T' d'un angle égal à $q et on l'a amené dans le plan T 3 . Donc ce dernier ne fait plus qu'un angle d$q avec T,. Dans ce mouvement de rotation, la droite m 3 M 3 , dont la longueur est égale à t>, décrit un angle égal à d dq, et le point M 3 un arc M 3 M égal à vd àq. Les projections de ce déplacement sur les axes ma/, mz'de la^ig-. 4 diffèrent de quantités très-petites des projections du même déplacement sur deux axes rectangulaires, dont l'un, situé suivant m 3 M 3 , serait pris pour axe des z', et l'autre, perpendiculaire au précédent, serait pris pour axe des x J . N'oublions pas que les parties positives des nouveaux axes doivent toujours conserver la même position relative. Nous prendrons, sans erreur sensible pour la pratique, les secondes projections pour les premières, et nous obtiendrons ainsi une valeur égale à — vddq sur l'axe des a/ et à zéro sur l'axe des z 7 . Ajoutant ces valeurs aux projections (2) du déplacement M 3 M 4 du au mouvement de translation, on obtient, pour les projections u, 1/ du déplacement résultant M 3 M' t (Jig. 5),
u =d$.v'— vd$q, u'=d§z' — ds$q.
Si la température n'était pas la même dans le second état
d'équilibre que dans le premier, le déplacement M, M', serait la résultante des deux déplacements dus à la température et à l'eflet des forces extérieures; les projections du déplacement dû à l'effet des forces seraient donc égales aux projections du déplacement M, M', , diminuées de celles du déplacement dû à la température.
Or, la distance MM' diffère peu de ds; la variation de cette distance, dû à un changement de température, peut donc être prise égale à r ds, r étant le produit du coefficient de dilatation par le nombre de degrés dont la température a varié. La direction de la droite MM' étant parallèle à Taxe ma/, les projections du déplacement rds seront égales, la première k rds sur l'axe ma/ et la seconde à zéro, sur l'axe des z\ Les projections du déplacement dû à l'effet des forces extérieures seront donc
(4) \ tt - xds '
les quantités u et uf étant données par les équations (3).
Réduction de toutes les forces intérieures à une force et à un couple.
24. Le trapèze o> est sollicité par une force appliquée à son centre M, dont les composantes parallèles aux axes ma/,
Désignons par R, R' les rapports de ces forces à l'aire &> du trapèze, base du prisme infiniment mince, ayant pour base supérieure le trapèze <a' de la section infiniment voisine. Le premier rapport R sera la pression ou traction normale, le second l'effort tranchant par unité de surface de la section normale T. On aura, pour ces deux quantités,
en remplaçant ds f par ds,
La force qui sollicite le point M a donc pour composantes parallèles aux axes ma/, md les produits Rw, R'co, que nous désignerons par X' et Z'. Les coordonnées de son point d'application M sont a?=o, z!=v. Appliquons à toutes les forces analogues appliquées aux éléments de la section T les règles de la composition des forces situées dans un même plan et rapportées à deux axes rectangulaires mx*, m z f , et nous les composerons en une résultante unique passant par le point m et en un couple situé dans le plan. Les deux composantes de la résultante unique seront données par les deux équations
(6) X=ZX', Z=ZZ'.
Le moment du couple sera
La lettre 2 indique une intégrale qui s'étend du point C jusqu'au point D [fig> 4)> et qui est de l a forme fF(v)dv. Remplaçons u et vl par leurs valeurs (3) dans les équations ( 5 ), après avoir multiplié ces dernières par co= \dv ; nous aurons, pour les composantes X', Z' de la force appliquée au point M,
(8) \ \ ds )
ds
que nous écrirons, pour abréger les écritures, j X'=(a — h)\di>,
Les valeurs de a/ et zf qui entrent dans l'équation ( y ) sont o/= o, z = v\ on aura donc
(lO) M=f(lr* — OLS>)\fh.
Le point m, origine des coordonnées, étant le centre de gravité de la section T, on difv\dv = o, et, si Ton désigne par I le moment d'inertie, fv- X dv de cette section par rapport à une droite menée par le point m, perpendiculairement au plan xz, et par û l'aire f\ dv>, on obtiendra, pour les composantes X, Z de la résultante unique et pour le moment M,
/ X = «il,
et, en remplaçant les lettres a, af } /par les quantités qu'elles représentent, dans les équations (9),
M=EI^, as
