VOUTES D'ÉPAISSEUR VARIABLE
33. Supposons que la pièce définie géométriquement au commencement du Chapitre précédent (n°25) soit une voûte de pont en maçonnerie monolithe.
Soient
CD = il 1 (fig. 8) l'ouverture de l'arche ;
GH =f la flèche de l'arc d'intrados ;
HI = IJ = e la demi-épaisseur de la voûte à la clef;
AC= AE = ef cette demi-épaisseur aux naissances.
Ces données permettent de calculer le rayon r et le demi-angle au centre a de l'arc de fibre moyenne AIB, à peu près également distant des arcs d'intrados et d'extrados.
Soit O le centre de cet arc; portons sur 10, à partir du point I, une longueur IC ; , égale à AC ou e 1 . La perpendiculaire élevée sur le milieu de CC passera par le point O.
Mais on a ^r^ = tangGCC, et l'angle GCC est égal à ->
car CC est parallèle à AI et l'angle de la corde AI avec la
corde AB est égal à -• Or GC est égal à GH ou/ 7 moins
d'épaisseur variable. 55
HC ou ef — e; donc GO=J f — e'-f- e. 11 en résulte
(0 tang- = -p
On a, d'autre part, r = OC -+- CA. OC est égal à
CG V sinCOG sina
et CA à ef; on en conclut
v ' sm «
Une section normale quelconque est un rectangle dont la largeur est égale à celle du pont et la hauteur est une quantité variable telle que KL (fig. 8). Le milieu de cette hauteur KL est le centre m de cette section, situé sur Tare moyen AB. Désignons par e la moitié de cette hauteur. Elle peut s'exprimer en fonction de w, avec une approximation suffisante, par la formule
(3) 6 = a — b cosw,
les constantes a et b étant déterminées par la condition que les valeurs de e correspondant à la clef et aux naissances, pour lesquelles on a w = o et co = a, soient égales à e et e'. Les valeurs de a et b ainsi déterminées sont
e'-e a z=lc 4-
(4) ' '- COSK ' b= *— •
1 — cosa
La largeur du pont étant désignée par L', on obtient, pour l'aire û et le moment d'inertie I de la section KL,
(5) (G = ael/,
Hypothèse sur la répartition des forces extérieures.
34. Les forces appliquées à la pièce sont le poids propre de la voûte et celui de la construction qui la surmonte, y compris les parapets.
Soient
AB (Jig> 9) la fibre moyenne de la demi-voûte; CD, FE les demi-arcs d'intrados et d'extrados; OP, OP' les traces des plans de deux sections normales infiniment voisines NS, N'S'.
L'aire du trapèze NSS'N peut être prise pour mesure du poids de la partie de voûte comprise entre les deux sections NS, N'S'.
Soit FH une verticale menée par le point F, extrémité de Tare d'extrados. Cette droite limitera la partie de la construction qui pèse sur la voûte. Menons par les points S, S' deux verticales ST, S'! 7 ayant des longueurs égales et telles que l'aire du trapèze STT'S' mesure le poids de la partie de la construction comprise entre les deux plans ST, S'T', perpendiculaires au plan de la figure. Si l'on fait la même construction pour chacun des éléments de voûte NSS'N', le lieu des points T ainsi obtenus formera une ligne GH limitant une aire EGHF qui mesurera le poids total de la charge de la voûte. Cela posé, traçons un arc de cercle GI ayant son centre sur la verticale du point O, centre de l'arc moyen, et terminé au rayon 01 passant par l'extrémité B de cet arc moyen. Supposons que la longueur du rayon de cet arc GI soit déterminée de manière que l'aire EGIF soit équivalente à l'aire EGHF.
Portons sur les rayons Om, Om f des longueurs QR ?
d'épaisseur yariabli. 57
Q'R', égales aux longueurs NP, N'P* comprises entre Tare d'intrados AB et Tare GI; les milieux de QR, Q'R' élant situés en m et wl y les lieux géométriques des points Q et R seront deux arcs de courbe LM , JK tels que Taire QRR'Q* ne diffère de l'aire NPP'N' que d'une quantité très-petite. Nous supposerons que cette dernière mesure le poids de la partie de voûte comprise entre les sections NS, NS', augmenté de la partie de la surcharge qu'elle supporte, et, remplaçant cette aire par QRR'Q', nous admettrons que la résultante des poids qu'elle représente est appliquée au centre m de la section NS.
Il est bien difficile d'apprécier avec exactitude la manière dont le poids des murs de tête, celui des massifs de remplissage compris entre ces murs, ainsi que ceux des parapets et de la chaussée, se répartissent sur les divers points de la surface d'extrados de la voûte; mais les hypothèses que nous venons de faire dans le but de simplifier les calculs peuvent être considérées comme représentant cette répartition d'une manière suffisamment exacte dans la plupart des cas de la pratique.
La hauteur QR du quadrilatère QRR'Q* peut s'exprimer en fonction de « par une formule entièrement semblable à la formule (3), savoir
(6) H = A — Bcosw,
les constantes A et B étant déterminées par la condition que les valeurs de H correspondant à o>=r o, w = a soient égales à E = JL, E t = KM.
Les constantes ainsi déterminées sont
(7) ! ,cosa
I 1 — cosa
Le poids de l'unité de volume de la voûte étant représenté par 7T, la force élémentaire appliquée au point m sera
Remplaçons la longueur ds= mm 1 (fîg* 9) par sa valeur rrfco et H par la valeur que prend le second membre de l'équation (6) quand on remplace A et B par les valeurs (7), et nous aurons
dV = [nVrE + ttL'/ (E t - E ) f - C ° SM 1 du, L 1 — cosa J
que nous écrirons, pour abréger,
(8) dZ'= [A' -H B'(i — cosw)]</w, les lettres A', B' représentant les quantités
I 7rL'rE = A',
\ 1 — cosa
Intégrons l'équation (8) entre les points A et B (fig. 9), c'est-à-dire depuis c*> = o jusqu'à 0) = a, et nous aurons
[a) - = A'a + B'(a — sma).
Ainsi la valeur de l'inconnue P, réaction verticale de chacun des appuis, donnée par la formule (22) (n° 32), sera
(10) P = — A' a— B'(a — sina).
35. Cherchons actuellement les valeurs de Tl et M' qui entrent dans les intégrales m , m if z u servant au calcul de Q et L donnés par les formules (22) et (23), (n os 27 et 32).
d'épaisseur variable. 59
Intégrons la formule ( 8 ) entre les points m et B, et nous obtiendrons la valeur de Z', savoir
(11) Z'=A'(a — W )+B'{a — «) — B'(sinec — sin«).
Soit g la distance du point d'application de cette résultante à la verticale du sommet de l'arc. La quantité M', moment de cette résultante par rapport au point m, centre de la section KL {fig. 8), sera donnée par l'équation
M' =^7/— rsinwZ'.
Le produit g'Z', moment de la résultante Z' par rapport au point I, est égal au moment par rapport au même point du
poids - de la demi-voûte et de sa surcharge, moins le moment du poids Z', appliqué à la partie de voûte comprise entre la section JH à la clef et la section KL [fig* 8). Pour obtenir ces deux moments, il faut intégrer le produit rûntùdll depuis zéro jusqu'à a d'une part, d'autre part depuis zéro jusqu'à co, et, retranchant le second résultat du premier, on obtiendra la quantité g f Z f . Désignons par M* la valeur du premier résultat, c'est-à-dire le moment de la demi-construction par rapport au sommet de l'arc moyen; nous aurons
(12) m;= rA'(i — cosa)-+-rB'( 1 — cosa — - — ° OS * ) •
Désignons le second résultat par M", et nous aurons de même
(i3) U f/ = rA'(i - cosa>) + rB' (1 - cosa> - T = COS * M V
et la valeur de M' devient
(i4) M'= Ml— iM" — rsinwZ'.
Go CHAPITRE III. — STABILITÉ DES VOUTES EN ARC DE CERCLE
La valeur de 71 est donnée par l'équation ( 1 1 ) et peut se mettre sous la forme
en représentant par Z! 1 le poids de la partie de la construction située entre la clef et la section KL (fig* 8), savoir
(i5) Z"=A'« + B'(w — sin&>).
Nous pouvons former maintenant l'intégrale
'do
Il faut pour cela remplacer Z", Z', M" par leurs valeurs en fonction de co dans l'expression de M', donnée par l'équation (i4)> multiplier les deux membres de cette équation par -— > et intégrer depuis — a jusqu'à a; on obtiendra ainsi
/mo^Ml-rA'-frB'Jpo ^ ' i H-(rA'-hrB , ) f > l -h^ / ) 2 -}-(rA'.-f-rB')/,
dans laquelle les lettres p , p<, p 2 sont les intégrales indiquées n° 27, et la lettre ff est l'intégrale
~sin&> o = / — — </*>.
f a w sii Pour former l'intégrale
/ >a M'cosw i= / — | d <*>
il faut augmenter d'une unité les exposants de cos«a dans
d'épaisseur variable. 6i
la différentielle précédente, ce qui conduit à
lm t =(H m m — rA'-\rV) Fl
(17) < , rB'
V n 1 + (rA' + rB')p 1 + — p,4- (rA'+ rB'; o",
dans laquelle les lettres p 3 , p n désignent les intégrales
COSft»
/7 /* u sîn w
/** COS*û
(lui.
La valeur de z { (voir n° 32) est donnée par l'intégrale
suivante :
,** Z' sinwcosw Z t = f a».
Si l'on remplace Z' par Z'', on décompose cette intégrale en deux parties, dont la première est nulle, comme composée d'éléments égaux deux à deux et de signes contraires, et il reste
Z^sinwcosw
dû»,
Remplaçons Z! r par sa valeur en fonction de o>, formule (i5), et nous aurons
(18) «^-(À'-HB'K+B'f»!-*,).
Les valeurs de m , m iy z K données par les formules (16), (17) et (18) étant introduites dans l'équation (ai), qui
donne la valeur de Q (voir n° 32), on obtient, pour cette
inconnue,
j -^r(|-i)[A'o'+B'(^-a l +»,)]H-aETMn«Jj
(«9) Q= — - — Tpë 7ë \— i *
les lettres î, d 7 , t^ 7 représentant les quantités
Po
Po
Si, pour obtenir les valeurs de $, d r , ô f! , on calculait directement p > p\ > P2 pour les introduire dans les formules précédentes dans tous les cas où l'angle a a des valeurs peu considérables , il faudrait déterminer les valeurs de P07 Pu P2 avec un très-grand nombre de chiffres significatifs, attendu que les deux termes des binômes précédents ont des valeurs très-peu différentes et que la soustraction fait disparaître plusieurs chiffres. Pour surmonter cette difficulté, nous avons été conduit à introduire dans les formules (20), à la place de p<, p 2 , p 3 , leurs valeurs en fonction des différences première, seconde et troisième
l A =Po — Pi» (2l) j A' = p — 2p, -f- Pi,
( *"= Po — 3^ -+■ 3p 2 — p 3 ,
d'épaisseur variable. 63
équations d'où Ton tire
(22) < pj=Tû — 2A-+- A',
Substituant ces valeurs dans les deux premières formules (20), on obtient, toutes réductions faites,
