AA

La troisième formule devient, par la substitution de p — A, à la place de p, ,

Lorsque l'angle a est petit, f'= / — j— ^ rfw est peu

inférieur k j 1 — - d<û ou 2 A, ainsi qu'on le reconnaît par les développements de cosino) et de 2(1 — cosw) suivant les puissances croissantes de l'arc &>, savoir

w sin w = &r — — -h . . . , o

2(1 — COSW ] = w* h . . . .

De même, p' — p" est peu inférieur à 2 A', car on a

/ « /*"wsirift>(i — cosw) p — p" = I i— - tfw

et

~*' [ — COSw)

A'=Po-api + fi=j — r

do).

Nous sommes ainsi conduits à introduire dans la formule (24), à la place de (/ et p' — p", les différences

On obtient ainsi, pour la valeur de è",

Les valeurs de ô' et $" données par l'équation précédente et la seconde équation (a3) deviendront enfin

' 2 " ' *" = — a* + * Jf

dans lesquelles les lettres $ 4 et $ 2 désignent les binômes suivants :

Po

Dans la valeur de Q donnée par l'équation (19), les termes compris entre les grands crochets proviennent des termes des équations complètes (1) qui n'entrent pas dans les équations approchées (2), ainsi qu'on le reconnaît par la comparaison des formules (18) et (21), Chapitre II. En supprimant ces termes, on obtient pour Q une valeur que M. Bresse appelle partie principale de la poussée, savoir

d'épaisseur variable. 65

36. 11 nous reste à obtenir la valeur de L. Pour cela, il faut introduire dans l'équation (23) (n° 32) la valeur (16) de w , remplacer M* par sa valeur (12) (n° 33), P par sa valeur (10), Q par sa valeur (19) mise sous la forme

la lettre D désignant une quantité toujours petite en valeur absolue par rapport à A', enfin p,, p 2 et p' par leurs valeurs données par les deux premières équations (22) et la première équation (25). La valeur de L devient alors

; L = — rM [2 ( 1 — cos« ) — « sina]

r»/ ( l — COSÎ « • \

— rB'li — cosaH a sina)

-4- rD ( 1 — cosaî — / D \- rA! - l — / B'

t °o ,°o Po

Les valeurs numériques des inconnues P, Q, L se calculeront, celle de P avec la formule (10), celle de Q avec les formules (19) ou (29), et celle de Lavec la formule (3i) ci-dessus.

Toutes les forces extérieures appliquées à la pièce étant maintenant connues, les composantes X, Z données par les formules (a) (n° 32) et le moment M donné par la formule ( b) (n° 26) seront entièrement déterminés en fonction de &>, car Z' et M', qui entrent dans ces formules, sont des fonctions de w, déterminées, Z' par les équations (i5) et (c) (n° 35), et M' par les équations (i3) et (14) (même numéro). Conservant dans les expressions de X, Z, M les lettres Z", M", qui représentent d'une manière abrégée les fonctions de &> qui forment les seconds membres des équations (i3) et (i5), et désignant par X a la valeur de X

correspondant àw = a, savoir

X a = Q cosa + P sina,

les valeurs de X, Z, M sont

X j= Q cosw — Z"sin«, (32) { Z = — Qsinw— Z"cos&>,

M = L + M:-M"+ rX a — /-X.

On peut démontrer directement sur hifig- 8 la dernière de ces équations. En effet, la partie de voûte comprise entre les sections KL et DF est en équilibre sous Faction : i° des forces X, Z et du couple M appliqués négativement à la section KL, 2° des forces X a , Z a et du couple L appliqués à la section DF, et 3° de la force TJ appliquée au centre de gravité de cette partie de voûte. La somme des moments de ces couples, ajoutée à la somme des moments des forces pris par rapport à un point quelconque du plan, doit être égale à zéro. Si Ton prend ces moments par rapport au point O, centre de l'arc moyen, ceux des forces Z et Z a seront nuls, puisque ces forces passent par le point O; celui de la force X, prise négativement, sera — rX, et celui de la force X a sera rX a -, enfin celui de la

force T! étant égal à la différence des moments de - et TJ 1

par rapport au même point aura pour valeur M* — M" ; ajoutant tous ces moments pour en égaler la somme à zéro, on obtient l'équation

L — M -4- rX. — rX -f- M;— M" = o,

qui n'est autre que la troisième équation (32).

Si l'on remplace dans cette troisième équation L par sa valeur (3i), on obtient pour M une expression qui ne dif-

d'épaisseur va bu île. £7

fère de la valeur de L que par le changement de a en w, savoir :

\ M = — rA'[2(i — cosw) — wsinw]

\ V I — cos'w . \

fi*}} — rB ( i — cos&> H usina)

■+- rD(i — cosw) - rD - -*- rÀ' ^ • — rB' * A ~~" A i.

En substituant ces valeurs de X, Z, M dans les équations (i4) (n° 24), et remplaçant il, I par les valeurs en fonction de « données par les équations (5), (3) et (4) (n° 33), on obtiendra les quantités R et R', c'est-à-dire la pression ou traction normale et l'effort tranchant par unité de surface, en fonction de &> et v. La lettre v désigne, comme on se le rappelle, la distance à la fibre moyenne Mm {fig* 4 ) du point de la section normale soumis à l'action des forces R et R ; . Pour obtenir les valeurs de R relatives aux points de la pièce situés à l'intrados ou à l'extrados, il faudra faire v = e ou p = — s dans la première des équations (i 4). Quant à la valeur de R', elle est constante pour tous les points d'une même section normale.

Détermination de la courbe des pressions.

37. Nous avons vu (n°24) que les quantités X et Z étaient les composantes parallèles aux axes mx' , mz' {fig. 4) de la résultante de toutes les forces extérieures transportées parallèlement à elles-mêmes au centre m de la section normale CD, et M le couple résultant de ce transport. Ce couple et cette résultante appliquée au point m, étant situés dans un même plan, ont évidemment une résultante unique, parallèle à la résultante appliquée au point m,

et dont on trouvera le point d'intersection avec le plan de la section normale CD en écrivant que son moment par rapport au point m est égal à M.

Soit w la distance de ce point d'application au point m, mesurée positivement dans le sens mz'\ le moment de la résultante par rapport au point m sera

et la distance w sera donnée par l'équation

qui détermine ainsi les distances de tous les points de la courbe des pressions à la fibre moyenne de la pièce.

38. Pour obtenir les valeurs numériques de Q, L données par les formules (19) et (3i), il faut déterminer d'abord celles de p , A, A', A", A' t , A". Ces six quantités donnent $ à l'aide de la première équation (a3) ; '£< , d 2 à l'aide des équations (28). On peut calculer alors Qi à l'aide de l'équation (£9), et l'on connaît ainsi la partie principale de la poussée. Si l'on veut calculer les termes complémentaires contenus dans l'équation (19), il faudra déterminer les valeurs numériques de cr , cr 2 , a f/ et </' — <7, -+- c 3 . Enfin la valeur de L (3i) ne contient plus que des quantités connues, puisque les nombres A, A', A' t qui y entrent sont compris dans les six valeurs numériques qui ont servi au calcul de Q.

Calcul des six quantités p , A, A', A", A',, A". .

39. Les valeurs de Q, L données par les formules (19) et (3i) sont homogènes et de degré zéro par rapport aux quantités p , A, . . . ; donc elles ne changent pas quand on

D'ÉPAISSEUR TAB1ABLB. 69

les multiplie par un même fadeur. Nous les multiplierons par {, ce qui revient à remplacer les intégrales prises depuis — a jusqu'à a parles intégrales prises entre les limites zéro et a 9 car toutes ces intégrales sont composées d'éléments égaux deux à deux. Ces éléments égaux sont ceux qui correspondent à deux points symétriques tels que m et ni {fie 9 7)' Nous remplacerons donc les quantités p , A, . . . par leurs moitiés comprises entre les points J et B ( fig. 7). et, pour ne pas introduire de nouvelles lettres dans nos calculs, nous supposerons dorénavant que les lettres p , A, . . . représentent ces moitiés. Nous aurons ainsi

Jf* a cosw I — p- du, o

don.

Jf'cos'w , \ — — rfw, o

r «sine* P = f — — <?<*,

Si l'on introduit ces expressions dans les trois formules (21) et les deux formules (25) (n° 35), et si Ton remarque qu'on a généralement

Jf*b pb pb

ydx— I yidx=: j [y — yjdr,

on obtiendra le Tableau suivant :

j Po = I "J ***

Jf*"l — COSw 1 d<*, o

(1 — cosw) 3

2(1 — cosw ) — ' w sinw

— cos w ) — tù sin 6

r 2(1 — cosm

(l — COS &> )</&>.

Nous allons calculer ces six intégrales, après avoir mis pour I sa valeur en fonction de w, savoir »

I = I I I H ( l — COSw ) 1 j

L ï — c°sa J

dans laquelle la lettre I représente le moment d'inertie de la section de la voûte à la clef, savoir :