I„ = |LV

La formule (2) résulte immédiatement de la seconde formule (5), combinée avec (3) et (4) (n° 33). Posons

D'ÉPAlSSIUft YAftlABLI. 71

et la formule ( 2 ) deviendra

(c) i = i ê [n-ni(i — cotii;] 1 .

Telle est la valeur de I qui doit entrer dans les six équations (1). La première devient ainsi

P ° hJ [i-4-/fi(i-cos»;] 1 """

Nous rendrons la fonction à intégrer algébrique et rationnelle à la fois en posant

(6) tang~=x

ou, en élevant au carré,

Mais

tang* - =.r*.

. w 1 — COS M

tang* - = - t— — »

2 1 -h cosw d'où Ton tire

(7) C0Sw = rT~^ f#

Différentions l'équation (6), nous aurons

2 drù

. w 1-4- cosw ros* —

remplaçons dans cette dernière valeur cos &> par sa valeur ( 7 ) , et nous obtiendrons

idx

Les valeurs précédentes de cosco et rfw étant introduites

dans l'équation (5), on obtient

p — nj.

[(l +2Wj.7: ! + i] 3

Posons

et

l'équation précédente

deviendra

2 ^«(yl^a)* ^

La fonction dérivée placée sous le signe f est une fraclion rationnelle qui se décompose de la manière suivante :.

(p -hTf " (>*+ 1)- ] + (j 2 + i) 1 + ?-f- 1 '

Mais on a, par des formules connues,

Jr y « dr -r = arc tang ft )«, o r f + »

(9) { X^fTTTP =* T$ïl + *«•»**.

dans lesquelles j' a désigne la valeur dej^, correspondant à w = «, savoir:

(io) ja^v^tang^.

d'épaissec» yabiablb. 7 3

Désignons ipary^y^y% les trois intégrales (9), et nous obtiendrons, pour la valeur de la première des six intégrales (1),

(n) o =— -TT-Ka — OV»-*-*!* — O^t+^il-

Pour obtenir la seconde A, il faut multiplier la différentielle de la précédente par 1 — cosco, qui, par suite des

équations (7) et (a), est égale à la quantité -j On aura donc

a - i r V'(r'+ ") dY

La nouvelle fonction dérivée est une fraction rationnelle qui se décompose ainsi :

y* ( y 1 ■+• rt ) __ a — * fl — 2 '

Multipliant par dy et intégrant, on obtient, pour la seconde des intégrales (1),

* = T1=T~ M«- Or. -+-(«- a)rt+.Ti]-

Pour obtenir la troisième intégrale A', il faut multiplier de nouveau par 1 — cosco = — » ce qui donne

La décomposition de la nouvelle fonction dérivée donne r* 1 2 1

Cr' + i) 3 "b*-*-0 8 (r*-+-0 f r 1 -*-*

Multipliant par dy et intégrant de zéro à a, on obtient, pour la troisième intégrale A ; ,

2 y* En multipliant de nouveau par 1 — cosco = -^ — ? la dérivée à intégrer donne, par la décomposition en fractions simples,

~ («-1FJ/ + 1) + («-i) 3 (/ 2 + «)'

Multipliant par dy et intégrant, on obtient, en remar-

r r « dr a

quant que » — = -,

f A „__ 16 [" I 3fl— 2

Pour obtenir la valeur de la cinquième intégrale A', , il faut multiplier la dérivée de la première par la valeur de 2(1 — cos w ) — w sin (ù en fonction de y, savoi r

expression à laquelle on parvient en développant Tare en fonction de sa tangente x par la série suivante,

d'ÉPAISSECR Y A RI A BLE. }5

et en désignant par d l'inverse de la quantité a, en sorte que l'on a la relation

aa = i .

En se bornant aux trois premiers ternies de l'expression (i4), ce qui sera presque toujours suffisant à cause de la petitesse de la valeur de x 2 = a' y 2 , l'intégrale A', devient

La décomposition de cette fonction donne le résultat suivant :

Multipliant par dy y intégrant et tenant compte des résultats suivants :

djr = vfotang-=j«,

on obtient, pour la valeur de A', ,

La valeur de la sixième des intégrales (i) s'obtiendra en multipliant la fonction précédente dey par — > ce qui

donnera

i " = »-^ïïX r "(^) i( ■^- i ''' v ■ H «''' ,J " , *•

Effectuant la décomposition de cette nouvelle fonction dérivée et intégrant, on obtient

+ («' + |a'»-f-f«'»)ri

Calcul des quatre quantités <7 , <?2i ^ /; e/ d 1 — ^1 H- <*3 yui servent au calcul des termes complémentaires de la valeur de Q donnée par l'équation (19).

40. Par le motif indiqué au n° 39, nous supposerons que les lettres <7 , <7,, ... représentent les moitiés des intégrales désignées jusqu'ici par ces lettres; on aura donc

'(,8) , 2= jf^ w ,

, , „ / w sm w cos w

d'épaisseur vabiable. 77

Il faut effectuer les intégrations indiquées par les équations (17), (18) et (19) pour obtenir les trois premières des quantités cherchées. En désignant la quatrième par c 4 , on déduit des formules qui précèdent (19), (a) et (b)

( w sin w — sin* w ) cos« ,

i dm,

Cherchons d'abord la valeur de <7 . Mettons pour cela à la place de 12 sa valeur en fonction de w. L'aire de la section à la clef étant représentée par Q > cette valeur est

(21) a = Q [i -f- m[\ — - cosw)] t

celle de û étant

Introduisons les mêmes variables auxiliaires x et y que dans les calculs précédents, et nous obtiendrons, pour la valeur de <7 ,

Pour obtenir la valeur de <7 2 , formule (18), il faut multiplier la différentielle précédente par cos 2 co, c'est-à-dire

par ( —^ ) • Nous avons déjà vu que a 1 y 2 est généralement très-petit, et, comme les termes en a , 0*2 > •• • sont euxmêmes petits par rapport aux termes de la valeur principale de la poussée, on pourra négliger dans l'expression précédente les puissances de al y 2 supérieures à la première, ce qui la réduira à 1 — 4&'y 2 - La valeur de cr 2 sera ainsi

Effectuons la division du numérateur par le dénominateur, ce qui donnera un quotient et un reste indépendants dey, en sorte que Ton aura

1 — fa'?* , , t i + 4«'

La valeur de cr 2 sera donc

(24) ffJ = ^-[( I + 4^) <ri 4^ a ].

La valeur de l'intégrale a", formule (19), s'obtiendra en

dy multipliant la différentielle —5 par to sin cocos w, c'està-dire par , . ( 1 — aoS 2 ). On aura donc

En négligeant les puissances de a'j 2 supérieures à la première, on obtient

Multipliant par c?^ et intégrant, la valeur de V devient

Pour obtenir la valeur de la quatrième intégrale <7 4 , formule (20), il faut multiplier la différentielle - X par

; ! -fi r

(w — sinw)sin&>cosw. Cette fonction de &> est égale à co sinco cosco multiplié par 1 — ^5^, qui se réduit à f aty'*

d'épaisseur constante. 79

quand on néglige les puissances de a'j 2 supérieures à la première, et l'on obtient pour a. x

(26) * k = l (irS-v.-f-r,).

6 a 1 yaa

ARTICLE II