Pour résoudre ce nouveau problème, il suffira de

faire

dans les calculs de l'article précédent. Les formules (4) (n° 33)se réduiront à a = e, b = o, et la formule (3) à

Les formules (1) et (2), qui donnent le rayon de l'arc moyen et le demi-angle au centre, deviendront

sina

Les formules (5) donneront, pour l'aire et le moment d'inertie de la section constante,

^ il=}LV.

Ces quantités étant constantes, les intégrales des n 08 39 et 40 s'obtiendront immédiatement par des formules connues, relatives à l'intégration des fonctions circulaires.

8o CHAPITRE III. — STABILITÉ DES VOUTES EN ARC DE CERCLE

Au moyen de ces formules, les six intégrales (i) (n° 39) seront

Po = j »

a — sina A=— ,

, 6a — 8sin a -+- sinsa

„ 3oa — 45 sina H- C> sinsa — sin3a

, 2a — 3 sina -4- acosa

^4 a — 32 sina -4- 3 sinsa -f- 2acos2a

En développant les lignes trigonométriques suivant les puissances croissantes de l'arc, ces valeurs deviennent

' — '/ "* a7 a 9 17a 11 3ia 13 \

AI ~ï\(£"2^3^5.7 + â^3^^"2^3^5^7.Il + 2^3^5.7.II.l3"" , ■'j 1

, î / a 7 a 9 17a 11 3îa 13 \

Al ~ï\2 1 X7 ^~.^5 + 2 7 .3 2 .5.7.n 2 7 .3\5 8 .7.i3 + "- > T

Si l'on avait développé les fonctions dérivées dont p , A, . . . , formules (1) (n°39), sont les intégrales suivant les puissances croissantes de l'arc co, on aurait obtenu, après

D'ÉPAlSSIUft C098TAKTI. 8l

avoir multiplié par dtù et intégré depuis zéro jusqu'à a, des valeurs identiques aux précédentes.

Ces formules (3) permettront de calculer la valeur numérique de p , A, ... lorsqu'on connaîtra celle de a donnée en fonction de l'ouverture de la voûte a/' et de la flèche de l'arc d'intrados y 7 par la première des équations (1). Mais, afin de diminuer le nombre des opérations à effectuer pour obtenir la valeur de Q, nous introduirons les valeurs algébriques de p , A, . . ., dans la première des équations (a3) et dans les deux équations (28) du n° 35, et nous obtiendrons pour les quantités â, d, > i t les valeurs suivantes :

UJ \ 1 — 1 \3.5. 7 tf.V.V.^v.S'.V.T.w 2 7 .3*.5 , .7 î .ii.i3~ K *7' i / « 7 2 a* 4«" 8 g" \

Les résultats obtenus à l'aide de ces formules pour les valeurs numériques de S , Si , d 2 devraient être introduits dans la formule ( 29 ) du n° 35 ; mais nous diminuerons encore le nombre des opérations arithmétiques à effectuer en écrivant cette équation (29) sous la forme suivante :

(a) Qi = -A / +7 1 A , -7,B' f

les lettres q K et q 2 ayant les valeurs algébriques suivantes :

/ a* a v 2a 6 l5ia 8

J * ! ~~7 + 3.5.7* ~~ 3 2 .5. 7 3 .n ~~ 3*. 5*. 7*.ii.i3 "*"' a* 10 la 4 i433 a 8 63g49a 8

q% """ 4 ""2^3X7* " f "2*.3 i .5.7 3 .n ■~2 7 .3 ï .5 s .7 v .ii.i3 ■ 4 ""

En introduisant la quantité Q 4 dans l'équation (19) du n° 35, qui donne la valeur complète de Q, cette équa-

tion deviendra, après avoir divisé par S le numérateur et le dénominateur, d étant ici deux fois moindre que dans (19),

Dans le cas actuel, la section Q et le moment d'inertie I de cette section étant constants, les quantités c , <7 2 t ... sont proportionnelles aux quantités p , . . . , et Ton a

: n pi '

le rapport - est le carré du rayon de gyration et est égal à — •

On ne possède encore qu'un petit nombre d'expériences sur la valeur du rapport des coefficients d'élasticité longitudinale E et de torsion G. Celles qui ont été faites jusqu'à ce jour conduisent à lui assigner une valeur peu différente du nombre 3. Introduisons cette valeur dans les équations (7). Mettons dans l'équation (6) les valeurs correspondantes de (7 , ... et représentons par q Zy q h , q$ les quantités

(8) < pf+ ;" h = ft

d'épaissedb cokstaute. 83

la valeur de Q, donnée par l'équation (6), deviendra

Qi - ! ~i (ftA'H- ****'■- Ersina -L

•-♦-pi*»

Telle est la formule qui donnera la valeur de Q dans le cas où l'épaisseur de la voûte est constante. La valeur de L sera donnée par la formule (3i) du n° 36, dans laquelle on mettra pour p , A, A', ù! t les valeurs déduites des formules (3). En posant

m l = i — cosa,

/Wj=2(i — cosk ) — a sin a,

i — cos*a . 'i — cosa!*

/w 4 — asina — i-t-cosa =rasina — -- - 9

Po

la valeur de L peut s'écrire

(10) L = m 1 rD — m 3 r4'4- »vB' — /,rD + /,/A'- / 3 rB'.