ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE L'ÉQUILIBRE DES PIÈCES PRISMATIQUES

ARTICLE I

DES PIÈGES PRISMATIQUES CONSIDÉRÉES DANS l'eSPACE»

1 . Nous appellerons pièce prismatique un corps solide dont deux dimensions sont petites par rapport à la troisième. Une telle pièce peut être droite ou à faible courbure. Elle peut être considérée comme engendrée géométriquement par une figure plane à contour fermé, qui se meut de manière que son centre de gravité décrive une trajectoire droite ou courbe, que son plan reste normal à celle-ci, tandis que sa forme, ses dimensions et son orientation varient faiblement d'une extrémité à l'autre de la pièce. La trajectoire ou directrice reçoit le nom de fibre moyenne. La figure plane génératrice, dans chacune de ses positions, est une section normale. Son orientation

est complètement déterminée par la condition d'avoir son plan perpendiculaire à la directrice et d'être elle-même orientée, dans son plan, par rapport à une droite prise dans son plan et faisant un angle donné avec l'un des trois axes coordonnés.

2. Le problème de la résistance des solides matériels est une question de Physique mathématique qui rentre dans la théorie de l'élasti*i{jé de ces corps. Cette théorie repose tout entière sur le principe suivant.

Lorsqu'un corps solide matériel n'est sollicité par aucune force extérieure, ses molécules occupent, à distance les unes des autres, certaines positions d'équilibre sous l'action de deux groupes de forces opposées, qui ont reçu le nom de forces moléculaires ou intérieures. Les unes, en vertu desquelles les molécules s'attirent, proviennent de la cohésion; les autres, en vertu desquelles les molécules se repoussent, proviennent du calorique. Si, par suite de l'application de forces extérieures, on augmente ou on diminue la distance de deux molécules, on développe entre elles une force, attractive dans le premier cas, répulsive dans le second, proportionnelle au rapport de l'augmentation ou de la diminution de leur intervalle à cet intervalle lui-même.

Si la grandeur absolue de ce rapport dépassait une certaine limite, par suite de l'application de forces extérieures trop grandes, la loi précédente ne serait plus vérifiée, et, après la suppression des forces extérieures, les molécules ne reprendraient pas les positions naturelles qu'elles occupaient dans leur état d'équilibre primitif. On dit alors que la limite d'élasticité est dépassée. Enfin, si l'on augmente encore l'intensité des forces extérieures, le déplacement relatif des molécules peut devenir assez grand pour que

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l'action de la cohésion soit entièrement annulée, et Ton produit alors la rupture du corps solide. La véritable solution du problème consiste à déterminer l'intensité des forces qui, étant appliquées à un corps solide, non-seulement n'en produiront pas la rupture, mais encore ne lui feront pas atteindre sa limite d'élasticité.

L'application du principe précédent conduit à des équations aux différentielles partielles du second ordre; c'est dire que la solution du problème dans toute sa généralité est encore très-peu avancée.

Nous ne nous occuperons, dans cet Ouvrage, que du problème beaucoup plus simple qui se présente dans l'hypothèse de l'invariabilité des sections normales.

3. Cette hypothèse est la suivante: Lorsqu'une pièce prismatique n'est sollicitée par aucune force extérieure autre que la pesanteur et que cette dernière est elle-même détruite, ce qui peut se faire à l'aide de points d'appui suffisamment multipliés, les tranches de molécules comprises entre deux sections normales infiniment voisines occupent certaines positions d'équilibre sous l'action des seules forces intérieures. Si l'on trouble cet équilibre par l'application de forces extérieures, les tranches normales n'éprouvent aucune déformation, toutes leurs molécules conservent leurs distances respectives, mais les sections normales éprouvent des déplacements qui modifient leurs positions relatives.

Ces déplacements font naître entre les molécules de deux tranches contiguës des forces intérieures qui peuvent se définir de la manière suivante. Soit w un élément plan infiniment petit pris dans une section normale quelconque* Supposons que les coordonnées de son centre soient rapportées à deux axes rectangulaires tracés dans le plan

de la section; nous prendrons pour ces axes les deux axes principaux d'inertie de son aire. Soit &/ un élément plan, égal au précédent, pris dans la section normale infiniment voisine. Cette seconde section peut être considérée comme égale à la première, et nous supposerons que la position de «' dans cette section est la même que celle de w dans la première. Si par l'application de forces extérieures on déplace l'élément c*/ par rapport à l'élément w, supposé lié au système de trois axes coordonnés rectangulaires obtenu en joignant aux deux axes principaux d'inertie de la première section un axe normal au plan de cette section et par conséquent tangent à la fibre moyenne de la pièce, si l'on représente par u, u', u ,f les composantes parallèles à ces trois axes coordonnés du déplacement du centre de &/ par rapport à ce système d'axes, on fait naître entre les deux éléments w et 0/ une action intérieure dont les composantes, parallèlement aux trois axes, sont proportionnelles aux rapports des déplacements u, u 1 , u" à la distance primitive ds des centres des deux éléments et dirigées en sens inverse de ces déplacements. Le déplacement u perpendiculaire à la section normale donne lieu à une composante dont on obtient la valeur en multipliant le

rapport — par l'aire w de l'élément plan et par un coefficient E que l'on nomme coefficient d'élasticité longitudinale. Les forces composantes développées par les deux autres déplacements u', u" parallèles à la section normale

u' u" s'obtiennent en multipliant les rapports y> — par l'aire w

et par un coefficient G, appelé coefficient d' élasticité transversale ou de torsion.

Les hypothèses précédentes sur la constitution des pièces prismatiques et la nature des forces qui s'y déve-

loppent intérieurement par l'application de forces extérieures réduiront, comme on le verra plus loin, la solution du problème de la résistance de ces pièces à de simples calculs de quadratures.

4. Le problème général de la résistance des solides matériels peut s'énoncer de la manière suivante :

Étant donné le premier état d' équilibre d'un corps qui n'est sollicité par aucune force extérieure, déterminer son nouvel état d'équilibre sous l'action de forces extérieures données.

Le premier état d'équilibre d'une pièce prismatique est entièrement déterminé quand on connaît sa définition géométrique, c'est-à-dire la forme de la génératrice et la loi de son mouvement le long de la directrice (n° 1). Dans ce premier état d'équilibre, les molécules conservent leurs positions relatives naturelles, en vertu des forces intérieures qui se détruisent. Aucune force ne tend à les écarter de leur position, et les trois composantes de l'action réciproque des éléments plans w et o>' sont égales à zéro.

Dans le second état d'équilibre, les forces intérieures ne se font pas équilibre sur chaque molécule, comme dans le premier état, mais, au contraire, chacune d'elles est sollicitée par une force qui tend à la ramener à sa position naturelle et l'y ramènerait, en effet, si l'on supprimait les forces extérieures qui ont produit le second état d'équilibre, à la condition, toutefois, que la limite d'élasticité n'ait pas été dépassée. Pour que le nouvel état d'équilibre soit complètement déterminé, il faudra connaître les déplacements de chacun des points de la fibre moyenne, ainsi que les déplacements des sections normales, ce qui permettra d'obtenir la valeur des trois composantes de la

force ou action réciproque développée entre les éléments plans (ù et a/.

5. Nous rapporterons la fibre moyenne directrice à trois axes coordonnés rectangulaires. Sa forme sera ainsi déterminée par deux équations entre les coordonnées x,jr, z d'un de ses points. Nous rapporterons la section normale en un point déterminé de la directrice aux deux axes principaux d'inertie de cette section, et sa forme pourra être définie par une équation entre les deux coordonnées rectangulaires d'un point de son périmètre. Enfin l'orientation du plan de chaque section sera déterminée par la valeur de l'angle mentionné n° 1 , qui sera donné en fonction de l'une des coordonnées de la fibre moyenne prise pour variable indépendante.

6. Les trois axes' coordonnés peuvent présenter, quant à la position relative de leurs parties positives, deux dispositions différentes. Plaçons le plan xz sur un tableau, de manière que la partie positive de l'axe des x soit dirigée vers la droite et celle de l'axe des z vers le bas du tableau. Cela fait, la partie positive de Taxe des y pourra avoir deux positions différentes, l'une en avant, l'autre en arrière du plan xz. On peut choisir entre les deux dispositions qui en résultent et qui se déduiraient l'une de l'autre en changeant y en z et z en y. Nous choisirons toujours la disposition dans laquelle la partie positive de l'axe des j' est en avant du plan xz.

7. Un couple étant représenté par son axe, la partie positive de cet axe peut être située, de même, d'un côté ou de l'autre de son plan. Nous choisirons toujours ce côté de telle sorte qu'un spectateur, placé vers l'extrémité de cette partie positive et regardant le couple, verrait la rota-

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tion qu'il tend à produire s'effectuer dans le même sens que la rotation de l'équateur terrestre vu du pôle austral.

Nous appliquerons la même définition à la détermination du sens positif d'une vitesse angulaire de rotation autour d'un axe.

Dans la théorie de la rotation des corps, on exprime la valeur des projections sur les trois axes coordonnés du déplacement infiniment petit d'un point M du corps, produit par un mouvement de rotation infiniment petit autour d'un axe instantané passant par l'origine, en fonction des coordonnées .r, y, z de ce point et des trois angles infiniment petits que l'on obtient en multipliant les trois composantes de la vitesse angulaire par la durée infiniment petite dt du mouvement.

Ces formules, qui ne sont rigoureusement exactes que pour un déplacement infiniment petit, seront d'une exactitude suffisante dans la pratique pour le cas d'un déplacement très-petit.

Soient dp, dq, âr les trois angles très-petits égaux aux produits des trois composantes de la vitesse angulaire de rotation, supposée uniforme, par le temps très-petit $t. Les trois projections du déplacement du point M pendant le temps dt seront données par les formules

/ $jc = jr$r — z$q,

(1) « $y = z9p — xdr,

Ces premières formules nous donnent l'occasion de faire remarquer l'utilité d'avoir déterminé d'une manière précise, comme nous l'avons fait (n 08 6 et 7), la position relative des parties positives des axes, ainsi que le sens positif d'une vitesse angulaire de rotation. Ce sont, en effet, les conventions admises dans ces numéros qui déterminent

le signe avec lequel les différents produits yàr, zdy, . . . doivent entrer dans les formules précédentes.