Soient {fi g* i
AraB la fibre moyenne d'une pièce prismatique dans son
état d'équilibre naturel; 0.r, Ojy, Oz les trois axes coordonnés rectangulaires; T la section normale au point m dont les coordonnées
sont x, y, z\ m,y \ mz 1 les deux axes principaux d'inertie de l'aire de
cette section; ma/ la tangente à la fibre moyenne au point m.
Cette tangente forme avec les deux axes précédents un second système de trois axes coordonnés rectangulaires, et il doit être bien entendu que la position relative des parties positives de ces axes est la même que dans le premier système d'axes 0.r, O j, Oz. Lorsque la section T se meut le long de la directrice AraB pour engendrer géométriquement la pièce prismatique, le trièdre mx'y* z' , supposé invariablement lié avec elle, accomplit un mouvement entièrement déterminé, puisque son sommet m décrit une courbe connue ÀB et que la figure tourne en même temps autour du point m, de manière à se trouver placée, pour chaque position de ce point, dans une orientation déterminée.
9. Dans ce mouvement cinethmique, c'est-à-dire indépendant du temps, l'abscisse x du point mobile m peut être considérée comme variant arbitrairement avec le temps. Si l'on se donnait la forme de cette fonction arbitraire, on pourrait en déduire j- et z, en fonction de t également, à l'aide des deux équations de la fibre moyenne directrice. Les dérivées de x,y, z par rapport à t seraient les trois
CONSIDÉRÉES DAMS l/ESPACR. g
composantes de la vitesse de translation du trièdre jîij/j'z', parallèlement aux axes coordonnés.
Soit T' la section normale au point m', infiniment voisin de m, ayant par conséquent pour abscisse x H- dx. Pour passer de la position T à la position T', la section normale et le trièdre mrfy' z' , lié avec elle, accomplissent un mouvement qui peut se décomposer en une translation mm 1 et une rotation autour d'un axe passant par le point m ou le point m'.
10. Les deux positions qu'occupe le mobile au commencement et à la fin du mouvement de rotation permettent de déterminer la position de Taxe instantané ainsi que l'amplitude de la rotation angulaire dont il s'agit. Il suffira pour cela de considérer deux points du mobile situés sur une même surface sphérique décrite autour du centre de rotation m, de mener les arcs de grand cercle AB, A'B', qui les joignent, dans l'une et l'autre position, et de déterminer un point O sur la sphère, tel que le triangle OAB soit égal au triangle OA'B'; le diamètre passant par le point O sera la position de l'axe cherché, et l'angle AOA', égal à l'angle BOB 7 , sera l'angle de rotation dont il s'agit. Soient a, (3, y les coefficients angulaires de l'axe de rotation ainsi déterminé, du l'angle de rotation. Cet angle du est le produit de la vitesse angulaire de rotation u f par le temps dt. Les trois composantes de cette vitesse angulaire, parallèles aux axes coordonnés, sont égales à au', J3u', yu. Désignons par dp, dq, dr les produits de ces trois composantes par le temps dt, en sorte que l'on ait
dp = v.du^ dq = pdu 9 dr = y du.
Les quantités a, [3, y sont des fonctions connues de la variable indépendante x; du est égal au produit d'une fonc-
tion connue de la même variable par sa différentielle dx ; par conséquent, les quantités dp, dq, dr sont les différentielles de trois fonctions de x entièrement connues.
H. Soient (fig- i)
a) un élément infiniment petit de l'aire de la section T; M le centre de cet élément ;
v y v 1 les coordonnées de ce point rapportées aux axes my\ mz'.
Dans le mouvement de la section T, qui engendre géométriquement la pièce prismatique, l'élément « engendre un prisme infiniment petit ayant pour axe la courbe décrite par le point M. L'ensemble des molécules de ce prisme peut être considéré comme constituant une fibre de la pièce. La partie comprise entre les deux sections normales infiniment voisines T et T ; est un élément de cette fibre. Soit A<Bi la fibre moyenne de la pièce prismatique dans son second état d'équilibre. Désignons par les mêmes lettres affectées de l'indice i les mêmes choses que dans le premier état d'équilibre. Les sections T et T' sont remplacées par les sections T n T,. Leurs centres m, m' deviennent m Kj m\. Les coordonnées de m K seront égales à celles du point m augmentées de petites quantités inconnues. Nous les désignerons par $x, ty, $z , en employant la caractéristique $ en usage dans le calcul des variations à cause de l'analogie existant entre les variations considérées dans cette dernière théorie et les déplacements trèspetits qui se produisent ici.
12. Transportons la pièce AB sur le solide A 1 B,, de manière que la section T coïncide avec la section T\ . Le mouvement qu'il faudra imprimer pour cela au solide AB pourra se composer de deux autres : un mouvement de
CONSIDÉRÉES DANS l/ ESPACE. Il
translation, dans lequel tous les points décriront des éléments rectilignes égaux et parallèles à mm t , et un mouvement de rotation autour d'un axe passant par m x . Les trois composantes de cette rotation parallèlement aux axes O x, Oy, Oz, sont trois nouvelles quantités inconnues que nous désignerons par ip, $q, Sr. La quantité dp représente une rotation autour de Taxe des x, Sq et ir des rotations autour des axes Oy, Oz. Ainsi, tandis que les rotations dp, dq, dr (n° 10) sont infiniment petites et amènent T dans une position parallèle à T 7 , les rotations ip, Sq y $r sont très-petites et amènent T dans une position parallèle àï,.
Lorsque la section T coïncide avec T 4> la base inférieure a) de l'élément de fibre MM' coïncide avec son égale a), de la section T,; mais il n'en est pas de même de la base supérieure &>', dont la position est généralement différente de l'élément co, de la section T ( . SoitM 3 (Jîg. 2) la position qu'occupe alors le centre M' de l'élément a/; la droite M', M 3 sera le déplacement relatif de o> et &>' dont les projections sur les axes coordonnés ont été désignés précédemment par u, u 1 , u n .
13. Ces trois projections peuvent s'exprimer en fonction des projections Sx, $y, 8z de la translation mm K , ainsi que des trois composantes du mouvement de rotation qui amène T dans une position parallèle à T 1? savoir dp, $q, îr, des deux coordonnées t> et v r du point M, et de la variable indépendante x.
Soient a, b, c les coefficients angulaires de l'axe mx 1 par rapport aux axes Ox, Oy, Oz, a! ,b', c 1 ceux de my', et a 11 , b", c" ceux de mz 1 par rapport aux mêmes axes. Désignons par $x', $y, $z' les projections du déplacement mm K sur les axes mx', my' , mz 1 . Ces quantités
sont liées aux projections $x, $y, Sz par les formules suivantes :
I$.r'= a $x-+-b $y -+- c §z, Sy ' = a' Sx -+• b' By -4- c' te, $z' = a"9x H- b"§y -f- c"$z.
14. Les projections du déplacement du point m', infiniment voisin du point m, sont égales à celles du point m augmentées de leurs différentielles par rapport à x, puisque ce sont les valeurs que prennent les fonctions d'x représentées par $x', $y', Hz' lorsqu'on y remplace x par x ■+• dx.
Les projections de mfm\ sur les axes mx', my', mz 1 sont donc égales à $x'-hd$x', ty'+dty', $z'-hd$z f .
Dans le mouvement de translation mm t du solide AB, le point m' décrit un élément droit m'm 2 (fig- 2) égal et parallèle à mm { . Les projections de ce déplacement sont donc égales à $x', dy', dz' sur les axes mod, my' , mz f .
Dans le mouvement de rotation qui amène T dans une position parallèle à T u et dont les composantes parallèlement aux axes Ox, Oy, Oz sont $p, dq, $r, le point ni éprouve un déplacement dont les projections sur les axes mod, my', mz f seront données par les formules (1) du n° 7 en y mettant pour x, y, z, dp, $q, $r les quantités qui conviennent au point m' et à la rotation du solide dans le second système d'axes coordonnés mx', my 1 , mz'. Dans ce système, les composantes $p', $q f , $ r ' du mouvement de rotation sont liées aux quantités dp, Sq, Sr par des équations identiques aux formules ( 2 )
$p' = a §p + b dq + c §r, <V = a 1 $p -+- b'dq -+- c ' $ r , $r' = a"$p h- b"$q -f- c"$r.
COXSlDÉltES DANS LESPACI. |3
Les coordonnées du point ni par rapport aux axes ma/, my, mzf, qui doivent être substituées à x, y> z dans les formules (i), sont x = ds 9 y =o, 2=0. Les quantités àp, àq, dr doivent y être remplacées par d//, it/ f <tr'. Ainsi, les projections sur les axes mxf, my f > mzf du déplacement m'm (jig* 2) du point ///, dû au mouvement de rotation du solide AB, seront (&r) = o, (dj )= — dsdr, (Sz)= dsdq. Soit m z (Jig* a) la position du point m' lorsque, les deux mouvements étant accomplis, la section T coïncide avec la section T t ; le déplacement total m'm 9f résultant des deux déplacements m'm t et m'//ï , a pour projections sur les axes ma/, my, mz 1 la somme des projections des déplacements composants, savoir :
(4) )*y-ds9r\
Soient T 3 la position actuelle de la section V, ayant son centre en m 9 , et M 3 (Jig* 2) la position du point M'. La distance M 3 M', est le déplacement relatif des éléments 0* et &>'; et ses projections sur les axes wj/, my> md sont les quantités u, uf, vP proportionnelles aux trois composantes parallèles à ces axes de l'action réciproque développée entre ces deux éléments. Pour déterminer la distance M 3 M', , nous chercherons la trajectoire décrite par le point M 3 , lorsque la section T 3 accomplit le mouvement nécessaire pour venir s'appliquer sur la section T,. Ce mouvement peut, comme dans le cas précédent, se composer d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation. Dans le premier mouvement, tous les points de la section T 3 décriront des chemins égaux et parallèles à l'élément rectiligne m 3 m\, dont les projections sont égales à celles du chemin m'///, diminuées de celles de
l4 CHAPITRE I. — DES PIÈCES PRISMATIQUES
m'm,, car le chemin m f m\ est la résultante de m'm z et de m 3 m\ . Nous avons vu que les projections de nim % étaient égales à taZ-t- d$x J , dj'+ dty, dz'+diz!, et que celles de nim % étaient égales aux expressions (4)- Les projections de la translation //i 3 m\ sont donc égales à
dty + dstr', d$z' —clsty.
Ces quantités sont les projections du chemin M 3 M 4 (fig. a), que parcourt le point M 3 dans le mouvement de translation.
i5. Dans le second mouvement de la section T 3 , qui est une rotation autour du point m 3 , le point M 3 éprouve un déplacement M 3 M {Jig- 2), dont les projections sur les axes ma/, m*/, mz, transportés parallèlement à euxmêmes en m 3 , s'obtiendront à l'aide des formules (1), en y remplaçante, y^ z par les coordonnées du point M 3 , rapportées à ces derniers axes, et $p> dq, dr par les composantes, parallèlement aux mêmes axes, de la rotation que doit effectuer la section T 3 pour devenir parallèle à la section T t . Si la section T 3 était située dans un plan parallèle à celui de la section T, les coordonnées du point M 3 par rapport aux axes transportés en m 3 seraient (x) = o, (j')=y, (^) = i/. Le plan de T 3 faisant un angle trèspetit avec celui de T, les valeurs précédentes diffèrent des coordonnées exactes de M 3 de quantités très-petites, qui peuvent être négligées dans la pratique, et nous prendrons ces valeurs pour les véritables coordonnées de M 3 .
Les composantes de la rotation que doit effectuer la section T 3 pour devenir parallèle à T', sont égales à d$p', dd(/', ddr', parallèlement aux axes mx\ mj' f mz\ En effet, la
C0KSIDÉ1ÉES DAMS LBSPACK. l5
rotation qu'il faut imprimer à T' pour la rendre parallèle à T t est égale à celle qu'il faut imprimer à T pour la rendre parallèle à T t augmentée de sa différentielle par rapport à x. Les composantes de la première sont égales de même aux composantes de la seconde, augmentées de leurs différentielles par rapport à la même variable, car les composantes de la première rotation sont les valeurs que prennent les trois fonctions de la variable x, df/, $</', dr', lorsqu'on y remplace x par x t -\- dx. Ces composantes sont donc dp'-\-ddpf, $</'-\-d$</', Sr'+ddr', et, si Ton en retranche les composantes $//, àq f y dr' de la rotation qui rend T parallèle à T 1 , on obtient celles de la rotation qui rend T 3 parallèle à T^, car cette dernière rotation, composée avec celle qui rend T parallèle à T f , a pour résultante celle qui rend T' parallèle à T',.
Il faut donc remplacer, dans les formules (i), dp, $q, or par d$f/ 9 d$q f , dir', et ces formules donnent pour les projections du déplacement M 3 M , dû au mouvement de rotation qui rend T 3 parallèle à T* x ,
/ [ ix ) = f>dir'-v'dtq\
(6) \[fy)=*'dip\
[ [êz) = - vdtp'.
Ajoutant ces projections à celles de M 3 M 4 données par les expressions (5), on obtient, pour les projections de MjjM', ,
l u = d$r/ -\-vd$/ —Sdâq',
( 7 ) ) u' = d3/ -I- ds oV -4- ïdtp\
( u"=z d$z — dsi<{ ~ 'dtp'.
16. Si la température de la pièce prismatique dans le second état d'équilibre n'était pas la même que dans le premier état, le déplacement M 3 M', serait la résultante des deux déplacements dus à la dilatation et à l'effet des forces
l6 CHAPITRE I. — DES PIÈGES PRISMATIQUES
extérieures. Dans ce cas, les projections du déplacement produit par les forces s'obtiendront en retranchant des valeurs précédentes de u, i/, u" les projections du déplacement dû à la dilatation. Soit t le produit du coefficient de dilatation de la matière du corps solide par le nombre positif ou négatif représentant la variation de la température. Les projections de la distance dsf= MM! des éléments o> et a/ étant représentées par djJ> dy', dz\ les projections du déplacement relatif de M' par rapport à M dû au changement de température seront rdx', tdy\ xdz'\ les projections du déplacement produit par les forces extérieures
seront donc
/ a - rdv\
(8) \ U '-Td f \
( u"—xd^.
Pour déterminer les valeurs de dx f , dy', dz', nous chercherons quel est le chemin parcouru par le point M lorsque la section T, dans le mouvement générateur de la pièce, se transporte en T'. Ce mouvement peut se décomposer en une translation égale et parallèle à mm'= ds, et en une rotation autour du point m dont les composantes sont d//, dq f , dr f . Les coordonnées du point M, qui doivent être introduites dans les formules (i), sont (x) = o, (y) = v, (z)=. v f . Les projections du déplacement de M dû au mouvement de rotation seront donc
i ($x)=:t>dr'—i>'dq',
(9) (*jr) = '&. .
( (*;) = — V dj/.
Les projections du déplacement dû au mouvement de translation, qui est égal à ds 1 et parallèle à Taxe mx', sont
(x) = ds',( T ) = o,(z) = o.
db^Lj
La distance MM' résultant des deux déplacements précédents aura donc pour projections la somme des projections de ces déplacements, savoir
I dr f = ds + vdï — t>'dq\ (10) d/=ïdp\
[ dz 1 = — vdp\
Soient p le rayon de courbure de la fibre moyenne au point
m, et da l'angle de contingence de la courbe au même point,
ds égal à ~ Soient m (fis* 3) le centre de gravité de la sec-
tion T, et ml le centre de la section infiniment voisine T'. Soit mn la tangente à la courbe au point m. Prenons mn = mm' et supposons cet élément mn de la tangente invariablement lié avec la section T. Imprimons à cette dernière la rotation autour du point m nécessaire pour qu'elle devienne parallèle à T', et cherchons quel, sera le déplacement du point n dans ce mouvement. Les composantes de la rotation qui rend T parallèle à T ; sont dp', dq'y dr r , et les projections du déplacement du point n sur les axes mod y mj f , mz 1 seront
( [tz) = dsdg'.
Soit n! la nouvelle position du point n (Jig. 3). La ligne mn! est devenue perpendiculaire à la section T'; donc l'angle nmv! est égal à celui des deux tangentes en m et m' ou à l'angle de contingence da. On a donc
ds Mais, d'après les valeurs précédentes des projections de nri,
l8 CHAPITRE I. — DES PIÈGES PRISMATIQUES
on a
d'où
dx =z sl<lr'* -f dq'* et ds = p sjdr'* -+- dq'* .
Si l'on porte cette valeur dans la première équation (10), et si Ton remarque que, par suite de la petitesse des dimensions transversales et de la faiblesse de la courbure de la pièce, v et s/ sont des quantités très-petites par rapport à p, on verra que les projections dx', dj\ dz 1 de la distance MM' des centres des éléments plans w et vf peuvent être considérées, sans grande erreur, comme égales à celle de l'élément mm'= ds de l'arc de la fibre moyenne, et l'on aura ainsi dx' = ds, dj ' = o, dz r =. o.
Les projections du déplacement produit par les forces extérieures seront donc, en remplaçant dxf, dj f y t/z'dans les expressions (8),
les quantités u, u\ u" étant données par les équations (7). Si l'on multiplie la première des quantités (12) par
— et les deux autres par -yj* les produits seront, d'après
l'hypothèse du n° 3, égaux aux composantes parallèles aux axes mx\ my* ', mz 1 de la force qui est appliquée au centre de l'élément &>, c'est-à-dire au point M. Le centre M' de l'élément tuf, en vertu de la réciprocité de l'action développée entre les deux éléments w et a/, sera sollicité par une force égale et contraire.
Indépendance des ejffets des j or ces extérieures,
17. Supposons que, la pièce n'étant soumise à l'action d'aucune force extérieure, on lui applique un premier système de ces forces. Soient u h , u\ , u\ les projections du déplacement relatif du centre de a> ; produit par ce système. Supprimons ce premier système. La limite d'élasticité n'ayant pas été dépassée, les molécules reviendront à leur position primitive. Appliquons à la pièce un second système de forces extérieures, et soient u 2 , u\, u\ les projections du déplacement correspondant du centre de a/. Si l'on applique simultanément à la pièce les deux systèmes de forces précédents, les projections du déplacement relatif du point M 7 , centre de &/, seront égales à la somme des projections des déplacements produits séparément par chaque système; autrement dit, le déplacement produit par la résultante de plusieurs forces est la résultante des déplacements produits par chacune de ces forces séparément. Ainsi, dans l'exemple qui précède, le déplacement résultant a pour projections sur les axes u x -hu 2 , u\ -f- u\ ,
Ce principe, qui complète l'hypothèse du n° 3, suppose comme elle que les déplacements sont toujours très-petits. On peut le démontrer en remarquant que la force développée entre w et o> ; par un déplacement ayant pour projections u t -1-1/2, u,-4-i/ 2 , u x -\-u\ est la résultante des deux forces que font naître séparément le déplacement ayant pour projections m,, i/,, u 4 et le déplacement dont les projections sont égales à w 2 , u 2t u" 2 , puisqu'il suffit de multiplier les projections sur un même axe par une même quantité pour obtenir les forces composantes parallèles à cet axe.
18. Nous avons admis (n°16) que le déplacement dû à un changement de température et à un système de forces était la résultante des déplacements qui seraient produits séparément par chacune de ces causes. Ce principe est un cas particulier du principe d'indépendance des effets de plusieurs forces que nous venons de démontrer.
Une variation de température correspond à une addition ou soustraction de chaleur qui est entièrement comparable à l'application d'un système de forces.
19. Il résulte du principe précédent que pour déterminer l'effet produit par un système de forces, quelque complexe qu'il soit, il suffit d'ajouter les effets que produit séparément chacune de ces forces.
Réduction de toutes les forces élémentaires à une force et à un couple.
20. Chacun des éléments de la section T analogues à a> est sollicité par une force appliquée à son centre dont les
composantes sont égales a -p [u — ras), —r u , — ir.
Désignons par R, R', R" les rapports de ces forces à l'aire w. Ces rapports seront, le premier la pression ou traction normale, les deux autres les tensions parallèles ou efforts tranchants par unité de surface de la section normale T. La distance ds' diffère très-peu de ds (n° 16); on aura donc
ds
x f x as
u" as
C0N8IDÉIÉES DAIfS i/ ESP A CE. 21
La force élémentaire appliquée au centre de l'élément w a ainsi pour composantes parallèles aux axes ma/,mj f , mz' les quantités Rw, R ; «, R^w, que nous désignerons par X', Y', Z'. Les coordonnées du point d'application M de cette force sont d'ailleurs a/=: o, j'= f, z'=s/. Appliquons à l'ensemble des forces élémentaires analogues à la précédente les règles de la Statique qui s'appliquent à la composition des forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, et nous composerons toutes ces forces en une résultante passant par le point m, origine des coordonnées, et en un couple unique. Les trois composantes parallèles aux axes mx\ mj', nid de cette résultante seront données par les équations
/ X = SX',
(«4) !y = zy\
