PUR

si a tri

Le œc(À,) : x a(À,.) k B380,2,) + B,:"@:1,) B,h@,x) + ERUOL)

Bari (v) - Bv}(b) (B£ +82) G'G@,1,) n@,1) - el) h'(b,1,))

Les fonctions g(x,]) et h(x,À) satisfont à l'équation (IIS) ; il en résulte que

(ph')'g - (pe')'h =0 CARRE 20) l'expression ph'g = pg'h ne dépend donc pas de x ; elle est égale à p(a)n'(a,À)g(a,À) - p(a)g'(a,À)h(a,l) c'est-à-dire à c(À)a(X)p(a) .

() 140 t(b On a donc QE = — an as RE e(A,)4(A,)p(a) Rs + Bi En tenant compte de tout ce qui précède, on met CHE 2) sous la forme e(A,)a(A, )p(a) (IIT7) LB] == x, | :

x À, : valeurs propres ,

et) = g(a,À) , a(A) = n'(a,l) : g et h sont deux solutions strictement linéairement indépendantes de l'équation (II) ele les que g'(a,) F h(a, )) = 0 N, = (Mr Vr) sAN,= (Æ:v3) ; %c(,) x a(À,)

fr = Ben) + Past) Pong) + fe Or) Les fonctions propres sont :

Vi (&) = x (A, ) h(x,A,) A.) 164.1) .

30 | 5.- Premier exemple.-

Soit le problème

(x2y]" do roper ME).

le problème associé est : \ 2] Frs 0 :

V(HESOE v(b) = 0 les valeurs propres sont positives -pui-sque XX, = (BB Pa LOMME T

et f25 ÆZ ©

Rappelons que les fonctions propres sont réelles.

La solution générale de l'équation (équation d'Euler) du pro-

blème associé est donc l

V = Ge cos 1121 in x) + 0x À sin[ in x) |

On à pour équation caractéristique

cos IHeL In a sin —— in a

D'= re ee 10

cos —— in v) sin[ Mt in ») 1

ou }|

re[M In b) = [lt In 2) |

d'où |

À Vi EE (RE ar PE)

formule qui donne les valeurs propres et dans laquelle

UC | are | a |

les fonctions propres correspondantes sont

a 4 -l 4À 1 = x CE in à] “(le — in «)

4h 1 4, -1 sin in 4) [TE In «) |

AX, -1 = LTÉE an (e In .

“ès YEta) OT) =10, te) = a? et \AA. 1 vi) = (AE —— FE ;

Substituons âms la formule (III) et résolvons par rapport à d 3 il vient