TOUS

constitue le second membre de l'équation différentielle (III, ) est, par hypothèse, une fonction généralement continue (pour 1a définition MORRIDe LL)

Nous avons déjà dit que, si r n'est pas égal à une valeur propre du problème homogène correspondant, le problème (III, + Tr) est déterminé c'est-à-dire qu'il existe une fonction, y , admettant une dérivée première continue et une dérivée seconde et satisfaisant à l'équation (III. ) et aux conditions (III, ). La dérivée y' est continue, y est donc à variation bornée; par suite, y est repré-

sentable, dans l'intervalle (a,b) , par sa série de Fourier.

I1 s'ensuit, grâce aux théorèmes d'équiconvergence QG) que y est aussi représentée, dans (a,b), par son développement à l'aide des fonctions v, (on suppose que px) et q(x) satisfont aux hypothèses de ces théorèmes) .

Calculons maintenant les coefficients CE de ce développe-

ment.

Posons, comme plus haut ,

N, = (Ver Vx) et A, = N (£3vy)

Partons de la relation (IT;); pour n=2 , dans laquelle

nous faisons v = Vy 3 nous obtenons, en désignant par V le vec-

k teur de composantes v, (a), v'y(a); vi. (D), v'x(b);

(yslv, + rv,) = (fivx) = AC, 7)

ou, puise les Le sont les fonctions propres du problème (Ghperns

et en vertu du théorème de la page 14, (y, = An, +2) = Am = Co Vin.) + BU (m,)) :

Le premier membre est égal à (r - À.) (»vz) ou (r-2 )an, ;

on a donc

(Tan, = té LACS + ELA - AN

(ao est x, [84 7 O , la fonction est égale à son développement sur le segment (a,b) (théorème de Haar) .

o1, en introduisant dans cette relation les expressions qu'on a trou- :|

vées pour les A6 et en résolvant par rapport à ce : |

Soient g(x,À) et hn(x,A) deux solutions de l'équation (Ti) s! qui constituent un système fondamental et telles que

Ua, A1) OM: h(a,l) = 0 , quel que soit À .

Posons

g(a,À) = e(A) et nh'(a,l) = 4(À) . |

En introduisant l'intégrale générale, v = Cie(x;, À) + Ch(x,À), |

dans les conditions aux limites (ee nous obtenons :

œxje(À).0, æ,4(À).C, (Bet, + Bet, 2) à + (B,n@,D + pm@,hle,

les valeurs propres sont les zéros du déterminant 4 [l

œe(À) œ,a( 1) Be, 1) + fe, psh@,2) + Bn'(b,1)

| et l'on peut prendre pour fonctions propres |

(x) = #e(,) nr) - «a(,) ex, À.) . |

l'équation caractéristique D=0O s'écrit :

œc(À) ot, a(X) | PE; 1) + P,s',1) B:1(,1) n B4n'@,2) |

Désignons par (sure la valeur commune de ces rapports, pour | À= À ,3 amplifions le premier rapport par Ph.) puis par | ' E :

fe (,4 ) , le second par B,8@%,2,) puis par B38'(b,1,) et divisons la somme des numérateurs des rapports ainsi obtenus par la somme de leurs dénominateurs ; 11 vient

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