Equation à coefficients constants

Considérons l'équation

(III) y" + ry = f(x) et les conditions aux limites

Nous supposerons que les coefficients de L tisfont aux inégalités &x, <O , [B2z IE 0

1 et de L, sa—

Dans ces conditions, nous savons que les valeurs propres du problème associé N'ADISE À = O0, L (v) 0, L, (v) = 0

ne sont pas négatives.

Posons =\/à ; la solution générale de l'éouation v" + lv = 0 est (À>0) :

Vi C g(x,)) +C, h(x,)) = C, cos wx + c, sinWx et l'on a c(À) = g( 0, À) = l , a(A) = h'(o,À) = & Les fonctions propres sont

Vs = a Sin, x — a We

les w, étant les racines positives de l'équation careactéristioue

cosw , x o

x PAT D= . 2

Bscoswrx B,w sinwT Bssinwm + fB,wcos WT

Cette équation peut s'écrire

x x cotg WT = = QU + be CBs — XP 2Ps 7 if La formule qui permet de calculer les coefficients de la sé-

rie représentant la solution du problème, dms l'intervalle ou sur le

segment (0,1) , s'obt‘ent en particularisant la formule (IIT7) ; elle est

(IIT,) D PERR ee —T N, $x A où “ PE 2 ad: w, —-oi 2 PU PANI C PT e ak N, = Cv ,v,) = (of + dt )= + <> sin 2w,T k x Vk ee 10, k — ox, sin ui, TT $

Rappelons que l'on a

NS R PURE SNL RE PMR ES EL) $k = RESULT e Ba de SR CITE + ps WT + [3 W,C08 W,T

Remarque ,— À= O est valeur propre si les conditions aux limites (IIL,) sont y'(o) =, y'(T) =f , et dms ce cas seulement. Alors À! =10,, Ver 1 et

(1) Il est utile de remarquer que l'on a vx (TT) = EAU et

VK(T) ai B $x WU F

Le tableau suivant donne l'expression des coefficients de la

(IT UOTJEnND9,T ‘A) SeATITSOË quOs serdord sInetrA SeT (2) "[£] qe ‘oet qe G2T “4 ‘ [T] xro4 fserraeis 939 efop quo semmmroz se9 (T)

CSC ETe Er) (o # Lx) TE UP + 9) ]T 7 ZX 2 ï 2 HO ONEr Pr -((htr-) -») . | F— [XX 0% - HUE > 1 0 = um8} ee (o) Es (o)£le A TT — >:1) À Pr = (de, (r- - r(T-xe) A A2 x(Z - H)uys (#32) lo = um300! d=(a),£ # »= (04 T- (4-3) FY # [dtr-xe),(T-) + ve) i x(£ — %)809 24 — 3) O = um$909 g = (L)£ # »=, (0),4 Æ (o 7 ) (Hs A ZT =) LT oo | ue | x loueurs. ou [° + le 08 Li g Re ner 8 FA = um34 | g= (u)£ {x = (o)£ a = (ET) cl IX UF 1 0 = m3} | g= (u)£ x = (0) 7 RTE mx + A 20 = VY °308780 *by SUO TA TPU0Y

série dans quelques cas particuliers :

(Z)7 = {x + ,£ uorenbg