DIT

d'autre part ,

GS Dave Dore (tr SP: Vi)

4 ; 22 Le et par conséquent (0) = x, ) ie (Ca Çxf2) -

Tirons z'(o) de la première des conditions aux limites :

il vient 20) = LÉ - 2 40) - E +49 (x- $ B) %> x; X> al N, le En égalant les deux expressions de z(x) ,; on obtient

ent = ee ce i\ 3k ) KD @t-f, pv, (x) le: %ÿ F (@-8,p)\x - %, ) mine Ce) ; lee 2 k k c'est-à-dire l'identité que l'on voulait établir.

Donnons encore la série en Vy qui est égale à 1 en tout

point du segment (0,7) ; nous l'utiliserons plus loin. La fonction Zz(x) = 1 est la solution du problème PAU CO)

(@, 3, À 0) 2 [74 ! = BP: m0) + Biz (Tr) B:

Douc ) JA Es se z(x) =1- AVx = ) LT Ci - Pr Br) -

ë c Æ is à 3 Pour 0 Ta EX ) “, @t Pxf35) :

E : 2 CT DT ) , cap vw (T) = - (2 = = Ari SN 2 6 k Pat ; Cherchons maintenant un développement en série de y'; si

la série Av, converge uniformément sur le segnent (©, 9) © st à est nécessaire pour cela que la fonction f(x) soit continue-, on a

VUNENE = Ty = Du (4 = ra, )v, (x)

La série précédente est uniformément convergente puisqu'elle

Dé “in nn CES

est la différence de deux telles séries; on obtient en intégrant ter-

MNVoOirIp 55, noter

me à terme he y'(x) = y'(o) - D TE (ur(x) - w(0) Wy

ou, en tenant compte de la formule (III?) et de la première des con-

ditions aux limites,

y' (x) —. avy(o) - > [Re Ce -p,8)-2, ][ v1G)- 1]}

ou encore, en remarquant que la série = (CE (QE) converge (voir ; + c Pe 3)e

y'(x) = + ci vi n (x = role De Lars CE EE a. | vi (x) :

Il est intéressant de montrer coment on passe de cette sé-

rie à la série y(x) = > av, et de vérifier que les conditions

aux limites sont satisfaites.

Une intégration terme à terme (la série est uniformément con-

vergente) donne :

FL) = 0 + Le + %y are (x - |"

Rs te 520 - jf nt - 01] és T cena) cone)nes ee à NE D EE Ÿ ant de

c'est-à-dire, en vertu de l'identité de la page 36,

y(x) = ÿ a Vr(Æ) »

ce que l'on voulait établir.

11 résulte de la manière même dont nous avons calculé y'(o) que les fonctions y et y' satisfont à la première des conditions aux limites. Montrons que la seconde est vérifiée.

(1) Les séries convergent (voir p.37)

On a

BayGo) + Ryy'n) = PB 5 av, (x) (= 4 *É Ni De CAE PIEENR) ne [re ES TUE a, | 10) .

Mais vL (T) = = Bif rx» VE) = Br ux (p.33, note) ; par suite,

“h Part) + y'im) = LmÉ Gr -Frfs) - 4 . SEL | Les séries TE \, Ce Px Ps) et — PR RC ff)

sont convergentes et la somme de chacune d'elles, nous l'avons montré, est égale à 1. Donc

Br CO + fist = hp À Chdeete

Nous avons supposé que la série > Av, convergeait uniformément sur le segment (O,) .« S'il n'en est pas ainsi, il est tout de même légitime d'intégrer terme à terme la série > (Ag ra, )v, (x) (1) ; on obtient une série qui représente y' .

9,.- Application à un cas singulier,- Si l'équation

RE y" - < y + ry = f(x) (n, nombre naturel)

admet une solution y telle que

a) FA — À, nombre fixe, pour 0 xl,

b) B=7 (2) ca Bi" (1) = f

nous obtiendrons les coefficients a. de la façon suivante :

Prenons pour problème associé

vu = EE y + y = 0 ,

Ds x,v(o) + Xsv! (o) 0,2; OR

Psy) + fiv @)

(1) On le montre facilement au moyen de l'égalite de Parseval.

Les fonctions propres sont

vr = Vx 9, (w,x) (ww, =\ À.) ; les valeurs propres sont les racines de l'équation

dJ Br (VA) + 5 | A je 5 [Ba 7h VA) LÉ

Il existe ici encore, on l'a déjà signalé, un théorème d'équiconvergence .

La formule (III) donne, si l'on tient compte de l'équation caractéristique,

de sorte que

) Fete Did le £ dy EE s . EPACUA nn

-p(at,, pa) pb), -p(b)M;

de sorte que

ADN = = mp(a)v(a) + Mup(a)v'(a) + 1,4p(b)v(D) = M,,p(b)v'(b) (k = 15 00

Le problème associé est :

(IV) Ix+ Àv=0 , (V9) Vi) = 0 (3 =53, 4).

et réciproquement.

En effet, c'est la condition nécessaire et suffisante pour que le problème

(IV) ly +ry=0 , (IV) L,(y) = 0 He | Aditiaifoint nil né ie es EU CVS + IV5) et (D + IV>)

sont simultanément self-adjoints ou non.

Nous supposerons toujours dans ce chapitre, que les coefficients des L; satisfont à la relation (IV) qui s'écrit aussi

EC nn) Le oh Z

dE ( BB,» (B PB» B3,) . Le problème associé étant alors self-adjoint, on a les mêmes conséquences qu'au paragraphe 2 du chapitre précédent; en particulier, si l'on remplace l'hypothèse x, [34 £Z O0 par la condition

et Z, étant respectivement les vecteurs (%, Ko 9 9 Xy) et

(1) Lo je poelr

toit 8 et ee. 77 Pre à Li:

le théorème de Haar subsiste @), Si cette condition n'est pas remplie,

il existe néanmoins des théorèmes d'équiconvergence (

Il faut noter toutefois une différence entre les valeurs propres du problème (ETES + EU) et celles du problème (és + IN) Les premières sont simples, c'est-à-dire qu'à chacune d'elles correspond, à un facteur constant près, une seule fonction propre tandis que les secondes peuvent être doubles (toutes ou certaines d'entre elles): toutes les solutions s'expriment linéairement en fonction de deux d'en-

tre elles qu'il est loisible de supposer orthogonales,.