LEE

6) ; ou si A; 0; à; ; A 0 et 1é)==0

A AS >0, A,;A;y <0 Sn (NE UT

le problème y + IV) n'admet pas de valeurs propres négatives. (Rappel : p(b)A,, = p(a)A;, ; A, £ O0)

En effét, À, étant une valeur propre et Vy la fonction propre correspondante, on a

b je Vx (LV + À,v,) x = 0

ou b

b Er 2 2 (GONE (4) A \ (pv — av?)äx = -À VE K Xk à à k k k 15 k

À l'aide des conditions aux limites (IVs) ; de la relation

(V3) et de l'identité CA =

on met le 1°7 terme äu premier membre de (Ÿ) sous la forme

-p(a F2 2 FA 4, A Ve a 2A;; Aa VV + L 5 A) À

ee ee : 2 O DA 0 nr) ea AAA ou, en vertu de l'identité qu'on vient d'indiquer , si A,381470 et A;,54 5 <0 , la forme entre crochets n'est

pas négative ; le 1°T terme de (Y) est donc négatif ou nul ainsi que

le premier membre, puisqu'on a supposé qg(x) = 0 . Ilen résulte que À; n'est pas négatif.

i = O et (e] on voit imnédiateuent que le premier membre de (ee est négatif ou

nul ; À+ est positif ou nul. Le théorème est démontré.

Remarque ?: .I) Si = (@) est valeur propre, la fonction propre cor-

respondante est constante (sinon re ne serait pas nul et le pre-

mier membre de (Y}) serait négatif).

II) Si ni l'une ni l'autre des conditions (IVE) n'est rem |

plie, il peut y avoir des valeurs propres négatives; ainsi, le problème

y" + Àv = 0 ; CAT) MC MNNIED)ETON, (1 = e)v'(o)+ (e + 1)v(1) (e) admet la valeur propre -1 ; la fonction propre correspondante est

v = (e + ces — (1 + en

4.— Calcul des "coefficients de Fourier" de la solution du problème (IV) HV à; Z O, p(bA, = p(a)A;,) —

Les considérations du début du paragræhe 4 du chapitre précédent sont

encore valables ici à condition de remplacer le théorème de Haar et les | théorèmes analogues par les théorèmes plus généraux démontrés par Zaanen! Ontario. 27) AL - ra, = Dm) à ELA = ANy

et (p.44, matrice N )

An V(n) = Bynla)v(e) + Php(a)v'(a) A3, Ws(x) = - oip(a)v(a) -p(a)v'(a) :; donc (Ivy) [C2 = Ra)v (a) + (4, - Rare) | + 4Ë J >. Equation à coefficients constants.- Considérons l'équation (IV: ) OCR 1e)

et les conditions aux limites

yo) + &y'(o) + SCyÛT) + «yt(r) Pay(o) + By'(o) + Roy + fiy'(m) =

(Tv; )

Nous supposerons que l'une des deux hypothèses (IVS) est vérifiée; il n'y a donc pas de valeurs propres négatives.

Le problème associé est (voir $ 2) :

(IV) y" + ) — O ; Le A:3v(0) + A,3v' (0) - A,,y'(n) =0:, ? A;,v(o) + A5av'(o) + A;,v(m) = 0

On a pour équation caractéristiqme (si = O)