A FA

13 10 © sin TT A,;3w —- A-,UW cos wT

A4 + A5 + COSWT A54% + A3 Sin CUT

Si, pour }= An = w?, le rang de la matrice dont les éléments sont ceux du déterminant D est égal à 1 , la valeur gopre

Àx est simple; si le rang est zéro, À est double. Nous distinguerons donc deux cas :

a) les valeurs propres sont simples.

On prendra

Vx = (A: + A;,c0s G,T)sin Wu, x = (An wx + A,,5in &,T)cosw, x :

En substituant dans la formule (IV7) , on obtient

| 1 1 D % LR | 2 | x (fs, -B4;)(A;, 12 k

(af, -B&;)(A,,u, + A;, sin cr | = M} ;

b) il y a des valeurs propresdoubles.

Si Je de = Ww est une valeur propre double, la formule (IV?)

n'est plus valable puisque les expressions A 4 + A5 cos WT

et A 54 CE + A; sin LIT sont nulles. On calculera les coefficients des deux fonctions propres orthogonales correspondant à

À= à x par le formule (IV). Des exemples sont donnés plus loin.

Remarque.— Si À = (0) est valeur propre, on pourra prendre,

eu égard à la remarque I) du $ 3 de ce chapitre, v, = 1 et l'on aura

Nous terminerons ce paragraphe par deux propositions sur l'or-

dre de multipiicité des valeurs propres. |

LÉ À; 4 O, les valeurs propres du problème (IV; + IV£)

sont simples à l'exception peut-être de l'une d'elles.

En effet, pour qu'une valeur gropre non nulle (posi tive ou négative) soit double, il faut et il suffit que, pour cette valeur, le

rang de la matrice dont les éléments sont Ceux de D soit ©. Si À = De est une valeur propre double, on a donc

A = — A; COST , Ay® = — A; sin WT

il ne peut donc y avoir plus d'une valeur propre (non nulle) double.

si À=0, l'intégrale générale de l'équation (IV;) est | v = Ax + B. Introduisons cette solution dans les conditions (TVE) ; | il vient

(A;; A,,).4 + A ;. BE RIv0tS

Pour que À O soit une valeur propre double, il faut et il

suffit que le rang de la matrice

25 12 1 (5) Area de TUE NRA 24 12 14 12 SOrthÉSal aMO TI faut donc que A, — A 12 + Si ceci a lieu,

la solution de l'équation (€) est À- TE 0. I1 ne peut donc y a-

voir plus d'une valeur propre double. Cedinedes

Qu'il existe, dans certains cas, une valeur propre double, c'est ce que montre l'exemple suivant :

v" + Àv = 0 vo) + 2v'(o) - v(r) + 2v'(n) v(o) + 2v'(n)

(EH Ou ©

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