ET

D(x,t) : force extérieure (à un facteur près).

Les conditions aux limites sont :

(On) == (0) ’ Yo, Et) = (e) ?

VAUT CS Os (tt) = O et les conditions initiales :

YESO)E=I0r Yk(x,0) = 1 à

En appliquant la transformation de Laplace, on obtient le problème

EU UE s°y ES)

(1) voir [4] , p. 235.

y(o,s) Es VAN CP) F

| Ce)

y(r,s) 5 È yi(r,s)e S + ©

où l'on a posé y(x,s) — CfrG,t) CT (ss) L'{B(x,1)] (y"(x,8) désigne la dérivée seconde par raoport à x }.

One a (avant-dernier cas des pages 58 et 59

mi = de sie os =

= a? k+1 2k? Cw 5 S e.

= en des (-1) nor RS ETES 5 fSsin kx ; (ak) +5 K 8° kw a

les A, (s) sont les coefficients de la série de Fourier en

| sin 2x

sinus de f(x,s).

Or

PES EN CAT AT) LU OS RS RS COR a tax L + s° s? + w® fax) =|- + w? Fe + ; ja 1 1 IN | 1 C{ RS }

Ne | = NS sin wt sin ak js NS INTERESSE ARE —| À Re

À 2 RE eme Le SEC ire ax + } .

Mk) + 5 8° + © k? [(a°)? - w?]

E. On obtient finalement

. © Y(x,t)v) : (ee 280.x ak” sinwt - wsin(ak?t)

(ak+)" w?

& + —- \ sin Ca?) ,(+-Dar | sin kx ak o

à (utt) = LT {ats)] À Comme f(x,5)v) A,(s) sin kx et f(x,s) = Ciptr.t)) e

les At) sont les coefficients du développement de P(x,t) en

série de Fourier en sirus.

Remarques : Nous avons choisi T pour longueur de la pe e

uniquement pour simplifier l'écriture. Ses

Si on remplace la première des conditions initiales par

Y(x,0o) = (x) , la résolution du problème ne subit aucune modi E tion essentielle.