VI.- GENERALISATION
; Dans les chapitres précédents, nous avons supposé que le pro-
blème associé était self-adjoint. S'il ne l'est pas, on peut, dans certains cas et par la méthode dont on s'est servi jusqu'à présent, obtenir le développement en série de fonctions propres de la solution du problème non homogène correspondant.
Soient l'équation
et les conditions aux limites (VZ,) DO) M Cle lire der. et les L, étant définis de la même façon que dans le premier chaî pitre.
Le problème associé est + (15) Dr AT = NON; (VIS) AG NO Ce en).
Considérons encore le problème adjoint :
NUL) Tue MAN e NO
4 (12) L,(u) sur ON.
Les problèmes QU, + VIS) et (VI? + V2) admettent, on l'a déjà rappelé, les mêmes valeurs propres, chacune d'elles avec le même ordre de multiplicité. Si fe et À sont deux valeurs propres distinctes, on voit immédiatement, par la relation de Green, que
Cugs Ve) AO En effet, + (Lu, +A,uv,) - (L Vo + liver) * = (Lu, ) a (L V sy) ne A = À) (use) = O Si l'on désigne par (CC) » h=1,,2; ..., n° lesicon—-
posantes du vecteur
U, = mu, ; mL. étant le vecteur (u,(a), as ant) (a), u,(Db); Me, al) (p)), on a 2n (Lu,sV,) - (L'v >u) = De V'ACALACA = 0:
donc
(us Ve) — ON.
Si À est une valeur propre d'ordre de multiplicité ne. on peut lui faire correspondre deux suites de fonctions propres, Us
Un es Un 3 Vis Vos ++ Vin ? telles que les fonctions d'une même
m suite soient linéairement indépendantes et que Cas Va) = 0 Mpour
p#aq (ps a = 1, CRC
Supposons que les valeurs propres constituent un ensemble in-
fini dénombrable et que QU Vs) Z O , quel que soit k ; nous dirons
co Rs ak : L ue la série UP OÙ = £,v stitue le développeq pee K? A, Tai (f,v4)» constitue le développ
ment de la fonction intégrable f(x) selon le système {ur} ;
En reprenant la relation (IT) et en tenant compte du théorè— me de la page 14, on obtient les coefficients du développement de la solution du problème (VI, + VI, ) selon le système {ou}:
Exemple .- Soit le problème
Pr) y" + Ty = f(x) ; 0) + y'(o) — = © (TS) y(o) + y'(o) = y(r) ; y'Co) +y'(n) =p.
Le problème UM EAT = NON:
admet Tes valeurs propres et les solutions correspondantes suivantes :
lus = (x1)7 ny = (2k-1)cos(2k-1)x - 2sau(2k-1)x Àox = (2k) Uy = COS 2kx (le ENT OS
Nous choïisirons pour M la matrice
3l El (0) (0) ak O a O (o) al (0) 4 (e) (0) O 1 Alors
O del © 0
N = 1 Lo) (0) 4 (e] JL OMMST
dé dE dl (0)
Les fonctions propres du problème associé ,
d'Al +Av=0; v'(o) - v'(n) = 0, v(o) + v'(o)i+ v'(T) = 0,
Dr UT),
cos(2k-1)x ,
k cos ?2kx - sin ?2kx .
Les coefficients a; sont donnés par les formules suivantes = [2x+ &-18]+4), 5) 28
[2 Ca -p) + A! .
NS
On peut obtenir la dérivée de la solution du problème (VI! + VI;) par
Il y a encore, dans ce cas, un théorème d'équiconvergence
des calculs analogues à ceux du $ 8 du chapitre III.
(1) Voir [16] .
DT
og ét à on CU Std été a dE à
