EQUATION du SECOND ORDRE

CONDITIONS de 3€ ESPECE

1.- Problème.- Soit y la fonction qui satisfait à l'équation (IIL,) (p(x)y')" + q(x)y +ry = #(x) À) et aux conditions

1,7) = gt) + By) =

p(x) et a(x) sont des fonctions continues sur (a,b) ; f(x) est

une fonction généralement continue (2) sur ce segment et r une cons-

NTI) CE a S)(B + B°) is

tante; on suppose en outre que px) est positive et qu'elle admet une dérivée première continue (sur (a,b)).

Nous allons chercher une série de fonctions propres qui re—

présente y.

L'opérateur différentiel L est défini, ici, par l'égalité

ly=Ly= @G&)y")" + a(x)y ;

et () p(a) O (0) -p(a) (0) () @) (TIT;) PE 0 0 0 -p(b) O 0 p(b) 0

(1) On sait que l'équation générale du 2° ordre, »(&)y" + p.(x)y' + p,(x)y = 8G) ,

prend la forme (III; ) quand on la multiplie par == e O

CPÉPoucEtaNdérintlon, voirabp. El

Nous pouvons prendre pour M la matrice (régulière puisque

son déterminant vaut

(1) Mineur: produit par (- 1)++3 du détermin supprimant la iième

(XL + XS)CRS +64)

ligne et la jième

ss: Qe (o] O ‘4 (@) 0 B3 By | Fe F 4 x, % (o) (e] j (0) (e) (02 B; Calculons maintenant les matrices ai): et N; en désignant par À le déterminant de M et par M, is le Re) relatif à l'élément appartenant à la HE ligne et à la . colonne, nous | obtenons :

1 D Pen © Mur ans a A a) =7 SET Et Mrs se 2 2 2 2 i Ps 265 + Pa L : ; 2 2 l 0 0 BG +45) BG +5) 4 + F +82) (RÈ+ (4 (B£ + 0) 0 à B+8)| & Ps 13 *P4 | Se 2, S2MIER 4 RULES et êl (a)2 es 0 o | pa) p(a { DER Se ï 17% A +X 1 Pa Bz 210 (e] ». | ; 0 PO RE re Nr | p(a) Ds) O (e] :

ee RUE :

+ Ÿ KTHE Ÿ ë É 10) 0 "È +$ B+f 3 l4 4

ant que l'on obtient en

colonne; certdins au-

teurs appellent mineur le déterminant obtenu en biffant la iième

ligne et la jième

colonne.

De 2; Be at 100) SVT. palr(e): + ss p(a)v'(a):; 1 10e V (+) = Er p(b)v(b) - Ps .

: p(b}v'(b) , B5+ Bs+ Bi [74 Vlr) = 2 pa)v(a) +2 pialr'(e) , X:+ x X1+ aus HAE SEE Pa 4 5 P(b)v(b) + np P(b)v' (b)

Bip? P3+ P; 2.- Problème associé.- Le problème qu'il convient d'asso- «cier à (III, + III, ) -est donc :

(III) (p(x)v')" + g(x)v + Av = 0; x v(a) Æ x;v' (a)

(IIS) (1) Br) + fB,v'()

C'est le problème de Sturm-Liouville.

Ce problème est adjoint à lui-même; ce fait a d'iaiportantes

conséquences ?

a) le noyau de l'équation intégrale équivalente est’ symétrique; les valeurs propres -elles forment un ensemble infini dénombra-

ble (2) sont donc réelles;

b) les fonctions propres sont orthogonales deux à deux ; el-

les constituent un système complet (2);

c) il existe des théorèmes d'équiconvergence.

On démontre l'orthogonalité au moyen de la formule de Green, C'est aussi grâce à cette relation qu'on peut affiruer, sas recourir à la fonction de Green et à la théorie des équations intégrales, que

les valeurs propres sont réelles. En effet, on a = 4 = (3,v) - (17) = Li 40) 3 al

T représente la quantité conjuguée de v. Si y et v sont des

(1) Voir p. 14 et 15 où nous avons déjà trouvé ces conditions Po], "0. 251.

fonctions qui satisfont aux conditions L: = «0}; L, = 0, donc aussi f aux conditions de 0) Ÿ, = @},, ae mes membre est nul. Le pro blème (IIIS + III (

valeurs propres sont réelles.

d'où il résulte que ses | |

) est donc hermitien

Les valeurs propres et les coefficients de l'équation et des. conditions aux limites sont réels; on peut donc supposer, sans res - |

treindre la généralité, que les fonctions propres sont réelles.

Soient Vis Vos la suite infinie des fonctions propres du problème (re + 102) et f(x) une fonction intégrable. ©

On donne à la série ) AxVyr Où l'on a posé ALN, = (LrVy) = "|

N, = (vs VL) ;, le nom de développement de f(x) selon le système orthogonal complet Mr qu'il y ait convergence ponctuelle ou non.

Sous certaines hypothèses, le développement précédent repré.

fonction dont il est issu. Il existe à ce sujet divers théorèmes 5 Al

sente , Sur le segment (a,b) ou dans l'intervalle (a,b) , la |

les hypothèses dépendent du point de vue auquel on se place et aussi |

des moyens auxquels on fait appel dans la démonstration. à

Supposons p(x) = 1. 4

Nous énoncerons seulement un théorème d'équiconvergence dû

à Haar (4) et que nous utiliserons plus loin :

Si la fonction q(x) est continue et à variation bornée sur. (a,b) et si x, (3, # 0 , le développement d'une fonction f(x), ! définie et intégrable L dams (a,;b) , en série de Fourier en cosinus. et le développement }

fH)O) Av,

sont uniformément équiconvergents sur le segment (a,b) , c'est-à-

dire que la différence des sommes des n premiers termes de chacime

de ces séries (convergentes ou non au sens habituel du mot) tend uni

(1) Pour la définition, voir UE], Der L20% (2) Pour la définition, voir p.12 note (2)

(3) [4] , p, 259 ; [5] De STINéT STATE . + 570; ù 2181; [16) 9 p: 379 ; er AE 12.” [8] , p ; [ol] ON à

(4) [19] , p. 254 et 255.

formément vers zéro sur (a,b) quand n—+ CO.

La série de Fourier en cosinus de f(x) est

b b ; l 2 X—& Ÿ | ÉD) der arr ) cos { x rs ] À ; cos (xri=s P(+t)at ; elle correspond au problème NAN Àv = 0 ; v'(a) = 0:, vA(b) "OM.

Si les coefficients x, et B4 ne sont pas tous deux dif férents de zéro, on a des théorèmes analogues

Si p(x) n'est pas identique à 1 mais possède une dérivée seconde continue, le changement de variables :

UE 4 t = Ê \ pu À ax + a (7% À ax » Z = yVr a a permet d'écrire l'équation (T1) sous la forme 2 2 LE + Q (t)z + À 0 dt

avec

act) = Lt) - De , DCE) et Y(+)

étant respectivement VE et q où x a été remplace par son expression en fonction de t.

Le résultat des opérations aritnmétiques sur des fonctions à variation bornée est à variation bomée et une fonction dérivable sur un segment (dérivée bommée) est à variation bornée sur ce segment (2), Donc, si p" et q sont à variation bormée, Q le sera

également de sorte que le théorème de Haar s'appliquera.

Dans le paragraphe 9, nous considérerons un cas singulier, le développement de Fourier-Bessel de la solution d'un problème aux 1imites. Là encore, il existe un théorème d'équiconvergence

(= f19Î, p.255 (2) [18] ; pe 74 et 78.

(JAN Top. Ts 5120) 0, 98 ; [al p. 250.