Signe des valeurs propres.- La question du signe des va

leurs propres est importante dans certains problèmes aux limites, en |

particulier dans le suivant :

v" + Àv = 0 ; (II1,) x,v(a) + ev'(a) 3) 4 B,v" C)

En effet, si toutes les valeurs propres sont positives, les fonctions propres sont des combinaisons linéaires de sinus et cosinus réels alors que s'il existe des valeurs propres négatives, les fonctions correspondantes sont des exponentielles; en négligeant, dans ce dernier cas, les valeurs propres négatives, on obtiendrait un systè-

me ortaogonal incomplet.

Nous allons démontrer à ce sujet les théorèmes suivants :

Théorème I : Si l'on a XX, SO GB Bi: = et

q(x)<O , les valeurs propres du problème (ii, + us sont posi-

tives, sauf si x. = (8 = 0 et qg(x) = O ‘(sur (a,b)); dans os cas la plus petite valeur propre est O

En effet, À étant une valeur propre et Vr la fonction |

propre correspondante, on a

. Vy (y + À uv )dx = 0 | ou

(B) Eur É = ( [prié - av ex = = -À, \ 2 äx .

Le premier terme du premier membre s'écrit, compte tenu des

conditions aux limites (éus ss) | io (2)| r(e)]

(a)| vj(s)] 2

B 2 : p0)| vtv}

ou Pa ou encore E BK DIR x]? +

Pie

p()] vi) ? + 2 pt] vi(a)] 2