AIR FE A

ou enfin B >:

Comme (CS + as) (RS + 6°) Z O0 , l'une au moins de ces expressions a un sens et, en vertu des hypothèses ATEN >< 0 » (3429 : elle est inférieure ou égale à zéro (on a es es nr le premier membre de ((3) est donc négatif ou nul. IL en résulte que

Àx est positif ou nul.

Si Le n'est pas constant, Vy n'est pas nul et le premier

membre est négatif; À, est positif.

k I1 ne peut exister de fonction propre constante que si ot = fB = O0 ; dans ce cas, À=0 est valeur propre à condition que

la fonction continue q(x) soit identiquement nulle sur (a,b) Le théorème est äémontré.

Plaçons-nous dans le cas du problème (T1, ). On peut donner

une autre démonstration.

Supposons À 40

Introduisons la solution générale de l'équation de (ITT,)

Ve ER) + Crée , dans 1ies conditions aux limites; il vient :

eV? , 4%) En HER + CRE = a V=X e"eÿ-à, G

bY- À bV-} =b\/-) —b} 1 (B3e LOVE Eu His DPI CE En exprimant que ces équations sont compatibles, nous obtenons l'équation caractéristique du problème : = -aV-) (x; + ANA) VX (RS aV-D CH —b\- À + BA) 7? (GB - BND) 7° 2 avr Gi + ANG = PUTD

a - =) + BND

Pour. À <0 >» le premier membre est supérieur à 1 (b>a) ,

(IIT;)

le second est inférieur ou égal en valeur absolue au même nombre | Cette équation n'a donc, dans les hypothèses faites, aucune racine né- | 2 ||

gative.

À= O est valeur propre si % = 3; = O et dans ce cas | seulement, on le voit aisément. |

Si les conditions du théorème I ne sont pas remplies, il

peut y avoir des valeurs propres négatives (2)

Exemple : L'équation v" + Àv = 0 , accompagnée des conditions 2y(o) + v'{o) = 0

6 | 3(5-e Mv(n) + (5+ e0Tjy'(r) = 0 (e, base des logarithmes népériens), admet la valeur propre —-9 %; la solution cor-.

respondante est v = ee OR £

! = a RIT 1 Ici, À} > =2>0 ; GB (2, = 3(25 e NEO 4

Théorème II : Dans le cas de l'équation v" + Av =0, si.

AA, æ0 et PB: (B <9 y il y a au moins une valeur rropre négati

ivre | |

En effet, l'équation (III) peut s'écrire, en posant | ‘| (>O , par hypothèse) , T, = Bs CO) RENNES) (À=0) |

PU Code rt | |

Cr -r,)(& + ro)

On voit facilement que la courbe représentative du second

membre coupe au moins une fois la courbe y = e2(b-a)t

4.- Calcul des "coefficients de Fourier! de la solution du problème (III, + III, ) .— Rappelons que la fonction f(x) qui

PMR PE EE, , Re me re VE SMIOTE AFIN A Bs + BV X

(2) Ces conditions ne sont pas mentionnées dans tous les ouvrages qui s'occupent de cette question. Nous ne les avons trouvées ni dans Frank et von Mises (t.I, p. 340, 347, 573), ni dans Hoheisel, Gewthnliche Differentialgleichungen, collect. Gôschen, 1926.