L 8 ET L 6x

ou bien | « 2 — 1x? + 14 — 8 — (x — 1) (x? — 67 +8).

Comme, d'autre part, la résolution de l'équation du second degré @? — 6x + 8 — o permet d'écrire :

dt? — 6x + 8 — (x — 2) (x — 4) — 0, il s'ensuit que:

2 — 7x? + 14xr — 8 — (x — 1} (x — 2) (x — 4) — 0,

- de sorte que les trois racines de l’équation proposée sont 1, 2 et 4.

out e du polynôme nique en facteurs binses + premier c eg

ces cas heureux sont assurément rares, si rares qu'il suffit d'en fai brève mention au passage et qu'il faut, de toute nécessité, d’ autres HPLAONCE

sager une on cubique de la fois a? = pa É q = n d' où Le : en æ°? a disparu. | | He.

C'est en effet à ce type unique dit « type normal » qu il est ee. | réduire toute équation du troisième degré, parce que seule. cetle é simplifiée est résoluble par des moyens élémentaires. “e

à deux house sos PREMIER ÉCHELON. — Soit l'équation complète 7 + na? + Fe 24

x + ue. + mn & + [ — 0 de sorte que : l'équation pie

jours se metire sous Ja ce 3 au a se bæ a C—0. -

et le terme e en x: dapartt si on EU . es. a

X À = z TRS 44 CAPE TS

Lo

X8— 43X — 120, Sn

ee Sent toujours être ramenée à une équation normale du type

ne x

3, X 21, X”— 4, d'ou les racines de la NT or 0e sd, = Lo + X° = 2 — 1 — é, tv 6.

VARIATIONS DU TRINOME CUBIQUE | y = % + px + q.

L'intérêt tout particulier qui, dans le cadre de cette étude, s'attache

à la fonction y — x° + px + q, résulte de ce que l’équation cubique æ Æ px + q — 0 n’est, en réalité, qu'un cas particulier, qu'un moment

unique et tout à fait spécial de la fonction : le cas y — 0, le moment où la :

fonction s'annule.

Or la courbe qui représente les variations de la fonction y — 23 + pæ à possède une propriété qu'il importe de mettre tout particulièrement en

relief : propriété d’avoir un centre de symétrie.

Supposons d'abord le terme constant nul, 9 — 0 : la fonction devient y = a$ & px — x (x? + p) et cette fonction, ainsi réduite, s'annule pour.

æ (x? + p) = 0. Or, dans x (x ?+p)=oilya, au moins, la racine x = 0 qui prouve que la courbe passe par l’origine.

Si, d'autre part, x désigne l’angle de Fe tangente à l'origine, la pente de cette tangente sera :

3 | TR ne pee 4 T

EP Dour 0, Lo — 2.

Soit un point M de coordonnées positives (+ æ, + y), on voit que la

pente de la sécante OM est plus grande que celle de la tangente OT, autrement dit la partie positive de la courbe est au-dessus de la tangente:

Soit de même un point M’ de coordonnées négatives (— x, — y), la pente de la sécante OM est plus grande que celle de la tangente et par suite [a.

partie négative de la courbe est au-dessous de Ia tangente OT”. Quant à la symétrie, par rapport à l’origine, des points de la courbe pris deux à deux, elle apparaît manifestement si on donne successivement à

y deux valeurs égales mais de signes contraires (par exemple les valeurs

représentées par les ordonnées de M et M’). On a en effet :

\tyl=)+æ)+pltel où y—= &+px,

|—yIZ=)-@t+p|—x| OÙ y di =pr, (Care

et la chaîne qui lie ainsi, positivement et négativement, x et y, démontre

la symétrie de M et M’ par rapport au point O. Donc: 1° l'origine O est tout à la fois point d'inflexion et centre de symétrie ; 2° la courbe est située de

chaque côté de la tangente T'OT et toute droite M'OM est partagée au point O en deux parties égales.

Supposons maintenant le terme constant différent de O, qg Æ 0. 1 3:

faisant x — 0, l’on a y — g, c'est-à-dire que la courbe coupe Oy en un point de coordonnées (o, g)et ce point d’ordonnée g est le centre de la courb y = a + px + q, car si on attribue précisément à y la valeur g les coordonnées au point d'intersection avec Oy sont (x, y) = (0, o), comme dans l'hypothèse précédente.