M'EX
Fi1G. 2.
D'où les conclusions applicables à y = &° + px + q:
4° Dans un plan, divisé en quatre quadrants par les axes de coordonnées odinaires, Ox, Oy, toute courbe y = x% + px + q part toujours de Pinfini négatif dans le troisième quadrant pour aboutir à l'infini positif dans le premier quadrant, coupant l’axe O7 en un seul point, d'ordonnée 4, qui est son centre, et ayant, avec l’axe Ox, un, deux ou trois points d’intersection ou de contact ;
2 Le point d'ordonnée g est en même temps le centre et le point d’inflexion de la courbe ;
3° La courbe passe du négatif au positif en coupant l'axe Ox au moins une fois, de sorte que, dans le cas particulier y = o ou &* + px + q—=o, il y a toujours au moins une racine réelle.
L'étude des variations du trinôme cubique y = x° + px -t g (comme de toute fonction) trouve d'autre part des renseignements précieux, dans les
- indications fournies par la dérivée. Or cette dérivée, qui est y —3a? + p,
n’a évidemment de racines réelles que si p < 0. Donc le signe de p permet
= “a son Ar de ete aux cbordenn ee 0 (o, 2 si Cette e courbe jours croissante ne peut cape Ox qu’une . fois, d'où on “5 équation a + 5x + 3 — o n’a qu'une seule racine réelle. Deuxième EXEMPLE: y — 4% — 62 + 1. = Le coefficient-de æ él
4 rs dérivée S annuler. En ci . = SA re he = 3 1e
ee oo d æ varie en dehors de cet rte Le à . “D où le tableau :
4e ellacourbe:
Conclusions. — Il ne paraît pas nécessaire de multiplier les exemples pour se rendre compte que la fonction y — x° + px + q se traduira graphiquement par une courbe de type variable selon le signe des coefficients p el q.
En effet, un premier type de courbe représente une fonction constamment croissante ; p est positif et la courbe n’a qu'un point d’intersection avec Ox, de sorte que pour le cas particulier y — o (c'est-à-dire &? + px + g = 0) il n’y a qu'une racine réelle {positive si g < 0, négative si DRD-O
Un deuxième type représente une fonction avec Mx et Mn, tous deux positifs ou tous deux négatifs (selon g = o ou g < o) et pour y — 0 (ou x + px + g —0) il n'y a qu'une racine réelle (positive si q < 0, négative si g > 0).
Un troisième type représente une fonction avec Mx > o et Mn — 0 ou
. Mx—oet Mn < o(selon g > o ou g < 0); il y a alors un point d'intersection et un point de tangence et, pour y — 0, deux racines (l’une simple et l’autre double confondue).
Un quatrième et dernier type représente une fonction avec Mx > o et Mn < o d'où trois points d’intersection de Ox et, pour le cas y = 0, trois racines réelles et distinctes dont l’une négative et les deux autres posilives si g > o,ou bien dont l'une positive et lés deux autres négatives SE Qe 0,
#4 Il suffit, d’ailleurs, d'un rapide coup d'œil sur le tableau synoptique cijoint pour fixer les idées mieux que de longues explications, et, pour entrevoir l'utilité de l'étude du trinôme cubique préalablement à l’étude de - : l'équation normale à + pæ + q = 0.
, Dans le premier type, la convexité et la concavité de la courbe sont disposées de telle sorte qu'il n'y à ni M% n1 Mn. Au contraire, dans les {rois autres types, ces convexilé et concavité s'accusent assez pour qu’en supposant un point courant sur la courbe, de l'infini négatif vers l'infini positif, ce point passe par un maximum et par un minimum (toujours par Mx avant Mn et jamais par l'un sans passer par l’autre).
Enfin, si nous examinons, tout particulièrement, les courbes du quatrième : type, nous voyons que toujours le maximum est positif et le minimum négatif, et, c’est en considération de celte propriété remarquable pour Mx et Mn d'être alors de signes contraires, qu'il nous est possible
d'établir la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation normale æ3 + px + q = 0 ait trois racines réelles et distinctes.
Cette condition est :
kp$ + 27q? < 0.
af |
ns En effet, pour qu’il y ait trois racines, 1l faut que la courbe y = x3+ px + Qq coupe l’axe Ox en trois points distincts, il faut autrement dit Mæ > o RE et Mn < o, c'est-à-dire Mx X Mn < 0. | RS: | 3 Pré A F Ru :
hr
-Or les ordonnées de Mx et Mn correspondent à des abscisses dont les
- valeurs sont données par les racines de la dérivée y! — 32? + p, et, si
nous appelons « et 8 ces racines, 34? + p = (x — à) (æ — $), de sorte que,
pour calculer Mx et Mn, il suffit, dans ÿ (æ) = àx3 + pæ + 4, de donner successivement à æ les valeurs « et 8 :
a) = à + pa + Q — Mr, B)= $° + pf + q = Mn.
En réalité « et $ correspondent aux racines + V —À de la dérivée ;
mais, pour éviter l'introduction dans les calculs de ces deux radicaux
| fe 13 | ne à et — = 2 effectuons la division Le c’est-à-dire es Or ; Ss « 2px . : MHpr+g sr, +) CARE : 32? + p 3 3T? + p
” 9 qu on peut écrire à + px + Q = (3x? + p) + es + 1) Dividende — diviseur x quotient + reste.
ESA Et maintenant, si nous donnons à x la valeur « puis la valeur B, le divi- seur s'annule dans les deux cas puisque x et B sont les racines de ce divi-
12 Vs RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS (OUBIQUES
‘seur, (donc : | ER 3 DA Dpa MER us f(x) ou ai + pa gg —0X; É Le ap SE Ha
f{B) ou nt, Fe
Mx X Mn ou f(a).f(8) AE + 4) ee +4)
AMEN == Mx n 9
p'as + pq (a F8) 9% : A
mais, dans l'équation 3%? + p — 0 ou (4 — a) (x —g)— 0, en tenant compte
des relations entre coefficients et racines, on peut écrire : HR ee D'une part « + 8 — 0, puisque dans 34? + p — o le terme en æn AE +.
pas et par suite la somme des racines est nulle. ee
D'autre part af =. + - es
Remplaçons donc, dans l'égalité (1}, x + B et 48 par leurs valeurs, il à et
vient : LEE
EE NES je lee ie
Mr Mn — o7 | HET 27 . re
et enfin pour avoir Mx.Mn <o (c'est-à-dire un Mx et un Mn de signés
contraires, c'est-à-dire une équation cubique à trois racines réelles et — distinctes) 1l faut : | :
kp5 + 219? < 0. | 0 . -
__ Conclusions générales. — 1° Ap° + 279? < o ou Mx. Mn LT 6$ SEE . . quation cubique à trois racines réelles et distinctes ; rose 2° 4pÿ + 279? = o où Mx. Mn — 0. — Dans ce cas, ou bien Mx =o ou re.
bien Mn — 0. ee Si Mx — 0, la courbe est tangente à Ox au point y = Mxet l équation | en cubique a deux racines dont une racine double confondue — Mx (négative et la plus petite en valeur absolue). D'ailleurs on a forcément g < 0. æ Si Mr — 0, la courbe est tangente à Ox au point y — Mn et c'est Mn qui. sn est, pour l'équation, racine double (positive etla plus petileen valeur abso- +. lue) avec g > o. ee 3° 4p° + 279? > o ou Mx.Mn > 0. — Les Ponts Mx et Mn sont a .. a. positifs ou tous deux négaLits et alors il n'y a qu'une seule racine réelle, des deux autres racines sont imaginaires. ce Le PE La formule 4p* + 279? est donc le poteau indicateur placé au to . ra des équations cubiques pour montrer là voie convenable et appropriée à la ie. résolution de chaque cas particulier. te
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RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE x° + px + q — 0.
La résolution: graphique: de: l'équation cubique mérite mieux que d'être considérée comme un: simple, exercice de dessin linéaire. D'une part, elle, s’'ébaye, en effet, sur des notions d’algèbre et d'analyse ;, d'autre part, elle foumnit,, x défaut de solutions très précises, des indications vraiment intéressantes.
D'ailleurs, il y a, entre la résolution graphique de l'équation cubique et. celle de l'équation du deuxième degré, des analogies telles qu'il est bon de les signaler et les indiquer, au moins succinctement. Ainsi considérons @? + px + q = 0 où a = — (px + q).
On a, en posant, x°=— y :
19 y—x?, équation d’une parabole bien définie qu'on peut tracer un fois pour
toutes ; 20 y — — (px + g), équation d’une droite dont le tracé dépend des coefficients petg; de sorte qu'il faut attribuer à y = æ? la ou les mêmes valeurs qu'à y = — (px + q), autrement dit fixer le ou les points d’intersection de la
parabole et de la droite (si du moins il Py a intersection) et en déterminer e abscisses communes.
