TRES

= uelcos a a eco:

| forme de 3u LE = — 0, ou À dre

a De ni . — —u — = O Hole avoir trois : racines “réelles puisqu d'elle sat

condition LE 21° & 0 (en elfe up . né = =

TR rés à = Æ n }

APE de a

mec F

HE .__ de cos «a = b (valeur connue, terme constant) signifie effectivement possi-

Pa 3 b | bilité de résoudre l’équation uw — ot Cl (Résolution d’un cas parti-

culier selon une méthode dont on peut ensuite espérer la généralisation et l'application à &° + px + q — 0.)

En fait, la détermination des trois valeurs de cos “ c'est-à-dire des trois SRE Re md ob racines réelles w,, w,, u, dans l'équation u? — 37 0 repose Sur des

considérations dont l'exposé et la discussion constituent le problème initial tout entier.

Tous les arcs, correspondant à un cosinus donné 6, sont compris dans la formule 2K7 + , « étant l’un des arcs dont le cosinus est égal à à.

x « | 2K7r œ De même tous les arcs 3 sont compris dans la formule CRT ar

3 et si nous donnons à K (nombre entier) les valeurs successives 0, 1, 2, 3, …

< : . ; 2x nous obtenons les deux progressions arithmétiques, de raison — :

.* Dre a kr a 6x a 8x a tra? Je 3 3 3 T3 3 T3 Re De SE LES SRE à RER FAT Frrr Rs RES

Or, il apparaît que, dans l’une comme dans l’autre progression, chaque série de trois valeurs successives est équivalente à la série précédente, et, par suile, chaque fois que K augmente de trois unités, on retrouve un arc équivalent. De cette répétition d'arcs il s'ensuit que chaque progression ne renferme que trois équivalences distinctes :

Re 27 1 AT.

Rides (1) (2) (3) ee ons Aer ru NE Re (4) G) (6)

Et le problème semble admettre six solutions. Seulement, si ces six arcs sont différents, il n'en est pas de même de leurs cosinus car, en ajoutant deux à deux les arcs (1) et (4), les arcs (2) et (6), les arcs(3) et (3), on a une somme égale à 0 ou à 27 de sorte que les cosinus de chaque paire étant identiques, il n’y a que trois solutions distinctes :

1° cos = = 0ST ou COS — — Mis 3 3 2x + à 4 — à ARCOS ES ou CONTRE Ua, 3 3 4r + à 9x — «a JD OBS ou COS US

Done, si a est

FACE : 2 2 hu Bu — bo po

ue Us F Fe ne . 1° Calcul de res b Hablé a puis do Li de l'arc correspondant à ace loganthmes. de :,

| De cu arc, ere soit en ue soit en Fe on pe d

dans. la formule Ex + o. “ ne . dans? me 4 sole

seules solutions distinctes sont :

TM a Rips rer ere ou.

arcs “he une foie déterminés. sont ramenés au premier re re dite Bt T e S - sas Res PRRIOE à NM A GI es En nee Far D RE 454 crus Soit par one à ar ne en 4 COS. 3 COS 1 COSd = 0, FE LE

Au dAns laquelle on donne à cos a la valeur nuinérique. r= 0,2 |

ne . ASS ce € 7e Le TS DER RD AE He s EF AEA Se Faisant co a AL nous avons : PÉRES SORA ASS er RL d U ! do LE noue, ue el nous écrivons selon le schéma ci- -dessus : Fe Be

a nr È | Va | log cos a ou log: = og 0 0 4108 . 62 304

ne qui nous donne fe ane a?

par suite les trois arcs 3 sont : “

de EST a eo 3— cs : : |

Tee

het

er. x car

ee — 290Y. 8066 et 2907 . 8066 — 200Ÿ — 90 . 8066 30 / ou : Dr — «à — 109Y.1933 et 200Ÿ — 109Y. 1933 — 90 . 8066

Et les calculs logarithmiques donnent les résultats suivants :

log cos : — logu, = log cos 24Y.14 — 1, 9680 ; uy = + 0. 92896 {u, > o puisque cos24Ÿ.14 > 0); | log cos ns ou cos = à + — logu, — log cos 42Y. 5267 — T, 89490 ; Ux = — 0 , 78505 [ux L 0 comme cos(x — 157Ÿ.4733)]; log cos ee ou cos = 5 — log u3 — log cos 90Y. 8066 — 1. 15814; uy = — 0 , 14391 [uz <T 0 comme cos (x — 109 ,1933)}. Remarque. — Nous savons que la somme w, + w, + w, doit être nulle.

Cette annulation est une preuve certaine de l'exactitude des calculs. Il ne faut pas négliger cette vérification. Or, nous avons :

RÉSOLUTION TRIGONOMÉTRIQUE DE L’ÉQUATION Le DES Ve Tor

(identification avec 4 — : = : — o)

: 7 Des AE b :

Puisque l’équation particulière u? — Fr po où dont on- sait calculer les racines, est de même forme que l'équation générale &* Æ px + q — 0, la résolution de la première entraîne la résolution de la deuxième, si ces deux équations peuvent être identifiées.

Or, -précisément,* cette identification est rendue possible par l'emploi

d'une des plus puissantes méthodes connues en mathématique : le chang'e-

ment de variable. Si en effet nous posons &æ — Xz, l'équation a° + px + q=0o

devient 13% Æ plz + q = o ou 3° + à z + ee o et l'identification des deux équations

Le radical se KE (valeur de 3 jus un double ne

eussion doit se on senur sur les racines

10 Identification et directives :

et, Ssia : est l'un des arcs dont le cosinus. =. soul à 8, Jo:

» puis ‘ = Lbt.

NE Ÿ 2) Fe "

d'où caleul LS x degrés ou en rare mo

LS - RES res S de

dr ne. ee Re .

RÉSOLUTION TRIGONOMÉTRIQUE 29 … Calcul des valeurs absolues de x,, æ,, x, :

logæx, — log À + log cos a;, puis détermination de x; ; logæs — logÀ + logcosas, » » La ; log æ3 — logÀ + logcosaz, » » T3.

3° Signe des racines. — Lorsque les valeurs absolues des racines sont déterminées, on affecte chaque racine du signe qui lui convient, en observant la règle suivante (voir étude du trinôme cubique) :

Si q > 0, la plus grande racine sera négative, les 2 autres positives ; Si q < 0, la plus grande racine sera positive, les 2 autres négatives.

Remarques. — I. Condition de possibilite des calculs. +- Ces conditions

sont :

p<o et RÉ rh EU ou bp? 2 1.

169? . 169? 4 Or &? — —T., i] faut donc L 4 où 169? < À6, mais À = — ie el ke 5 27 . G4p° a jE: Re on doit avoir 16q? < — 57 OU 4p° + 279? < 0, condition qui, précisé-

ment, est celle prévue.

I. Coefficient indéterminée X. — Le coefficient À joue évidemment un rôle de premier plan, puisque c’est grâce à ce coefficient que s'effectuent lechangement de variable el l'identification. En réalité le véritable rôle joué par À consiste à soulever les barrières étroites entre lesquelles (de — 4 à +- 1) les cosinus sont forcément confinés. On constate en effet, que chacune des

trois racines de à + px + q = o est égale à un cosinus multiplié par à: À cos a,, À cos «4, À cos #,. Cosinus différents multipliés par le même coef-

ficient À.

. Pour représenter graphiquement} dans ses rapports avec le cercle trigonométrique, on prolonge le rayon OM jusqu'en À. Le segment OA fait par exemple avec Ox un angle «..

Premier exemple de résolution : 6 or

Pa Ÿ f < £

te relation An 4 21q° ns +: 2x es st'qu nti . rte no

et nous avons æ — JA Âu = — À cos (si « représente ut

. cosinus est égal à b): ne in

pus dot. Me.

AR puis SR NA

= À Fe ee 2 X cos 20° == 2 20,097

7 La, eco : 2 S cos 40 = 2 0,766 1.532, da = X 00843 = 2 X 00880! = 2 XC 0,17872 = 0,347:

Ces du. représentent, en valeur absolue, les faces c comme le terme constant — 1 est négatif, Ja plus grande

tive et les deux autres négalives, de sorte que, ( en rs el

racines sont :

— ° SAR ne d ,879,

Fe Feist

log — Le pcs = à (logés : colog 2 = 0; 58365,

logb — logcose — 1 52 +5 = log 3 äs = à colog ii. Se RE Codeide À ve x — 246,68, : Læ / à à 3 — À, rs 86,227, ; ; aie, 56 Jas == 2006 — 141,56 — 586,44 — 12551033 ax — 2006 — 1256,1033 — 746,8967, Lee À COS 4 è CT Jlogæ, = logÀ + log cos «, : 2 —0,57953, TENTE 2e é ee ÀCOSa , et. logæ, — log À + logcosa, — 0,366665, Jm1=12%6), 3 A cos 3 et log; = log À + logcos 23) RTE dE gr < CLR d = 0,16774, ; É 4 qu > AU LES s 1 T3 Le

O0 Tone ass + 0 nn L ÉQUATION À À UNE RACINE RÉEL LT DEUX RACINES IMAGINAIRES

=. possible ne Értcenmeol) d'utiliser ae . mét

dr 0 |

| u3 — He o dont l'entrée” en jeu est subordonnée à L2 + 91q | D’ sie. en prévision des deux racines imaginaires qui, dans

- sent, accompagnent la racine réelle, rappelons brièvement les pr ; sr remarquables des racines CHRTR ESS de à unité, et FÉSOIMOEL | nÔ

eu | —0. : | | | NÉE FAR

. Une première solution évidente de a — 1 — est la ravie æ

Donc on peut écrire: 7 =. A ee a - as - os

de sorte que 1 trois racines de . — ne. = 0 » sont :

D, 1 a A ee ee F 1 9 1 Es

SR ce . -

: ee. SM SRE RE re

REMARQUES. — 1° Algébriquement, ï ya lrois. expré . cube = — 1 : une réelle et deux imaginaires.

re Chacune des racines imaginaires est le carré de l'autre. $ à nous appelons x et B lesdites racines in vérifiant

4 > æ&+æ+1=o, on à 48 = j = 1 el comme a? . + on a 2f

| B— 0%? ; de sorte que, x étant l’une des racines imaginaires de 1, les racines sont :

x : Ë : ‘ Wa racines imaginaires, ue

ai racine réelle.

3° Un nombre quelconque N a trois racines cubiques algébriques, car si nous représentons par « l’une des racines imaginaires de l'Unité, les trois racines de N s’obliennent en multipliant sa racine cubique arithmétique successivement par «, &?, a?.

Ainsi les racines cubiques de — 8 sont

ou Ti 4192. VA, AE PARIS F. 2.

4 Quand on élève au cube les deux membres d'une équation, on obtient une équation plus générale que la proposée : ainsi A% — B* contient les racines des trois équations À — B, À — Bx, À — Be? (si « est une des racines imaginaires de 1).

Il nous faut insister tout particulièrement sur l’im portance de cette dernière remarque, parce que le principe qu'elle met en lumière nous est une indication pour rechercher et établir une équation trigonométrique appropriée au cas 4p° + 27q? > o (présentement à l'étude).

S1, en effet, nous considérons les trois expressions :

uy —=À( tga + cotga), Us — (a tga + 6 cotga), U3 = À(B tga + « cotga).

(« et B étant les deux racines imaginaires de l'unité), nous pouvons cons-

tater qu'en élevant au cube l’une ou l'autre de ces expressions, on obtient

le même résultat :

u3 — Au — }3(tg3 a + cotg a) — 0.

Constatons aussi que Le choix de la somme (tga + cotga),

a pour but de faciliter les réductions, les transformations logarithmiques et l'introduction des racines cubiques de lunité). . Si, par exemple, nous élevons au cube l'expression w,, nous avons :

3, = Mftgsa + cotgÿ a + 3 tga cotga(tga + cotga,, or U,

tea Cotad 1 et tga + cotga = Ts |

ae er a(iga + lg) =.