Pour nièsdrei* la convergence de l’erreur, posons
Nons avons trouvé
, fr fk a )
Remplaçons dans cette expression a par b — i, nous aurons
ou , en développant f(b — i) jusqu'au troisième terme
a' = b — i ■ on a d’ailleurs
m -if{b)+-r{a. y.b)
DES EQI ATIO&S ’TWA'NSCENDANTES. 31
On voit .donc que la méthode revient à remplacer les limites 0«, 06 par les limites 0 a', Ob'.
24. fit la première valeur OB à laquelle le calcul s’applique correspond au point B , la tangente menée par le point N peut rencontrer l’axe en urt point fort éloigné du point a. Dans ce cas, la règle de Newton peut ne plus répondre a la question. . , . .
On voit aussi que si l’on partait du point a, la tangente menée en m pourrait rencontrer l’axe en un point plus éloigné de a que ne l’était le point b. .• /' .
2t>. La courbe n’est pas toujours disposée comme nous l’avons supposée. Il faut, en général, distinguer quatre cas que représentent les figures ci-jointes.
ni
Le premier cas est celui que nous avons considéré. L’ale est ascendant et concave vers le haut. La première tangente a été menée par le point n. ’ jV - < .
Dans le second cas, l’Urc est descendant et concave vers le haut. La première tangente -passe par le point m.
Dans le troisième cas, Tare est ascendant et convexe, et la première tangente passe par le point m.
Dans le quatrième cas , Tare est descendant et convexe , et la première tangente passe par le point n.
Ces quatre cas correspondent aux combinaisons suivantes pour les trois derniers signes des suites [a] et [6] .
20. Four distinguer celle des deux abscisses qui représente la limite que l’on doit choisir pour le calcul d’approximation, il sullit de remarquer que de l'extrémité de cette abscisse, on voit la convexité de mn. Cette limite peut être appelée extérieure , parce que le point qui la termine est' hors de l’espace que renferme la court e. L’autre limite est intérieure.
Il est facile de voir que la limite extérieure est celle qui denne le même signe à fÇc) et f\x). .
27. 11 serait long de calculer les deux limites a' et b' mais nous allons voir qu’il suffit de calculer l une d’eHes , par exemple, celle de Newton, et que l’on peut en déduire une seconde limite de la racine.
Four cela, nous supposerons que les Crois équations
n’aieiit aucune racine comprise entre les limites « et 6 qui, par hypothèse , comprennent une seule racine de l’équation proposée , en sorte que la série des indices soit ainsi terminée :
soit p la limite extérieure et a la limite intérieure, p’ et a' les nouvelles limites données par les formules
p'=p iM
En posant P — a = i
nous avons trouve la relation :
Or, nous avons supposé que l’équation
n’a pas de racine entre a et p. Donc f"(x) est une fonction constamment croissante ou décroissante dans cet intervalle, il en est de même de f(x). Si donc l’on désigne par f"{ B) la plus grande des deux quantités f"[*), /"'(p), et par f(a) la plus petite des deux quantités /*(«), f[ P) abstraction faite du signe , le quotient
Si
sera nécessairement plus grand , en valeur absolue , que
