AP

28. Pour déterminer avec certitude jusqu’à quel chiffre du quotient on doit continuer la division de f( p) par f'($), on fera usage de la règle suivante :

On déterminera l’unité décimale immédiatement supé-

rieure à la valeur absolue du quotient ' . . Soit — r celte

unité décimale, l’exposant k pouvant être positif, négatif

ou nul. Soit — l’unité décimale qui est égale à la différence * des deux premières limites a et p. 11 faudra , dans la division de f($) par /"'(S) , s’arrêter au chiffre de l’ordre décimal 2n -f- k, et augmenter ce chiffre d’une unité.

En effet , nous avons déduit des premières limites a et p , dont la différence est ? , d’autres limite^ p', dont la différence est moindre que la valeur absolue de

p CE

Or, nous avons

et la valeur absolue de est moindre que */ ( a )

JL

Donc la différence des limites *' et p' est moindre que

tO ,B+ *

D’un autre côté, la limite désignée par p, et que l’on emploie pour former la valeur plus approchée P', en ajoutant

à p le quotient — est toujours la limite extérieure. Si

nous supposons d’abord, pour fixer les idées, que cette limite p soit inférieure à la racine, il est évident que l'on s’éloignerait de la valeur de la racine en ajoutant à p, au lieu

' — une valeur

de la valeur exacte de la sous-tangente

un peu trop faible, et que l’on s’approchera, au contraire, en prenant cette même sous-tangente un peu trop forte. D’ailleurs, en prenant la valeur de cette sous-tangente à moins d’une (mité près de l’ordre décimal 2n + k par excès, on ajoute à la valeur exacte de p’ une quantité qui ne peut

surpasser - ~ ^ et qui , par conséquent , ne peut surpasser

la différence des limites a’, p’. On remplace donc p' par une autre valeur approchée P" qui différera , à plus forte raison , de la racine d’une quantité moindre qu’une unité décimale de l’ordre 2n + k.

On arriverait facilement au mèmè résultat , Si la limite p était supérieure à la racine.