A. LA

PAR !W. gTBBR.

1. Pour trouver les racines réelles d’une équation transcendante, de même que celles d’une équation algébrique, il faut chercher d’abord à séparer ces racines, puis resserrer de plus en plus les limites entre lesquelles chacune d’elles est contenue. Mais une fonction algébrique est toujours continue, et, par conséquent, ne peut passer du positif au négatif ou réciproquement sans passer d’abord par zéro, tandis qu’une fonction transcendante peut être discontinue, c’est-à-dire qu’il peut arriver que, pour certaines valeurs d’x, un accroissement infiniment petit de la variable produise un accroissement fini ou infiniment grand dans la fonction. Dans ce cas, on ne considère que les intervalles dans lesquels la fonction reste continue , et l’on peut alors appliquer aux équations transcendantes le principe suivant :

Étant donné l’équation,

Si l’on substitue à x lesvaleurs x, et x,, et que f(xj) et f(x a ) aient des signes contraires ,il y a une ou plusieurs racines de cette équation entre les limites x, et x,.

S ' il n’y a aucune racine réelle de V équation entre ces limites, f(x,) et f(x,) ont le même signe.

La démonstration de ce principe est conflue : elle résulte immédiatement de la définition de la continuité.

2. La proposition suivante est tout aussi connue, et nous en ferons plus tard un fréquent usage.

Lorsqu’une fonction f[x) et ses dérivées f(x), f'(x) , f”(x) .... sont continues entre x et x -j- h, on a

nx + h)=f(x) + hf'(x + 9k)

f[x h) = f(x) + hf(x) + ^ f"(x + e,A) ,

f[ X + h) = f[x) + hf'[x ) + ^ r(x ) + ^ nx + \h)

etc. , etc. ,

9,6,, 6, désignant des quantités moindres que l’unité.

Celte proposition est encore vraie dans le cas où f[x) est une fonction continue imaginaire.

5. Ces préliminaires posés , je vais d’abord montrer comment on peut séparer les racines réelles des équations transcendantes. Bien que je doive supposer connus les travaux de Fonder sur la théorie des équations algébriques, je vais d’abord indiquer , pour plus de clarté , la méthode de séparation. Soit une équation algébrique :

f[x) — x n + A,*— 1 + A^“-* + .'.... + A„ = 0 formons les dérivées successives

nx), r(x), rw nx)

Cette dernière dérivée *era une constante. Substituons à x

un nombre quelconque a dans les expressions

Écrivons les signes des résultats , dans leur ordre , sur une ligné horizontale , et désignons par [a] cette suite de signes. La suite [ — co] ne renfermera que des variations, la suite [oo] ne renfermera que des permanences. La suite perd ses variations lorsque l’on passe de — m à + 00 » sans jamais retrouver une variation perdue, ou sans jamais en acquérir de nouvelles. En effet, lorsque l’on substitue un nombre a qui annule f(x), la série perd une variation qui ne peut plus revenir. Mais la suite peut également perdre des variations , quand une ou plusieurs dérivées deviennent nulles sans que f[x) le soit. Dans ce cas, le nombre des variations perdues est toujours pair, et chaque couple de variations perdues correspond à deux racines imaginaires. On a donc un moyen de distinguer si la perte des variations correspond à des racines réelles ou à des racines imaginaires. Ainsi , a et p étant deux nombres réels, et p plus grand que a, si l'on trouve que la suite [a] renferme n variations de plus que [pl , on en conclura qu’il y a n racines entre a et p , et il ne restera plus qu’à chercher s’il y a effectivement des racines réelles entre ces limites, et combien il y en a, ou si la perte des variations provient de racines imaginaires.

4. Ce qui caractérise une fonction entièrement algébrique, c’est que parmi ses dérivées successives il s’en trouve toujours une de valeur constante. Grâce à cette propriété, il est toujours possible de déterminer le nombre des variations dans les deux suites [a] et [S], et d’en déduire des racines comprises entre a ctp. Dans les fonctions transcendantes, au contraire, la série des dérivées n’offre jamais un terme con-

DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. il

stant , et, par conséquent, on ne peut déterminer immédiatement combien il y a de racines entre deux limites données, même dans le cas où la fonction transcendante, qui forme le premier membre de l’équation , est continue entre ces limites. Cependant on peut, dans ce cas, employer un procédé analogue au précédent pour découvrir avec certitude les racines réelles comprises entre — co et +oo, en partageant cet intervalle en intervalles plus petits, satisfaisant à une condition que nous allons énoncer. On peut, en effet, trouver pour toute fonction transcendante f(x), une dérivée /'“(x) qui ne change pas de signe entre a et p ; cette dérivée joue , entre ces limites, le même rôle que la dérivée constante dans les équations algébriques; elle sert à déterminer combien l’équation

transcendante f(x) = 0

a de racines entre a et p.

Il est facile de voir que l’on peut toujours trouver une telle dérivée, car l’équation donnée est supposée déterminée. Je veux dire que, pour chaque valeur y d’x, on peut déterminer la valeur de f (-() , soit exactement, soit avec une approximation aussi grande que l’on veut, comme dans le cas où f(x) est une série convergente. Si f{x) était une fonction indéterminée, nous n’aurions pas à résoudre l’équation

Les dérivées successives de f(x ) doivent donc être nécessairement des fonctions déterminées. II sera facile de voir si l’une d’elle est positive ou négative pour une valeur donnée x — a, et si on la suppose continue dans l’intervalle que l’on considère , on pourra toujours déterminer un accroissement de la variable x, tel que cette dérivée f m [x\ ne change pas de signe depuis x — <x jusqu’à- x = * -f- 8. On peut

it

ensuite déterminer, de la même manière que pour les équations algébriques , combien l’équation a de racines dans l’in- . lervalle. Il n’y a donc qu’une modification à introduire dans la formation des suites, On les forme ordinairement en écrivant toutes les dérivées en commençant par la dernière, puis en substituant «. On trouve ainsi une série de signes que nous avons appelée la suite [a].

Mais, dans les équations transcendantes, on cherche d’abord une dérivée qui conserve toujours le même signe entre les limites <* et p (nous supposons la valeur relative de p supérieure à celle de a). On écrit sur une ligne horizontale cette dérivée , puis la dérivée d’ordre immédiatement inférieure , et ainsi de suite jusqu’à f[x), et l’on substitue dans toutes ces fonctions une valeur a comprise entre a et (3.

Nous désignerons encore par [a] la série de signes qui en résulte. Nous appellerons aussi , pour abréger, limites déterminantes, les deux limites entre lesquelles une dérivée donnée ne change pas de signe, et nous donnerons le nom de détei'minante à cette dérivée elle-même. / .

S'il n’y a entre a et a aucun nombre qui annule la fonction ou l’une des dérivées que l’on considère , il est évident que la suite [a] et la suite [<*j sont identiques ; car nous supposons que la fonction et ces dérivées sont continues entre les limites déterminantes.

5. Considérons le cas ou a annule f(x), et n’annule aucune des autres fonctions. Substituons dans toutes les fonctions de la série les trois valeurs

Les trois suites correspondantes ne diffèrent que par le

dernier signe. En effet A est arbitraire, et par hypothèse, a n’annule que f(x). On peut donc prendre A assez petit pour qu’aucune des autres fonctions ne change de signe entre les limites a — A et a -}- A. Mais f[a -f- A) sera positif ou négatif, suivant que f'(a) sera positif ou négatif et l’inverse aura lieu pour f(a — A).

Donc , si f'[a) est positif , on aura

[«-Al -

• • Hh '='■

Si f\a) est négatif, on aura

Dans les deux cas, la suite [a -f- A] a une variation de moins que la suite [a — A] ,.a étant racine de l’équation

(i. Si, au contraire, le nombre a, compris entre les

limites déterminantes , réduit à zéro une des dérivées et une seule, par exemple, f"{x), les trois suites [« — A], [a], [a+A], auront les mêmes signes jusqu’à f*(x) ; il suffit donc d’examiner les trois fonctions

Si f*" (a) reste positif, f“{a — A) sera négatif et f*[a — : A) positif. L’inverse aura lieu si est négatif. D’un autre

cêté, f"-‘(a) peut être positif oit négatif. De là' les quatre

combinaisons suivantes : •

Nous n’avons écrit que les signes des dérivées /^ +, (x) ,

Dâns les deux premiers cas, où /‘"•“(a) et f' ‘(a) sont de môme signe , la suite [a + A] a deux variations de moins que la suite [a — h] . Dans les deux autres cas , ces deux suites ont le même nombre de variations.

7. Il reste à examiner le cas oit le nombre a annule plusieurs fonctions consécutives de, la série. Fourier l’a exposé en détail pour les équations algébriques. Je me contenterai , à cause de l’analogie , d'énoncer le résultat auquel on arriverait pour les équations transcendantes.

Supposons que a annule les i fonctions

et que i soit pair. La suite [a -J- h] renferme i variations de moins que fa — h).

Dans le cas de i impair , la suite [a -f- A] a i + 1 ou i — i

( [fl + A] = L« — A} =

variations de moins que [a — h], suivant que f" w (a — h) et f" '(a — h) sont de même signe ou de signes contraires.

Enfin, si a fait évanouir plusieurs groupes de fonctions, soit i fonctions à un endroit, puis i' « un autre, etc., il faut appliquer les règles précédentes à chaque groupe, et l’on trouve ainsi le total des variations perdues.

J). Ce qui précède nous donne le moyen de trouver le nombre des racines réelles de l’équation

entre les limites déterminantes <* et fl.

En effet , s’il n’y a entre a et p aucun nombre qui réduit à zéro une ou plusieurs fonctions de la série, les suites [a] et [P] sont identiques. Dans le cas contraire, la suite [p| a moins de variations que la suite [«], et si l’on suppose que x aille en croissant, le nombre des variations no peut que diminuer. Les variations perdues ne peuvent jamais reparaître, ni de nouvelles variations se former.

S’il y a n racines réelles entre a et p, la suite [P] doit avoir au moins « variations de moins que la suite [a]; car si l’on désigne les racines dans leur ordre de grandeur par

la suite [«,-}- A] aura au moins une variation de moins que la suite [a]. De même la suite [a, -f A] en aura au moins une de moins que [a, -f- h) et ainsi de suite.

La réciproque n’est pas vraie : de ce que la suite [P] renferme n variations de moins que [a] , on ne peut en conclure qu’il y a n racines réelles entre o et p. En effet , la perte des variations peut aussi provenir de ce que l’une ou plusieurs

des dérivées de f(x) sont réduites à zéro par une valeur comprise entre a et p , et qui n’annule pas f(x).

Toutefois, si n est impair, on peut être certain qu’il y a au moins une racine réelle entre a et p ; car si les dérivées s’annulaiênt seules, la perte des variations serait un nombre pair ou serait nulle.

9. La perte des variations correspond-elle à des valeurs de x qui annulent f{x), ou bien â des valeurs qui annulent une ou plusieurs dérivées? Fourier a donné une régie pour reconnaître lequel des deux cas a lieu lorsque l’équation est algébrique. Mais sa démonstration repose sur des considérations géométriques. Je vais en donner une démonstration analytique qui sera applicable aux équations transcendantes, aussi bien qu’aux équations algébriques.

Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux variations de perdues, et que le seul signe qui change fasse partie des deux derniers signes de la suite* il ne peut se présenter que les deux combinaisons suivantes :

Dans les deux cas l’équation

n’a pas de racine entre a et p ; puisque , par hypothèse , si

l’on fait abstraction des deux derniers signes, la suite [a] n’a pas plus de variations que la suite [p]. On peut donc prendre f"{x ) pour fonction déterminante. D’un autre côté, l’équation

a une racine entre « et p/

Quant à l’équation

elle peut n'avoir aucune racine entre a. et p , ou en avoir deux (nous sous-entendons que cette équation n’a pas de racines égales*entre a et fl).

Considérons d’abord la première combinaison. Soit a la racine de l’équation

comprise entre a et p.

La suite [a] se terminerait par ,

si l’équation f[x) =0

avait deux racines réelles entre a et P; car si la suite [a] se terminait par

il est évident qu’il n’y aurait pas de racines. On aurait, en effet ,

les deux variations se perdraient donc entre a — A et a -f- A , valeurs qui, par hypothèse, ne comprennent aucune racine de l’équation

Nous aurons donc nécessairement

Donc il y a une racine réelle entre a et a -f- h , et une autre entre a -f h et p. Soit x, la plus petite racine , et posons

soit x, la plus grande racine , et posons x, = p-V . On en tire (paragr. 2)

ou

6 étant moindre que l’unité.

D’où l’on tire

On trouvera de la même manière

, - a-, -j riH-

x «-p np-w)

Comme f'[x) est continue entre a et P , la valeur de cette fonction est négative pour x variant de a à a, et la valeur absolue de f'(x) diminue de plus en plus. Par la même raison , cette fonction reste positive , et va en augmentant lorsque x varie de a à p. On a donc , en valeur absolue.

d’où

f'i P-wxaM

DES EQUATIONS TRANSCENDANTE?.

et, à plus forte raison.

d’où

La seconde combinaison conduira au même résultat , si l’on observe que dans oe cas, la suite [a] doit se terminer par

a désignant la racine de l’équation f\x) — O

comprise entre a et p. • ,

Donc enfin, nous pouvons poser la règle suivapte : . Pour que V équation

ait deux racines réelles entre a. et p, dans le cas ou les trois derniers termes de la série perdent deux variations, les autres termes conservant leur signe, il faut que la somme des quotients

soit moindre que la différence des limites.

Si cette condition n’est pas remplie , on peut admettre avec certitude qu’il n’y a pas de racine entre a et p,

La condition que nous venons d’énoncer n’est pas suffisante, mais lorsqu’elle sera satisfaite , on rapprochera les limites. On substituera à x une valeur c comprise entre a et p. Si fie) n*a pas le même signe que f{ a) et f{ P), on en conclura

qu’il y a une racine entre a et c, et unç entre c et p, Mais si le contraire a lieu , soit 8 çelui des deux nombres * et p , qui est tel que /"'(S), soit de signe contraire à f'(c). Les deux racines réelles , si elles existent, se trouvent entre c et 8. On appliquera à ces limites le même procédé qu’à a et P) et en continuant ainsi, on finira par découvrir qu’il n’y a pas de racines réelles entre o et p, ou, dans le cas contraire, on arrivera à la séparation des racines.

Jusqu’ici la fonction déterminante était /"(*); lorsque c’est une dérivée d’ordre plus élevé , il peut y avoir plus de deux variations de perdues, et elles peuvent se perdre autre part que dans les deux derniers signes. Fourier a prouvé, pour les équations algébriques, que la même règle peut s’appliquer dans tous les cas ; il en est de même lorsque l’équation est transcendante. Je crois donc superflu d’entrer dans plus de détails à ce sujet.

10 . Nous n’avons pas encore parlé du choix des limites entre lesquelles on cherche des racines simples réelles. 11 faut prendre tous les intervalles compris entre — « et oo, tels que l’une des dérivées conserve le même signe pour toutes les valeurs à’x comprises dans l’un des ces intervalles. On trouve ensuite combien il y a de racines dans chacun d’eux. Les exemples suivants achèveront d’éclaircir la méthode. Je n’ajouterai qu’une remarque. Comme une fonction algébrique f(x) de degré m est le produit de m facteurs simples correspondants aux m quantités réelles ou imaginaires qui annulent la fonction, les variations perdues qui ne correspondent pas à des racines réelles de l’équation

correspondent à des racines imaginaires. La suite, en effet,

perd toujours va variations de — oo à +'•/'->, et chaque variation perdue correspond à une racine ; donc toute variation perdue qui ne correspond pas à une racine réelle indique une racine imaginaire. 11 n’en est pas de même, en général, dans les équations transcendantes. En effet , une fonction transcen- • dante <p(x) n’est pas toujours le produit de facteurs simples correspondant aux racines de l’équation

Il suit de là que, si entre deux limites déterminantes, il ÿa plus de variations perdues que de racines réelles, on ne peut en conclure que l’équation a des racines imaginaires.

11. Les racines une. fois séparées, le calcul d’approximation se poursuit comme pour une équation algébrique. On peut appliquer la méthode de Newton, perfectionnée par Fourier, en faisant usage de- la formule de Taylor, et procédant comme le fait Fourier. Je ne ferai que résumer brièvement les règles du calcul pour mieux faire comprendre les applications que l’on trouvera plus loin.

On cherche d’abord des limites assez rapprochées pour qu’elles comprennent une seule racine de l’équation

et aucune racine des équations

11 est toujours possible de satisfaire à ces conditions lorsque f'[x) et f"[x) n’ont pas de facteur commun avec f(x), sinon, il faudrait d’abord se débarrasser de ce facteur. Ces limites ~ o,. p une fois trouvées, il y en aura un qui rendra f\x) de

même signe que f[x). Nous l'appellerons la limite extérieure. Si nous la désignons par S , les quantités

seront deux nouvelles valeurs plus approchées de la racine , la première par défaut et la seconde par excès. On opérera sur ces nouvelles limites comme sur a et p , et ainsi de suite. On abrège le calcul de la manière suivante :

Supposons que Ton arrive à des limites a et p dont la

différence soit égale à — . On prendra celle des deux quantités /■"(»), /"'(p) qui a la plus grande valeur absolue, on la divisera par celle des deux quantités %f ( «), 2/”(P) qui a la plus petite valeur absolue.

Soit — l’unité décimale immédiatement supérieure à ce

quotient. Si l’on a

il faudra resserrer les limites jusqu’à ce que l’on trouve n ~ 1 — k

Soit p la limite extérieure. On développera le quotient

•jusqu’à la (2n -j- k) iime décimale inclusivement. On augmentera d’une unité le dernier chiffre, et l’on ajoutera ce quotient

à p, ou on le retranchera de- p suivant que f{ P) et /"(p) sont de signes contraires ou de même signe.

La nouvelle valeur p' ainsi obtenue peut être approchée par défaut ou par excès. Il faut la substituer dans f{x) pour connaître le sens de l’erreur, ; mais , dans tous les cas , cette \

erreur est moindre que — — , et , par conséquent , on trouvera une seconde limite de la racine en augmentant ou diminuant d’une unité la dernière décimale de p'.

En continuant ainsi, on trouvera successivement des valeurs exactes jusqu’à la décimale de rang 4 n -j- 3 k, 8n + 7A, etc.