III. Exemples
12 . Conformément au programme qui m’a été tracé, je vais éclaircir ce qui précède par la résolution de quelques équations transcendantes. Je ferai remarquer, seulement, qu’il sera presque toujours plus avantageux de prendre pour fonction déterminante la dérivée seconde, après avoir cherché les intervalles dans lesquels elle ne change pas de signe. Les dérivées d’ordre supérieur seraient ordinairement plus compliquées , et il serait plus difficile d’en étudier les variations. Toutefois , lorsque le premier membre de l’équation sera la somme de fonctions transcendantes et de fonctions algébriques de degré m , il vaudra mieux prendre les dérivées d’ordre (m -(- i ) .
Si l’on a , par exemple , l’équation
f[x ) = sinx -j- 5x s — 4x’ -f- 3x — 6=0
il faudra chercher la dérivée du 4* ordre , qui est égale à sin x , et la prendre pour fonction déterminante.
13. Sous le rapport de la difficulté, je distinguerai plusieurs classes d’équations transcendantes :
Les plus faciles à résoudre sont les équations dont tous les termes sont des produits de constantes par des puissances entières ou fractionnaires d’une seule et même fonction transcendante, ,
Telles sont les équations suivantes :
(1) Asin^ + Bsin^Æ-f Csin 7 #-|- . , . -j Msin ,i a: = 0
(2) Ae** '-f* Be^ 4 +Ce 7< -f . . . -f- Me 1 * =0
A, B, C, M, a, jî, y, (a, étant des constantes
réelles, entières ou fractionnaires. Pour les résoudre, il suffira de remplacer sin x , dans la première , ou e‘ dans la seconde, par une nouvelle indéterminée y, ce qui donnera
(3) A / -f B/ + C/ + ... + M/ = 0 On peut comprendre dans cette classe l’équation
( 4 ) An* -f Bé* -f- Ce 1 + . . . 4-Mm e = 0
A, B, ... M étant des constantes arbitraires, et a, b, c, ... m des quantités positives. Pour résoudre cette équation, il suffit de poser . , • . ....
à = e tt b ~ e 1 * c = e 1
et l’équation (4) sera ramenée à l'équation (2).
Si les exposants a, (3, y, . . . sont entiers et positifs, l’équation (3) est une équation algébrique ordinaire. S’il y en a qui soient négatifs ou fractionnaires , il est inutile de faire disparaître les radicaux et les dénominateurs. On résout immédiatement l’équation par la méthode de Foürier. Sturm a fait, à ce sujet, un mémoire qui peut-être a été publié; je
DES EQUATIONS tHÀNSCKNDANTES. SS
puis donc renvoyer le lecteur au* remarques de ce géomètre (*).
14. Je considérerai , en second lieü, les équations transcendantes dans lesquelles une dérivée du premier membre est algébrique. Exemple :
xLx — L100 = U.
équation traitée par Euler (**).
On trouve, en prenant les logarithmes dans le système népérien
f (x) = xLx — LtOO
Comme f'(x) est positive entre les limites x = O, x = oo , prenons cette dérivée pour fonction déterminante entre ces limites. Lorsque x croît , hx croît aussi ; donc il ne peut y avoir entre ces limites qu’une Beüle racine de l’équation
fl*) reposons x = 3 , puis x = 4. Nous aurons
(*) Bulletin des sciences, par Férussac, sect. i, tome H, 1829. (*') lnstit. cale, diff., tome II, $ 248.
,'ifi
La racine est donc entre 3 et 4.
Maintenant on a
(fo)'
Donc on a (paragr. 48)
Les limites sont donc assez rapprochées pour le calcul d’approximation. La limite extérieure est ici 4.
H faut donc prendre
Or, on a
Donc, il faut chercher le quotient jusqu’à la première décimale, ce qui donne
Donc, on trouve pour première valeur approchée 4 — 0,4 ou 3,6
En substituant 3,6 dans f(x), on obtient un résultat positif. Donc, la racine est comprise entre 3,5 et 3,6.
Nous aurons maintenant
et 3,6 est la limite extérieure.
On trouve
Nous avons donc pour seconde valeur approchée, à moins de 0,001 près
f{ 3,597) est négatif. La racine est donc entre 3,597 et 3,598.
3,598 est la limite extérieure. Il faut donc prendre le quotient
— ou — —
et le développer jusqu’à la 7* décimale, car on a
On trouve
La troisième valeur approchée est donc
à moins de 0,0000001 près. Cette valeur est approchée par défaut.
Euler trouve
lu. Considérons maintenant quelques équations transcendantes dont les premiers membres ont pour dérivées des fonctions transcendantes, mais dont les valeurs numériques se trouvent dans des tables, comme, par exemple, les fonctions trigonométriques.
Prenons d’abord l’équation suivante traitée par Euler ("f ' f[x) = x — cos x = 0.
11 est évident que cette équation n’a qu’une racine réelle.
On a '
f(x) = i -f- sin x „ s
Comme f'(x) est toujours positif entre les limites x = 0° et x — 90", on peut prendre, entre ces limites,- f"(x) comme fonction déterminante.
Mais f{x ) est pégatif pour x — 0 et positif pour x = 90°; d’où il suit que la racine est comprise entre ces valeurs.
Pour resserrer les limites, essayons
x = 0,7 x = 0,8 nous aurons - *
Donc De plus
Les limites sont donc assez rapprochées pour le calcul d’approximation.
La limite extérieure est 0,8, -et l’on a
O Introd. in anal, inf., L, 11, S 531.
DES ÉQUATIONS TKANSCENDANTES. 59
Il faut développer jusqu’à la secondé décimale' le quotient
La première valeur approchée est donc, à moins de 0,01
Pltb ’ 0,8 — 0,07 = 0,73,
et cette valeur est approchée par défaut.
En second lieu, nous aurons *
Donc la -seconde valeur approchée est, à moins de 0,0001, 0,74 — 0,0010 = 0,7390,
elle est approchée par défaut. .
En troisiètne lieu , nous aurons
Donc la troisième valeur approchée est, à moins de 0,00000001 près
ou . 0,73908312.
Euler trouve
