Soit à résoudre l’équation
x — tanga; = 0.
Équation que. l’on, rencontre dans la théorie des vibrations des corps élastiques et dans la théorie de la chaleur.
On peut mettre cette équation sous la forme
x cos a: — sin x
cosx
On peut démontrer que les racines de l’équation
cosx
ne satisfont pas à l’équation proposée (*).
Il suffit donc de résoudre l’équation
x cosx — sin x = 0.
Comme cette équation ne change pas lorsque l’on y change x en — x , il s’ensuit que les racines sont deux à deux égales
(*) tn effet l’équation
• cog * 0
n’a évidemment pas de racine réelle. Pour trouver les racines imaginaires, posons
on aura
cos x = cos y cos ( * v — 0 — sinysin {x^— l)
ou cosx = -(e* + e-*)eosy --(«* — «-*) y— I ski y
Peur que la valeur de cosx soit infinie, il faut que t le soit. On a alors cos x s= ^ e°° (cos y — V— 1 slo-ÿ)
D’un autre côté on a
sin x = i («* 4- e- *) sin y + i — e—*) i cos y
DES ÉQUATIONS TRANSCENbANTES. «1
et de signes contraires. Il suffit donc de chercher les racines positives.
On a
f\x) = x cos x — sin x
f'[x) = — x sin x
f'{x) = — (x cos x sin x)
La plus petite racine est x — 0.
Si nous désignons par u> une quantité infiniment petite , il est clair que f"{x) est toujours négatif entre les limites x = w et £ = 90°.
Or, on a
et pour x = os
sin x = i e® (sin y + y*— 1 cos y)
Donc pour toute racine de l’équation
eos x
on s sin x = œ
tangi = — — X sins = 0 X*
5 co s *
11 est facile de voir que la vraie valeur de tang x est alors différente de réro. En effet, on a, dans ce cas
- e® (sin y + — 1 cosv) . , — r
2 * v * siny + y— 1 cosy
- e® (cos y — sJ — 1 sin y) cos y — 1 Sin y
tangx =
ou tang* —V— 1
(Mémoires de l’Acad. des sc., tome X, paee 129.)
HKSOLl'TION
Donc , il n’y ;t pas do racine entre ces limites. De plus , il est évident qu’il n'y a pas de racine entre je = 90° et jc== 180”, car cos x est toujours négatif entre ces limites, et sin x toujours positif.
Entre les limites x — 180“ et x = 270°, f"(x) est toujours positif et peut servir de fonction déterminante. Or, on a
La première suite a une variation de. plus que. la seconde. Donc il y a une racine entre 180° et 270”. Cette racine est comprise entre 4,4 et 4,5. On a , en effet :
D’un autre côté, on a
d’où
Et comme on a
les limites sont assez rapprochées pour le calcul d'approximation. La limite extérieure est 4,5. Il faut donc développer ' jusqu’à la seconde décimale le quotient
Done la première valeur approchée est . 4,5 — 0,04 = 4,49 Elle est approchée par défaut.
DES ÉQUATIONS THANSCENDANTES.
4,80 est donc la limite extérieure, et si l’on calcule jusqu’à la 4 e décimale le quotient
On aura, pour seconde valeur approchée,
si l’on développe jusqu’à la 8 e décimale le quotient
on aura, pour troisième valeur approchée,
Cette valeur est égale à
Euler trouve (* (•*) )
mais il aurait pu trouver par sa méthode une valeur plus approchée , s’il avait pris un nombre suffisant de termes dans la série qu’il a employée. Il aurait trouvé
valeur qui diffère peu de notre résultat.
; Poisson trouve (*")
valeur inexacte dès la 4' décimale.
(*) Introd. tn anal. inf. L. II , § 539.
(•*) Mém. de l’Acad. des sc., tome VIII , page «0.
Poisson donne pour valeur de ta seconde racine 7 ,7-3747, tandis que l’on doit trouver T ,725. ..
lit
Notre méthode peut servir à calculer les autres racines. 11 est évident qu’il y en a une infinité, et que la n^*» est
comprise entre m et (n + ^ j *•
17. On rencontre, dans la théorie des vibrations d’une sphère élastique , l’équation suivante :
(4 — 3z’) sin z — 4z cos x = 0.
Proposons-nous de résoudre cette équation , qui est du même genre que la précédente.
Les racines sont égales , et de signes contraires , deux à deux ; il suffit donc de chercher les racines positives.
La plus petite racine est x = 0 ; cherchons la racine suivante. Nous avons :
f{x) — (4 — 3z’) sin z — 4z cos x f'[x) = — x (3z cos x + 2 sin z) f"(x ) = (3z* — 2) sin z — 8z cos z.
/■"(z) est toujours négatif entre z = 0 et z = - ; car on a
