MG) M

D’où l’on conclut, pour seconde valeur approchée 6,06 — 0,0014 = 0,0386

elle est approchée par défaut.

En troisième lieu , on a

D’où l’on tire pour troisième valeur approchée 6,0587 — 0,00002990 = 6,05867040 Poisson donne

L’équation a évidemment un nombre infini de racines réelles, et la n lèm * racine est comprise entre ^ * et v~. Nous

pourrions les calculer , de môme que la précédente , avec autant de décimales que l’on voudrait. Mais, lorsqu’il ne s’agit pas d’mie grande approximation , on peut appliquer le procédé d’Euler, indiqué dans le paragraphe précédent, et trouver par les séries inverses une formule qui donne les racines avec d’autant plus d’exactitude que n est plus grand.

18. Considérons en quatrième lieu des équations qui renferment, outre des fonctions trigonométriques, les fonctions e*-f e' 1 ete* — e~*. L’excellent traité de Gudermann, sur la théorie des fonctions exponentielles (’) , contient des tables pour le calcul de ces fonctions. Pour abréger, nous désigne-

rons comme Gudermann , - (e'-j-e -1 ) par Cos x et - (e r — re‘ x ). par Sin x.

Proposons-nous maintenant de résoudre l’équation

f[x) = (e* -f- <r*) cos x — 2 = 0 ou cos x Cos x — 1 = 0

équation que l’on rencontre dans la théorie des vibrations des verges élastiques.

11 est évident que les racines sont, deux à deux, égales fct de signes contraires, et qu’à chaque racine réelle a correspond une racine imaginaire a \j — 1 .

Nous avons

f[x) = Cos x cos X — t f'(x) = cos x Sin x — sin x Cos x f"[x ) = — 2 sin x Sin x

La plus petite racine est x = 0

(■) Crotte, Journal do math., tomes 0 et 7,

/■"(«) est toujours négative entre x = u> et x = Cette dé-

rivée peut donc servir de fonction déterminante entre ces limites.

Nous trouvons

Il n’y a donc pas de racine entre ces limites.

Il est évident qu’il n’y en a pas non plus entre ? et

car f[x) est toujours négatif entre ces limites.

3it

Entre — et 2^, f"(x) est toujours positif et peut servir de

fonction déterminante. On trouve

Donc H y a une racine entre ces limites. En rapprochant les limites, nous trouvons

im = +

On a

Donc les limites ne sont pas assez rapprochées. En les resser-

DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. Tl '

rant davantage, on trouve

On a

Donc

La limite extérieure est 4,74 , et l’on trouve, en développant le quotient jusqu’à la 4 e décimale

Donc la première valeur approchée est

elle est approchée par excès.

Si l’on développe jusqu’à la 8 e décimale le quotient

on en déduira, pour seconde valeur approchée 4,7301—0,00005901 = 4,73004099 Poisson trouve (’)

(*) Mémoire de T Acad. des sc., tome VUI , page *85.

Dans le Traité de mécanique, 2* édit., tome 11, page 389, on trouve

19 . Dans la môme théorie de mécanique, on rencontre l’équation

(e* -f e~ z ) cos x + 2 = 0

ou cosxCosx + 1 =0

Nous aurons

f(x) = cos x Cos a; -|- 1 f'(x) = cos x Sin x — sin x Cos x f"[x) = — 2 sin x Sin x

Entre x = 0 et x = ^, f(x ) est toujours positif. Entre

— - et x = - , f"{x) est toujours négatif ot peut servir do fonction déterminante. On a

Il y a donc une racine entre ces limites. En les resserrant, on trouve

On a

Donc on a

4,7*503, au lien de 4,73003. C'est évidemment une erreur, cor la racine

est égale à — + 0,01765.

d’ailleurs n = 1 . - . ,

Les limites sont assez rapprochées. On a

Donc la première valeur approchée est 1,9 — 0,03 = 1,87

elle est approchée par défaut.

En second lieu , on a

fl 1 , 88 ) 0,02033

Donc la seconde valeur approchée est

Elle est approchée par défaut.

En troisième lieu , on a

fl 1 , 8752 ) 0,00039722

Donc la troisième valeur approchée est

Poisson trouve (même Mémoire que dans l’exemple précédent) (’)

(') La valeur l ,87011 que Poisson donne dans son Traité de mécaniijn-, tome 11 , page 390, est évidemment inexacte. 11 doit donner 1,87511, car

cette' valeur est égale à j + î', en posant î.' = 0,30431.

20. Traitons maintenant une cinquième classe d’équations dans lesquelles le premier membre f[x) est une série convergente pour le calcul de laquelle il n’existe pas de tables. Prenons d’abord l’équation

Cette équation se rencontre dans la théorie de la propagation de la chaleur dans un cylindre et dans plusieurs autres questions de physique mathématique.

Cette équation (*) n’a pas do racine négative. Nous avons

Ces trois séries sont évidemment convergentes, et l’on peut calculer f{x), f’(x), f"{x) avec une approximation aussi grande que l’on voudra pour toute valeur réelle et finie d’x. En effet , lorsque l’on substitue à x une valeur quelconque réelle et finie , on arrive toujours à un terme à partir duquel les termes vont constamment en diminuant. Dans la série qui

correspond à f[x), par exemple, on passe du terme -, — —

au suivant, en multipliant le premier par — : — — . Donc lors-

que l’on a (n-f- 1)’ > x , les termes vont en diminuant, et,

(*) Poisson l’a traitée page 522 du Mémoire cité en dernier lieu.

de plus, ils convergent vers zéro. Si nous désignons par u n un terme quelconque , à partir duquel les termes décroissent constamment, et si nous appelons S la somme des termes jusqu’à u n inclusivement, on sait que la limite de la série est comprise entre S et S -j- u nn . Les premiers chiffres communs à ces deux sommes doivent donc appartenir à la limite f[x), et l’on peut calculer cette valeur avec autant de ehiffres que l’on veut. Il en est de même pour les deux autres séries.

Dans- la série f"[x), deux termes consécutifs peuvent être représentés en valeur absolue par

2 . . 3 s ...m’(m + l)(m-f 2)* 2*.3 , ...(i» + 1 ) s (ot+2)(t»+ 3) Pour que l’on ait

2 1 .3 . . ..m t (m+l)(w-|- 2) > 2*.3*. . . (m +i)*(*»+2) (m+3) il faut que l’on ait

ou x < (m + 1) (m -(- 3)

Si l’on pose

tn = 2

on aura (m -f- 1) (m -J- 3) = 15

Donc pour toute valeur <le x inférieure à 15, chaque terme

positif de la série f"[x) surpasse le suivant. D’ailleurs - — —

est positif pour toute valeur de x inférieure à 3. Donc f"[x) peut être prise pour fonction déterminante entre x = 0 et x = 3.

PÉSOLÜTIOX

On a

Donc il y a entre ces limites une racine de l’équation

En resserrant les limites, on trouve (’)

La limite extérieure est 1. On a

Donc k — 0

d’ailleurs n = 0

Donc il faut encore resserrer les limites. On trouve

Maintenant on a

H Les trois fonctions sont lices par la relation M + f'{x) = -xf"{x)

Il suffit donc de calculer directement les râleurs de deux des fonctions. On en déduit la valeur de la troisième.

Donc

On peut donc commencer le calcul d’approximation.

On trouve

Donc la première valéur approchée est

Elle est approchée par excès.

On trouve en second lieu

mû) ~ô? 5T

Donc la seconde valeur approchée est

1,44+0,0058 = 1,4458 Poisson trouve 1 ,4 157

Calculons maintenant la racine suivante. Nous avons