H RÉSOLUTION

Il est évident que la suite [ — 0 =.] renfermera m variations et que la suite [c«] n’en renfermera aucune.

2. Prouvons que le nombre m des variations qui existent dans la suite [ — <»] diminue continuellement à mesure que « augmente et que cette suite perd une variation toutes les fois que a devient égal à une racine réelle.

11 est évident qu’il ne pourra s’introduire de changement dans la suite des signes que lorsqu’une des fonctions passera par zéro.

Supposons d’abord que la seule fonction qui devient nulle soit la dernière X ou f[x), et substituons successivement les trois nombres a — h, a, a + A, A étant un nombre positif assez petit pour que aucune valeur comprise entre a — A et a -f A ne fasse évanouir une des dérivées de f ( x ).

La formule :

fla + A) = /»+*/> + «*)

devient , puisque l’on a f(a) = 0

f{a + t i ) = hf'(a + 8A)

et elle fait voir que f[a -f- h) a le même signe que f [a -f- 6A) et par conséquent le même signe que f (a). Elle fait voir aussi que f[a — h) a le même signe que — f [a).

D’après cela, les trois suites

[a -h], [al, [a + h]

seront terminées de l’une des deux manières suivantes : [a-A]= +-

ou bien

Dans les deux cas la suite perd une variation lorsque la valeur substituée atteint et dépasse infiniment peu une des racines réelles de l’équation proposée.

5. Supposons maintenant que le nombre substitué a rende nulle une des fonctions intermédiaires de la suite, sans rendre nulle la fonction f[x). Soit f"(x) la fonction qui s’évanouit.

On verra, comme précédemment, que f n {a + h) et f*[a — A) auront les mômes signes que /^ +, («) et — /’ n+l ( a ) > Or le signe de /‘* +, (a) peut être + ou — et il en est de même de /'"-'(a). De là les quatre combinaisons suivantes pour cette partie des suites [ a — A] , [n] , [a -f- h].

in

On voit que la suite perd à la fois deux variations ou n’en perd aucune.

4. Si une même valeur a rend nulles plusieurs fonctions consécutives, soit i le nombre des fonctions /""'(«), /■" ’(«). . . qui s’évanouissent.

Nous avons :

/*(a + A) =/*(«) + A /*♦*(« + 6A) ou f"[a + A) = h f n * l (a OA)

et, en général, nous aurons cette suite d’expressions :

f"[a -}- A) = A/‘ n+1 (a -j- OA)

etc.

et par conséquent

etc.

Çe qui nous conduit à la règle suivante :

En désignant par

/“"-‘(a), 0,0,0, etc. t

la partie de la suite [a] que donnent les fonctions

il faut, pour la suite [a-fA], écrire au-dessous de chaque zéro de la suite [«] le signe même de ; et pour former la suite [a — A] , il faut, au-dessus du premier zéro à gauche, écrire le signe contraire à celui de /^'(a); au-dessus du zéro suivant, écrire le signe de /*+'( a ), et continuer ainsi à alterner les signes au-dessus des autres zéros.

Il est évident que l’on introduit ainsi dans la suite [a — A] i variations qui deviennent autant de permanences dans la suite [a -f- AJ.

Si le nombre f est pair, le signe de la dernière fonction évanouissante est le même dans les suites [a — Al et [a-j-AJ. Il donne par conséquent, dans les deux suites, la même combinaison de signes avec la fonction extrême non évanouissante f"~''{x). Donc la suite a perdu dans ce cas * variations.

Si le nombre t est impair, le signe de la dernière fonction évanouissante f n ~ M (x) n’est plus le même dans les deux suites.

Si dans la suite [a — A], forme une variation avec

f"~‘[x) , cette variation répondra home permanence dans la suite [a -f- A]. Donc la suite perd ë -f 1 variations.

Si, au contraire, dans la suite [a — ’ A], f"~ i¥i [x) forme une permanence avec f n ~'(x) , cette permanence devient une variation dans la suite [a -f- A] , et le nombre des variations perdues est t — 1 .

On voit que le nombre des variations perdues par la suite [a — A] est toujours un nombre pair qui ne peut jamais être négatif.

Si les fonctions évanouissantes consécutives sont pfecées à