S " RÉSOLUTION

l’extrémité de la suite vers la droite, il résulte de ce qui précède que le nombre des variations perdues est égal au nombre des fonctions évanouissantes. On sait que, dans ce cas, la fonction X contient le facteur (j — n)", n désignant le nombre des fonctions extrêmes qui s’évanouissent. Donc la suite perd n variations lorsque a est une racine multiple dont le degré de multiplicité est n, et par conséquent la suite perd an moins autant de variations que l’équation proposée a de racines réelles égales ou inégales.

o. Nous avons donc démontré la proposition suivante :

1° Si a augmente par degrés insensibles depuis — oo jusqu’à -f- rsz , le nombre des variations ira toujours en diminuant depuis m jusqu’à 0.

2° La suite perd une variation toutes les fois que a devient égal à une des racines réelles de la proposée. Il disparaît ainsi autant de variations que l’équation a de racines réelles égales ou inégales.

3° Autant l’équation proposée a de couples de racines imaginaires, autant il arrive de fois que la suite perd deux variations qui disparaissent ensemble par suite de l’évanouissement d’une ou de plusieurs fonctions intermédiaires (*).

6. Cette proposition donne immédiatement un moyen de découvrir combien l’équation proposée peut avoir de racines réelles comprises entre deux limites données a et b.

En effet, supposons a moindre que b, et supposons que la suite [6] renferme 8 variations de moins que la suite [a] , 8 ne pourra pas être un nombre négatif.

(*) Les racines imaginaires manquent en de certains intervalles et non en d’autre*. Les valeurs indicatrices de racine» imaginaires peuvent être égales soit entre elles soit sux racines réelle».

Si l’on a o = 0, il est impossible que l’équation ait aucune racine réelle entre a et b.

Si 6=1 , l’équation a une racine réelle entre a et b.

Si 3 = 2, l’équation peut avoir deux racines réelles entre h et b; mais il peut arriver aussi qu’il n’y ail aucune racine réelle dans cet intervalle. Cela aurait lieu s’il existait un nombre p compris entre a et b qui fit disparaître à la fois deux variations sans rendre nulle la fonction f[x).

Dans tous les cas, l’équation ne peut avoir plus de 3 racines réelles entre a et b.

Si S est impair, il y a au moins une racine réelle entre a et b.

Si S est pair, il peut n’y avoir aucune racine réelle entre a et b.

tn général, si le nombre des racines réelles comprises entre a et b n’est pas égal à 8, il ne pourra en différer que d’un nombre pair a ; et , dans ce cas , l’équation a au moins a racines imaginaires.

7. Lorsque l’on substitue a dans la suite des fonctions f m {x ) , f m ~ l [x), etc., il peut arriver qu’un ou plusieurs de ces résultats soient nuis. Dans ce cas , nous considérons les suites [a — A] et [a -f A], et nous nous servons de la suite [a + A] , lorsque nous voulons comparer la limite à une limite plus grande b. Mais si nous voulons comparer la limite a à une limite b' moindre que a, nous remplaçons la suite [«] par la suite [a — h]. A l’aide de cette règle du double signe , les suites comparées ne contiendront plus de zéros.

Si la suite [a + A] renferme A variations de moins que la suite [a — A] et si a n’est pas racine, l’équation proposée aura a racines imaginaires, indépendamment des racines qui pourraient manquer en d’autres intervalles.

Exemple.

La suite [a-f-^J a huit variations de moins que la suite [a — /(]. L’équation proposée aurait donc pour cette seule cause huit racines imaginaires.

8. Nous allons maintenant chercher une règle pour découvrir si les racines indiquées entre les deux limites sont réelles ou imaginaires.

Supposons que les suites [a] et [6] soient ainsi terminées

Supposons en outre, que les deux suites aient le même nombre de variations lorsque l’on fait abstraction des deux derniers signes à droite. On voit qu’il y a deux variations de perdues ; et , par conséquent , il ne peut y avoir plus de deux racines entre a et b; il s’agit de connaître la nature des deux racines indiquées.

11 résulte de nos hypothèses :

1° Que l’équation

a une seule racine entre a et b et cette racine est réelle. On le voit en omettant le dernier signe de chaque suite.

2* Que l’équation

n’a aucune racine entre a et b. On le voit en omettant les deux derniers signes de chaque suite.

DES ÉÿUATIONS TRANSCENDANTES. IA

l’arc mjM qui correspond à l’intervalle de a h b, l’interprétation -, géométrique de nos hypothèses est que cet arc n’a aucun point d’inflexion et qu’il est concave dans toute son étendue vers le haut de la figure. En un certain point p de cet arc la tangente est parallèle à l’axe des abscisses et il n’existe qu’un seul point où cela ait lieu. Enfin les ordonnées extrêmes sont positives. On voit donc que cet arc est ~ celui que représente la figure 1 ou la figure 2. 11 sagit de distinguer celle des deux constructions qui représente la fonction proposée dans l'intervalle des limites « et b (*).

iO. Pour cela, menons des tangentes aux points m et n

(*) Cette question serait résolue si l’on connaissait la valeur exacte y de l’abscisse du point p de minimum; car il suffirait de voir si le signe de f{ y) est le même que celui de f(a) et de f{b). On pourrait prendre une valeur approchée de y, mais quand les racines seraient imaginaires ou presque égales, cette valeur approchée ne pourrait plus servir, et la méthode serait en défaut.

Fig. î.

.9. Si nous construisons la courbe

et si nous considérons sur cette courbe

Fig. i.

dans la figure 2 jusqu’à la rencontre de l’axe des abscisses en ri et b'-, en ces points a ' et b' élevons des ordonnées am", b'ri; aux points rri, ri menons deux nouvelles tangentes jusqu’à la rencontre de l’axe, etc. Il est évident qu’après une ou plusieurs opérations, il arrivera nécessairement qu’on ne pourra point tracer les tangentes sans qu’elles sortent de l’intervalle ab, et la sous-tangente finira par devenir plus grande que cet intervalle : cela n’aura jamais lieu dans la figure 1. Chacune des sous -tangentes ari, a'a", etc., sera toujours moindre que l’intervalle ab, a'b', etc. Il en sera de même des sous-tangentes successives bb', b' b", etc., comparées aux intervalles bu, b' a', etc. De plus, la somme de deux sous-tangentes aa, bb' sera toujours moindre que l’intervalle ub des deux limites. 11 en sera de même de toutes les sous-tangentes suivantes. C’est un caractère distinctif du cas de la figure 1.

Ces conséquences seraient les mêmes si le point m' ne répondait pas précisément à ri mais à un point voisin compris entre ri et a.

li. Les points b', ri, où les tangentes en n et m rencontrent l’axe ont pour abscisses

Le caractère propre aux racines réelles est donc ainsi exprimé

ou