Si les deux suites [c] et [6] se terminaient ifinsi

les auti-es hypothèses restant les mêmes, la construction se-

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rait celle des figures 3 et 4, mais on arriverait exactement k la même règle.

43 . Cherchons maintenant une règle pour reconnaitte', dans le cas le plus général, la nature des racines indiquées.

Four cela nous comparerons les .deux suites de la manière suivante : Nous compterons dans la suite [a] combien il se trouve de variations depuis le premier terme f K (a) jusqu’au second, au troisième, au quatrième, etc. Nous marquerons au-dessus de chaque terqie tel que*/” 1 ' '{a) le nombre h de variations contenues dans la suite jusqu'au terme y

compris ce terme. Nous opérerons de même pour la suite (éj, eu écrivant toutefois les nombres de variations au-dessous des termes de cette süite. Soit K lè nombre de variations comptées dans la suite [l>\ jusqu’au terme Nous pren-

drons la différence h — k et nous écrirons entre les deux termes /""“(a), celte différence que hous désignerons

l>ar o et qui ne pourra jamais être négative. Nous formerons ainsi une série d’indices placés entré les termes de ces suites.

Exemples: , . ,

... . . a 4. 4,1, Iv J 2 2 2 2

OKS EQUATIONS THANSCEM) ANTES.

Nogs désignerons , en général-* cette série par

0 2? y îv >«r * jl

Le dernier indice A montre que -l'équation «proposée ne peut avoir entre les limites a et b plus de A racines réelles, lin général , un indice quelconque 8 qui correspond à f“{x ) fait connaître que l’équation

ne peut avoir eptre les limites a et é un nombre de racines plus grapd que 8. ■ ■ -

La valeur d’un indice quelconque étant désignée pâr o, . cejle de l'indice suivant est 8 ou 8 — 1 , oü 8 rj- \. Gela résulte de la formation de la série des indices. ■<

Lorsque l’on a i = ü, Léqqation proposée n’a pas de racine entre. a et à. v

Si l’on a A^= 1, l’équation a une seule racine entre u ét é-, et cette racine est réelle. Il est facile de voir que si l’on diminue à volonté l’intervalle de a et b., on peut faire en “sorte que l’indice correspondant à f'{x) soit 9. En effet, l’équation proposée n’ayapt qu’une seule racine réelle entre « et b, cette racine ne peut annuler f\x ). “On peut dope diminuer et ensuite 's

augmenter la valeur de cette racine jusqu’à des limites «’ et b' telles que l’équation ' «

ne puisse avoir aucune racine entre a' et b'. , - -,

14. Nous avons déjà traité le cas oii les' trois derniers , ’ indices à droite sont ; ... - : * ' -

. ÜÉSQLÜTIÔN

Dans les autres cas. où l’on a a = 2, on si l’bri a A> 2, on procède comme il suit à la séparation des racines :

On parcourt la série des indices, à partir do la droite, jusqu’à ce que L’on trouve pour la première fois l’indice 1. Soit /"(«) la fonction qui répond à cet indice. On voit que . l’équation

a une seule racine entre a et b. ■

L’indice i, auquel on s’est arrêté, est nécessairement suivi de l’indice 2. à droite. En effet, il ne peut être suivi que de t , O ou 2 ; car, en général , l’indice 8* qui suit l’indice 8 ne peut être que 8 , 6 — 1 ou 3 -f- 1 . Or, cet indice suivant n’est pas \ , puisqu’on s’est arrêté au terme que l’on trouve égal à i pour la première fois. Si cet indice était O, il faudrait que ces indices augmentassent dans la partie ultérieure de la série, puisque le dernier indice A est égal on supérieur à 2. . Donc l’indice passerait par la valeur 1 , ce qui serait contraire à l’iiypolfièse.

D’un antre côté, si l’indice 1 auquel on s’est arrêté n’èst pas précédé de zéro, on peut diminuer l’iirtervalle des limites a et h, en sorte que cette dernière condition soit remplie; c’est-à-dire, en sorte que l’équation

n’ait aucune racine réelle entre les nouvelles limites a' et b'

Nous avons donc trois intervalles à considérer dans l’intervalle des limites a et b ; •

|° Celui de a à a', dans lequel l’équation, . '

ne peut avoir aucune racine , puisque la seule racine réelle qu’elle ait entra les limites a et b est placée dans l’intervalle de a' à b'. Donc , pour l’intervalle de a à a', l’indice correspondant à /‘"(x) serait 0; et, s’il existe, à droite, un indice égal à 1 , il se rapporte à une fonction plus avancée que /"(x) vers la droite.

2° Celui de b' h b, pour lequel on arrive aux mêmes conséquences.

3° Celui de a' à b', pour lequel l’indice correspondant à f"(x) est 1 . Il peut arriver que cet indice 1 ne soit plus le plus voisin de l’extrémité à droite. Dans ce cas, la séparation des racines est ramenée à droite de /‘"(x).

lî>, Si, au contraire, cet, indice 1 est encore le plus voisin de l’extrémité à droite , il sera encore suivi de 2.

Par conséquent les indices correspondant aux fonctions

sont 0 4 2

L’équation

ne peut avoir aucune racine entre a' et b 1 . L’équation /-(x) = o

a , dans cet intervalle , une racine réelle et ne peut en avoir qu’une. ».

Quant à l’équation

elle ne peut pas avoir entre a' et b' plus de deux racines réelles , et l’on peut appliquer à celte équation la règle /lu «°H, pour voir si les racines sont imaginaires. .

sa

Si elles sont réelles, elles sont séparées; et au lieu de l’intervalle des limites ci et b', on en considérera deux autres plus petits, cfe qui donnera deux nouvelles séries d’indices dans chacune desquelles l’indice 1 , le plus voisin de l’extrémité à droite , sera porté à droite de la fonction f"[x).

Mais si l’équation • . . »

manque de deux racines dans l’intervalle de a' à b', on en conclura qu’il en est de même de toutes les équations suivantes : ,

En effet , l’équation

manque de deux racines , parce que la racine réelle de l’éqhatipn \ , ' ,

étant substituée dans /' n+1 ( x ) et f*~'(x) donne deux résultats de même signe.

Donc la suite des signes perd deux variations lorsque l’on substitue à x le nombre qui rend nulle la fonction f"(x), et par conséquent chacun e des équations (I) parmi lesquelles

se trouve la proposée , manque de deux racines dans l'intervaüe de a! à b'.

Il s’ensuit que dans chacun des indices correspondant aux (onctions

(2) m*), rw. r-'w — m> m, m

il se trouvé une partie égale à 2, provenant des deux racines qui manquent dans l’intervalle de a’ à b’ dans les équations correspondantes.

On peut omettre cette partie égale à 2. Il n’y a plus que la partie restante qui indique combien on doit encore chercher de racines dans l’intervalle des limites. Par conséquent, on retranchera 2 de chacun des indices correspondant aux fonctions (2) ; en sorte que celui de f*~\x) deviendra 0 , et l’indice l , le plus voisin de l’extrémité à droite , sera porté à droite de la fonction f n [x). K ' > >

En opérant de la même manière pour chacun des intervalles auxquels nous avons été ramenés, on parvient nécessairement à des séries d’indices dont ld dernier A est 0 ou I .