P = NS
On désigne généralement le coefficient N sous le nom de coefficient de résistance permanente à la compression.
Ce coefficient a été déterminé pour les principales substances employées dans les constructions.
Il est de 600.000 kilogr. pour le chêne, de 400.000 — sapin,
de 248.000 — pin.
de 12.500.000 — fonte,
de 6.000.000 — fer.
Pour la maçonnerie, il varie de CO.OOO à 420.000 kilogr. Ainsi quand on dit que le coefficient de résistance permanente dune maçonnerie est de 90.000 kilogr., cela veut dire qu'il ne faut pas faire supporter d'une manière permanente à cette maçonnerie plus de 90.000 kilogr. par mètre carré ou plus de 9 kilogr, par centimètre carré,
l^jllest bien évident que si Ton applique sur la face supérieure
AB d'un prisme homogène un effort uniformément réparti sur la base et perpendiculaire à cette base, toutes les molécules qui se trouvaient primitivement dans la surface supérieure viendront se ranger dans une surface parallèle ^*^^' '•' voisine CD, et que par conséquent le raccour-
cissoniont soi a uniforme (lig. 37)*
cnAiMTiii-: iiriTiMMi:
Si le prismo ropost» sur niio baso siipposéo inébraiilablo (4 ^ incoiii[)n'ssib!r. Imilos b's libres qui s«.' Irou-
Mr
ir'
FIg. 39.
vaioiil avaul la (utniprossioii dans unr Irancbti MNIXl c-oinpriso l'utn.» rlmix scciions inliruuionl voisiiirs, se Irouveronl, après Tapplicalion do la obar*ro, resserrées eulrc les Kij,'. as. deux plans M'.N' el CD el auront subi toutes
le môme raccourcissement (lig-. 38).
•Al. RéMiNtnnec d'une ina^onncpic dtiiiN le eau de cliarKON uiiiforiiiéiii'.*iit répartioM par rapport à un
plnu. lioi cCu trnpèiKe. — Il n'en sera plus tie même si les
«ilForls appliqués aux ilitlénMils poinis de la base sont inégaux. Dans ees conditions, il peut paraître diMicile de délerniiner la surface suivant laquelle viendront se disposer les molécules qui se trouvaient primitivement dans le pian MN. Il est un cas cependant où Ton peut trouver approximalivement cetle surface, c'est le cas où les cbari^es partielles sont uniformémiMit réparties par rapport à un |>lan AB(<D (li{r. 39) perpendiculaire à la base d'appui el ])assant pîu* les milieux des cotes d(» cette base, que ninis supposerons reetanungulaire et borizonlale.
Nous admettrons, en outre, (pie les sections lnni/.ontalcs du prisme ne sont plus conslanles, mais rpie l'ini |)eut rei^artlci-, dans le voisina;»(* immédiat de la base, le< lai-es comme sensiblement verticales.
La résultante V île toutes les cbariit^s s(»ra nécessairement située dans le plan AIJill), qui est un plan de s\ met rie el que nous preuilrons pour [)lan de la lijuure. Supposons la appliquée en un
point 1 du |)laii M.N qui est, couime tout à l'heure, un plan inlinimeiil voisin île la base dappui ilii;. 'H) .
La traïu'be iniiiiiinent niint^e
ALNdD va se dérorniei" sou> l'iiiiluen(!e des forc'e-. «'«uales ri contnui'es (jui a,::isseiil sur les faces .M;\ et i\U. Cj.'S forces élanl l'une, la |)ression I* el l'unlie la réao-
Fil
RÉSISTANCE ET STAIJW DKS CONSTKUCTIONS ES MAÇONrie 423
tioii de la base sur le prisme considéré, il va se produire un nouvel étal d'équilibre. On pourrait, h Taide de la tbéorie malhématique de rélaslicilé, déterminer la surface suivant laquelle viendront se ranger les molécules qui étaient primitivement dans le plan MN ; c'est une surface cylindrique. Nous nous contenterons d'une approximalion en remplaçant celle surface par unpian moyen dont la trace est M'N', et nous nous proposerons de déterminer la position de ce plan.
Soit S la section du prisme ; considérons en un point quelconque G du plan MN un élément superficiel (t) et désignons par p la pression qui s'exerce sur cet élrmcnt ; nous pourrons évidemment appliquer à ce d(*rnier la formule générale (1) établie précédemment. Soit L la longueur primitive G(i, du prisme droit dont la base est w, et soit / la longueur (IG' dont il s'est raccourci sous l'intluence de la force p, nous aurons :
Si nous considéroiïs un autre prisme élémentaire do section o),, soumis à une force/;, et ayant subi sous rinilucnce de cette force un raccourcissement /,, nous aurons une deuxième relation :
Pi ^ t - = 7 X /,
et ainsi de nirme pour tous les prismes dont les bases sont comprises dans le plan MN.
En remplaçant par Jv la valeur ^ qui est commune à tous les
prismes, on aura une suile de relations :
/; = Ko)/ ; pi = KcùiA • • • • etc. . .
desquelles nous tirerons la consé(|uence suivante :
La cliarire (|ni s'exerce en chaque point de la section MN est proporlionnelli» à la verticale menée de ce point jusqu'à la surface MN'.
On en conclul que la résultante P de tous ces efforts passe par
le ci'iitiM' (le irravilé du volume compris entre les deux surfaces
MN cl MN', ou, en d'aulnes termes, puisque le plan AIKIID est un
plan de symétrie», par le centre de gravité du trapèze MNN'M'.
La position de la ligne M'N' est donc déterminée ; elle est telle
124 CHAPITRE IIUITifiME
que le cenlre de gravité du trapèze MNJN'M'fdont elle est un des côtés, soitsurla verticale du point I d application de la résultante P.
Il est facile, du reste, de trouver une relation entre la valeur de cette résultante et les dimensions du trapèze.
Soient T et T les bases de ce trapèze : on a, d'après les relations précédentes :
p=S;)=:î;K(o/=ksw/.
Mais S(i)/ n>st autre chose que le volume du prisme compris entre les deux surfaces MN et M'N', et ce dernier volume est
égal îi Sx — r— ; on a donc :
d'où :
I> Ceci exprime que la pression moyenne - est proportionnelle
à la parallèle VV menée à égale distance des deux bases du trapèze.
Cela étant, si je déplace le point d'application de la résultante, le trapèze changera de forme, puisque son centre de gravité doit toujours être sur la verticale de ce point, mais sa surface ne va-
ricra pas tant que P restera constant, car — - — devra rester le
même; de sorte que le déplacement du point I entraînera une rotalion de M'N' autour du point V.
Les pressions par unité de surface qui s'exercent aux points M et N étant proportionnelles aux longueurs /' et l\ et ces valeurs ne dépendant que de la distance MI, il importe de calculer Z' et r en fonction de cette dislance, que je représente par a.
Pour cela, je prends successivement, par rapport à la ligne AC, les moments du trapèze et des triangles qui le composent ; j'aurai, en désignant par b la longueur MN :
RESISTANCE ET STAB** DES CONSTRUCTIONS EN MAÇONrm ii5 En résolvant les équations (3) et (4). on trouve :
•2P • 3fl
Si je désigne mainlonant par /' et /" les pressions, par unité de surface, qui s'exorccnl aux points M et N, j'aurai :
r = Kr = f^^-i) (G)
Les pressions /' et i" sont utiles à connaître ; il faudra, dans chaque cas particulier, déterminer la valeur de la plus grande d'entre elles, et s'assurer qu'elle ne dépasse pas la limite que Ton s'est imposée pour le coefficient de résistance permanente. La sécurité de la construction ne pourra être obtenue qu'à ce prix.
Je vais maintenant examiner quelques cas particuliers :
1** Si la résultante est appliquée en V, le trapèze se transforme en un rectangle MNN,M,, ce qui montre que le raccourcissement s'est fait uniformément sur toute la surface.
Les formules '3 - et (6) deviennent en ciïet :
On retombe dans le cas d'une charge uniformément répartie.
2'' Si le point d'application de la résultante est au point K situé au tiers de la longueur MN, le trapèze se transformera en un triangle MTN ; la pression qui s'exerce en M est alors double de la pression moyenne qui est représentée par VV, et la pression en X est nulle.
On a, en eiTet :
on
ii6
CllAPiïlib: llinilKMK
't'* Enfin si le point d'applicalion se rapproche encore du point
2P M (lîg. il), et s'il vient au point E, /' devient plus g-rand que ^
et /" est négatif. Cî r/;sullal itunlrc que la pression, qui est plus grande en M que la pression moyenne, va en décroissant jusqu*à un certain point N,, où elle est nulle, pour devenir négative depuis ce point jusqu'à N.
(\olie pression négative, qui se traduirait par. une force d'extension si le solide considéré était du bois ou du fer, est inadmissible dans les constructions en nnaçonnerie, et il n*y a pas Heu d'en tenir compte. Nous dirons donc que la pression totale P se trouve répartie sur la surface MNiX^, e étant la dimension du prisme porpendiculain» au plan do la figuro.
Pour délerminor le point N,, nous ferons ('^=0 dans récjuation [6) ; nous aurons ainsi :
OU A -.=^ 'Aa.
Ce qui indique que MNi osl égal à trois fois la dislance ME.
Ce résultat peut être inloiprété en dir>ant (jue la ligne TN de la figure 40 a pris sur la figure il une pi^sition T|N, lelle que le centre de gravité du triangle T,Mi\i soit sur la verticale <lu point E. Cette conclusion est absolument conformo à tout ce qui a été dit précédemment. Dès lors, la pression totale V se trouvant répartie sur la surface *iafi, nous trouverons la pression t' en remplaçant, dans la fornuile (;>), S par liar et /> par 3<'/, ce ([ui donnera :
on 'àac
RKSISTANCK ET STAIU-^ DKS CO.NSTinH'.TlONS K\ M:V<;a\"o 1^7
En résumé, la pression maNimiim, par unité de surface, s'exerce à rexlrémilé (le la base la plus voisine du point d'ap-
iP à ~ suivant ijue la dislanre de celle exlrémilé au point d'application est supérieure, é.^-ale ou inférieure au tiers de la longueur MN.
La condition de résistance des conslructions en maçonnerie sera dorïc exprimée, à la limite, par Tune des trois expressions :
on
suivant qutî la distance du point d'applicali*)n à l'arèle la plus rapprochée sera supérieure, égale ou inférieure au tiers de la longueur M\.
SÏAUILITK DKS CONSTRLCTIONS KN MACONNKRIE
49. XolioiiM préliiiiiiiair^M. Ronelioii clo ileiim eorpM «oliflcM cil cMiiiliicl. Froiieiiieiil. — Je suppose une sphère on rop<)S sur un plan horizonlal ; son prn'ds est mis en équilibre [>ar l'ens^'iuble «les allions cpie les molé<*uIes éprouv*»nt de la part des moléiuiles du ]>lan dans h» vcusinage du point de contact ; ces d<Min^i(»s peuvent donc être reniplacées par une force uni(]UM éi^ale et <'ontrair<* au poids (h? la spht-re. D'aulre part, les actions (juo les molécules de la sphî're exerc*»nt sur les molécules du [»lan j'Ianl «'uales rt contraires à et»lj(*s «pi*elles éprouvent de la part d»* eellrs-ci, on piMil évidiMunuMit leur substituer une force éiiah' <'l contraire à la précédente.
(]elle deuxiiMue force constitue ce qu'on appelle la Pression
138 CHAPirnE HUITIEME
do la sphèro sur le plan horizontal, et la première se nomme Réaction de la table sur la sphëre. Il est clair que ces dcDX forces égales et contraires sont dirigées suivant la normale commune au point de contact.
Si, au lieu d'une splière, je considère un corps pesant reposant par une surface plane sur le plan horizontal, chaque point de la surface plane pourra être considéré comme s'il était un point de contact isolé. Los pressions exercées par tous les points de contact, (îtant parallèles, se composent en une seule que je représente par P; et la réaction exercée par le plan sera une force égale et contraire que j'appelle T.
Je coupe le corps par un plan passant par les forces P et T et par conséquent vertical. J'applique dans ce plan une force horizonlale IB que je désigne par q. Si celle force 9 csl très petite, elle ne produira aucun effet, à moins que les surfaces en coatact nu soient parfaitement polies, et le corps restera immobile tout aussi bien que si elle n'existait pas. Mais si l'on augmente progressivement son iiilensilé, il arrivera un momeni où l'équilibre cessera d'exister, et le corps A se mettra en mouvement ; je désigne par Q rinlensilé de la force minimum capable do produire te glisscnicnt,etjc la représenle parlQ (fig. i2}. L'équilibre ayant continué k exister après l'applicalion de la force t{, il faut nécessairement qu'il se soit développé, entre les molécules en contact, de nouvoHcs actions qui s'opposent à ce que celle force produise son effet, et dont la résultante parconséqnent est uiio force IC qui lui est égale et directement opposi5c. — Dès lors, la réaction du plan n'est plus IT, c'est la résultanio ID des deux forces IT et IC, résullanle inclini?c d'un angle x sur la verlicale.
Si l'on augmente la force de traction et qu'on lui donne une Valeur y' repriisonléo par IB', les réactions moléculaires grandissent en même temps, et ta ri-ai:tion générale s'incline davantage sur la verticale.
Mais ces réactions moléculaires nu peuvent augmenter au delà d'une certaine limite F ; de soric nue si la force de traction, en
RÉSISTANCE ET STABté DES CONSTRUCTIONS EN MAÇON» 4i9
croissant coalinaellcment, les amène à atteindre cette limite, le moindre accroissement nouveau déterminera le glissement du corps.
La résultante des actions moléculaires qui se développent ainsi pour s*opposer au glissement du corps, considérée à l'instant où elle atteint la valeur F qu'elle ne peut dépasser, constitue ce que Ton appelle la Résistance au gli^semeni. ou simplement le Frottement. Elle est directement opposée à la force Q.
A ce moment la réaction totale IK du plan, qui est la résultante des deux forces F et T. fait avec la verticale un angle 9, qu*on appelle cuiyle de frottement.
On a. entre les trois quantités F. T et o, la relation :
relation que Ton peut mettre également sous la forme
Chacun connaît les lois du frottement des corps solides, lois qui ont été déterminées par rexpérience. En se servant d'une caisse dans laquelle on mettait des corps pesants en quantité plus ou moins grande, on a trouvé que la force de'traction Q, nécessaire pour déterminer son glissement sur une surface horizontale, varie proportionnellement au poids total de la caisse, c'està-dire proportionnellement à la pression P qu'elle exerce sur cette surface horizontale. — D'un autre côté, en faisant varier rétendue de la face d'appui de la caisse, sans rien changer à la nature de celle face et au poids total de la caisse, on a trouvé que la force de traction Q ne change pas de valeur. Et comme la force de frottement F est égale à Q, on en a conclu les deux lois suivantes :
1^ Le frottement est proportionnel à la pression ;
2^ Il est indépendant de Tétendue des surfaces frottantes.
La première loi peut se traduire par la relation :
/étant une quantité constante, que Ion nomme coefficient dé frottement.
La relation précédente peut se mettre sous la forme :
CHAIMTKË HUITIÈME
Le cocflicient dc^frottemenl ne di^pcnd, comme on le voit, que de la nature des surfaces en conlacl ; à chaque substance correspond un coefficient ou un angle de froltcment spécial.
Si Ton voulait avoir la valeur du frollemont en fonction de la réaction K, on poserait :
Ktg^ Kf
F = K sin ç. =
Vi + tg» f \U + r
Fig. 43.
AS. fonditlons d'équilibre de dett!c solides qui «e tonelieiit, dans le eau d'ane résultante unique. — Ces notions générales posdes, je vais examiner l'équilibre d'un corps prismatique reposant sur une surface plane et sollicité par un
svstème de forces avant une résultante unique R qui tend à appuyer les deux corps Tun contre Taulre. C'est le seul cas dont j'aurai besoin plus tard.
Soit ABCDBl la surface do contact (fig. 43). Le corps étant en équilibre sous l action de la résultante R et des actions moléculaires qu'il éprouve de la part de la surface plane MN, il faut nécessairement que ces dernières aient une résultante égale et directement opposée à la force R.
Mais cette résultante des actions moléculaires no peut être appliquée qu'à l'intoneur du polygone d'appui ABCDE; donc il faut nécessairement pour Téquilibrc que la résultante R perce la surface de contact. Et cette condition est suffisante dans le cas particulier où je me suis placé, puisque, par hypothèse, la force R tend à appuyer les deux corps Tun contre Tautre.
Tant que cette dernière viendra rencontrer la surface ABCDE, le corps prismatique ne pourra donc pas tourner autour d'une
de ses arùtes AB, BC Mais ne
pourra-t-il pas glisser sur la surface de contact?
Pour le reconnaître, je couperai le prisme par un plan nMifermanl la résullanlo H et nicMié jiorpendiculaircnKMjl à la surface MN. Je dé- C(nn|>()scrai crtU» foiTo en doux.
Tune P normale à la surface de contact, l'autre Q parallèle à cotte sur-
FiK^ 44
RÉSISTANCE ET STAllt-:' DES CONSTRUCTIONS EN MAÇONrie * 131
face (fig. 44). C'est celte dernière qui tendra à faire glisser le corps; elle donnera naissance à une force de frotteuient dgale et contraire, et la réaclion deviendra IK, comme dans la figure 42. Je calculerai Tangle a de celle réaclion avec sa composante normale IN qui est ôgale et conlraire à P. Il n'y aura pas de glissemenl tant que cet angle sera inférieur à l'angle ^ de froltement.
Dans la pratique on ne fait pas celte construclion; au lieu de calculer Tangle NIK, on calcule son égal PIR.
Ainsi, pour l'équilibre dans le cas parliculier que je viens d'examiner, il faut :
1° Que la résullanlo des forces appliquées au corps prismatique perce, dans son intérieur, la face du corps qui repose sur la surface horizonlale.
. 2^ Que l'angle de celle résultante avec sa composante normale soit inférieur à l'angle de froltemenl, ou, autrement dit, que la tangente trigonomélrique du 1*' angle soil inférieure au coefficient de frottement.
