OU A
Eliminons x et Ig a', nous aurons l'équation suivante du 2" degré en H' :
[2c'DA(r — e') — e'] H" — (2e't +0 H' + S(l + 2e'DA) = (9)
ir étant connu, on déterminera x par l'équation (6). Exemple : i = 20"", D = 100", r = 12" S = 28""«. Ig oc = 0,10, y' = r=45" C = 17,66.
On trouve successivement :
17, Ou
2é?'DA= 1,132.
Portant ces valeurs dans l'éq. (9), on a :
On en tire H' == 1,18
et par suite : x = ^. . , ,. = 5"30.
^ X i»io
Tout ce qui précède suppose que la section normale du torrent est la même depuis le point A jusqu au point L S'il en est autrement, la pente-limite tg a' ne sera plus constante, et le problème deviendra un peu plus compliqué.
Admettons, pour fixer les idées, que le profil en long du sommet soit brisé aux points B et C et qu'en ces points varie également le profil en travers (fig. 146).
Nous calculerons, comme nous venons de le faire, quelle hauteur il faudrait donner à un barrage fondé en C pour que son atterrissement atteignit le point I ; soit CC la valeur trouvée.
ETABLISSEMENT DES UABliACiES -
Nous chercherons, en second Ueu, quelle hauteur il faudrait assigner à un mur élevé en B, pour ijuo les dépôts qui se formeraient derrière lui vinssent passer par le point G'.
Enfin nous trouverons la valeur AA' à attribuer au barrage à construire en A par la condition que l'attcrrissemcnt atteigne le point B' .
NeuTième problème.
Quel doit èlre l'emplacement d'un barrage d'une hauteur donnée pour ([Ue l'alterrissemenl passe par le point 1 du profit en long(fig. 147)?
Flg. 147.
Soit h la hauteur du barrage, k la distance verticale II' du point I I au-dessus du fond du Ut, x, et et' les inclinaisons de ce fond et \ de la surface supérieure de t'atterrissemenl qui se formera der- [ rifere le barrage.
Le problème sera déterminé si l'on connaît la distance hori- &zontale AI" ^= D qui sépare le point I de l'emplacement cher- (cfaéA.
Or on a: 1 1' ^ D tg ^,
Ide plus II' ^ A -I- ïli — A = /i — A H~ D tg a'.
CUAIMTHE SEIZIÈME
On en déduit :
A — A + D tg a' == D Ig *!
el par suilc
fc — i-
Ig «i - tg a'
Ceci suppose que la pente du fond du lit est uniforme de A en r : ^'il en était autrement, voici comment on pourrait résoudre le problème :
On calculerait quelle hauteur il faudrait donner à un barrage fondé au brisement de pente C pour que Fatterrissement de cet ouvrage passe eu I (8° problème). On déterminerait en second lieu, quelle hauteur il faudrait attribuer à un barrage établi en B pour que son atterrissement passe par le point C\ puis on retomberait sur le cas précédent (Kg. 148).
Fig. 148.
Exemple, — La pente est uniforme de A en T :
h = 5m.30 A- = 3 m. Ig a, = 0,17.
On admet, comme dans les problèmes analogues, que la pente de compensation s'est formée dans une section du même tronçon, section dont la pente, la surface et le périmètre mouillés maxima sont 0,10, 28»"^ et 17m.66.
Enfin, Ton suppose que de A en F le profil en travers est trapézoïdal et que les éléments de ce profil sont
Calculons d'abord Ig a' (3^ problème).
On a successivement :
ÈrABLISSRMEiNT DES BAKRAGKS. — PROBLÈMES
«'(largeur du couronnement du barrage) = 12+2x5,30=22,60
ir ^ -^ i +v'i + '^ X 1 X Q,or>48 ^ ^ ^^2 «• â *
ir = 0,052X22,60 = 1,18 C = 22,60 + 1,18 X 2,88 = 2o'"9l
lga' = 0,10X^ = 0,147.
Une fois Ig a' déterminé, on trouve immédiatement ;
I^ixiôme problème.
Quelle hauteur faut-il donner à un barrage pour que la pente de Tatterrissement soit égale à celle du fond du lit, ou autrement dit pour que le lit soit relevé parallèlement à lui-même ?
Ce problème ne peut être résolu rigoureusement que dans le cas où la section normale est trapézoïdale.
Soit comme précédemment S, C et tg a la surface et le périmètre mouillés maxima^ ainsi que la pente de fond dans la section du même tronçon où l'on suppose que s'est établie la pente de compensation.
Désignons par a^ Tinclinaison du fond du lit dans la région où Ton veut faire le relèvement ; on doit avoir tg t! = tg oii (fig. Ii9).
Fig. Ii9.
Fig. ir)0.
La question revient donc h celle-ci : Quelle doit être la hauteur X du barrage pour que Ton ait :
tg«i __ tg g __
ce
io
ou
Or si /', e et |' sont les éléments de la section normale considérée, on a (fig. 130) :
C = Z' + "lex + H'?'
La condition définitive du problème est donc :
/' -t- 2e'aî + ir? = A.
De plus, la surface mouillée PQSR devant être égale à S, posons :
Il'[/'+26-'(x+'0]=S.
En résolvant ces deux équations, on trouve :
Exemple :
S = 18,32 C = 12,96 tg x = 0,08
Iga, =0,12
Ou lire de là :
.^^lg«i 0.1gX'3,9«
fg a
et par suite :
„, l'J,4-v {'XV- -^X IHJi^X '■«' , n-
" = lyT^Ji = ^'«^
^ l»,iO-5-l,ft-)X:i.'0 .,„
■^ 2 X <>,»yo
(il)
Onzième problème.
Dans quel cas sera-t-il avantageux d'altcrrir artificiellement un barrage ?
Nous avons montré précédemment que la poussée des terres est toujours inférieure à celle de Teau.
Des lors, il sera toujours utile, dans la confeclion d'un projet, de comparer les dépenses k faire pour exéculer, d'une part un barrage dont les dimensions seront suffisantes pour résister à la poussée des eaux, et d'autre part un mur auquel on ne donnerait que les dimensions nécessaires pour résister à la poussée des terres, mais au prix de la construction duquel il faudrait ajouter la somme à consacrer à la confection d'un atterrissement artificiel.
Pour établir cette comparaison, la première question qui se pose est celle de savoir jusqu'à quel plan vertical EF il faudra pousser ralterrisscment , pour que les eaux qui pressent en arrière de ce plan n'aient plus aucune action sur la paroi AC du barrage (fig. loi).
On aura évidemment une limite supérieure de la longueur CE, que nous représenterons par d, en menant par le point A du barrage une ligne AE faisant avec Thorizontale un angle ^ égal à celui du talus naturel des terres, et en arrêtant cette ligne au plan horizontal passant par le couronnement CD.
Soit ; l'angle d'inclinaison, sur 1 horizontale, du fond du lit AG ; comme les terres se disposeront en arrière du plan EF suivant le talus naturel Ed, il en résultera que le quadrilatère ACEG représentera la section faite, par un plan parallèle à l'axe du courant, dans le remblai à exécuter en amont du barrage.
Pour évaluer le volume de ce remblai, nous le décomposerons en deux solides séparés par le plan vertical ET.
On pourra toujours supposer que le profil en travers du torrent est constant de A en G, car la longueur AG sera généralement peu considérable. Nous admettrons, en outre, que le profil en travers a la forme trapézoïdale, au moins dans la partie inférieure où doit se faire le remblai.
En appelant h la hauteur du barrage, h' la hauteur TE et h" la hauteur UV de la section normale faite dans le remblai à égale distance des plans AC et TE, en désignant de plus par /, e et gles éléments du profil en travers, les aires des sections normales en A, U et T seront respectivement :
Ih + eh\ Ik" + eh'\ Ih! + eK\
et, par conséquent, d'après le théorème de géométrie cité dans le chapitre XI, le volume du remblai à exécuter entre les deux plans AC et TE sera :
~ [Ih + eh' + Ih' +eh'' + Uh' + ieh"')
mais r = UhA-h') et h"' = !- (A + hj
dès lors le volume cherché pourra s'écrire :
ou \ [3/(A -f K) + ^ I A^ + A" + (A + A>'j] (16)
avec d^=h colg ç et A' = A — d tg 7
Quant au volume situé en arrière du plan vertical EF, il sera facile de le calculer en utilisant le même théorème de géométrie et en considérant comme nulle la base en G.
Appelons en effet d' la longueur IF et h" la hauteur OII de la section située k égale distance des deux points F et 1 ; le volume cherché sera égal à
J' [/ [h' + W) + e[li' + 4/t"'0] ou à J' (3 Ih' + 2 eh ")
en remarquant que K" est égal à 1/2 K .
La distance d! se déterminera de la manière suivante : Dans le triangle GAE, on a :
GË sîn (y — t)
Xl ~ sin (î» + I)
maïs AE = -: —
SIQ y
- pr= h sin (y — t)
donc GE = -: r-^- — T—.^
sin y sm (y + i)
d'autre part d' = GE cos ?
Donc d =h , , ./ = . /, .,
sin (y -f t) sin (f + i)
On en déduit, pour le volume cherché, l'expression suivante :
6 sin (? + i) V 7
Exemple. — Nous avons calculé dans Tarlicle 67 l'épaisseur moyenne à donner à un barrage, de 5m. 50 de hauteur ayant à résister à la poussée de Teau, puis dans l'article 72 l'épaisseur moyenne à donner à un barrage de même hauteur devant résister à la poussée des terres et établi dans les mêmes conditions que le premier. Nous avons trouvé les deux chiffres 2,65 et 1,32.
Il serait trop long de faire ici un calcul comparatif complet ; nous nous contenterons, pour l'établissement des volumes des deux ouvrages, d'un calcul approximatif dans lequel nous négligerons l'aqueduc, le couronnement et les fondations.
Supposons ; = 10 m. et e = 1,186
La section droite de la portion de barrage comprise entre les berges sera :
Le volume du d" ouvrage sera 90,88 X 2,63 = 241m' et celui du 2« — 90,88 X 1,32 = 120 m'
et, si le prix moyen de la maçonnerie est de 10 fr. le mètre cube, Téconomie que Ton réalisera en construisant le deuxième mur sera de 1.210 fr.
Calculons, d'autre part, le volume V du remblai à effectuer der-
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310 CHAPITTRB SEIZigUB
rière le barrage; faisorts tg t == 0,80^ ce qui correftpoiid i Fi de IIMO'. On a auccessivemeni :
d = 5,50 X cotg'34* = 8m. 1 6
(dans l'exemple de l'article 72, on a supposé que Fangle dabi naturel des terres esl égal à 34^)
En admettant que le prix du mètre cube de remblai es 0^50, le prix de l'atterrissement artificiel serait de 353 fr.SI
D resterait donc encore, en faveur du mur de sontènea une économie de 856 fr. 50.
Ajoutons que, dans bien des jcas, Téconomie à réalisera lès fondations et dans le couronnement sera égale à celle que trouve dans le corps du barrage. Terminons enfin par cette m . dération qu'on aura une grande sécurité en protégeant imni tement la paroi interne du mur contre toute espèce de choc venant des blocs charriés par l'eau.
I3ousièine problème.
Trouver le volume des dépôts qui so formeront derrièr barrage de retenue dans le cas où la pente -limiic de ces dé est supérieure à la pente de fond.
Nous avons montré dans le chapitre XI que le volume Y retenue d'un barrage est éfj^al à
h étant la hauteur du barrage, tg s la pente clo fond du li( rîère cet ouvrage, tg a la ponte de la surface supérieure de-^a rissements et>. la largeur moyiMine des dépôts.
Nous avons montré, en outre, que la largeur X est éga /+ 1/3 h (cotg Y + cotg )î), l étant la largeur du fond du puis Y et S les angles des talus de Iji section supposée trap*^ dale. En appelant, comme précédemment, p la dcmi-somio^
cotengenlcs et en remplaçant x par sa valeur dans l'expression du volume, on trouvera :
ï tg« — tg«
Fig. 152.
Cette formule suppose que tg i est plus grand que tg a ; dans le cas contraire (fig. 152), la ligne A'B' étant plus inclinée que la ligne AB, la retenue ne peut avoir d'autre limite que la longueur même de cette dernière ligne ; mais on peut se proposer de trouver le volume des dépôts dont la section droite est ABCB'A', en supposant qu'à partir du point B le fond du lit BC soit plus incliné que la surface supérieure B'C des dépôts qui se formeront à partir de B'.
Pour cela, appelons h' la hauteur BB' et Aj la hauteur verticale EE' de la section normale faite dans Tatlerrissement à égale distance de A A' et de BB'; désignons, en oulre, par D la distance horizontale ABi qui sépare les deux points A et B.
En récommençant les calculs faits dans le problème précédent, on arrivera, pour Texpression du volume dont la section droite est ABB'A' à la formule
f [l{3h + 3A') 4- e I h' + Ii'+ {h + hy\] D'autre part, on a :
h' = 876" — B"ïïr=rÂ; — bb;
mais AA, = /i + D tg a et BB, = D tg £
donc h' =h -h D(tg x — tg e)
Quant au volume dont la section droite est BB'C, on le trouve par la formule :
on appelant t cl e' les éléments de la section normale on B, e' et a' les inclinaisons des lignes BCet B'C.
Calculer to volume d'un barrage curviligriP.
Nous avons dit (arlicleTÎ) que loul barrage doil tlnli aussi bien dans les berges qup dans le fond du Hl. La fism montre les projecliotis d'un de ces ouvrages projeté (Un*'
tien normale P'PQQ'. Pour ne pas compliquer cette figure,» n'avons pas représenli.' la projection verticale de la paroi d'siw quant à celle de la paroî d'aval, elle est divisée eodeuipi'' par une verticale TI' passant par le milieu I du fond P(/^ avons reconnu, sur le terrain, que les fondations doivenl"
ftTABLlSSEMENT DES BARRAC.RS. — PROBI.IÎMES 313
1 m. de profoniicur lanl dniis les berges que dans le fond, cl que i hauteur des redans doit i^lre de I m. à droite de l'axe cl de 0,80 gauche.
Pour calculer la longueur TN, h étanl la hauteur du barrage,
nous posons successivemenl :
TQ, ="iQ"+ h X colg TQ,Q
tuis nous menons par le point N une parallùlc ù (JQ', ce qui détermine les points G', E'et C; ïl est facile lie voir, du reste, que les longueurs GG', KE' et CC sont toutes égales k 1 m. Xcolg TQ.Q. On détermine de la même manière, à droite de l'axe, le point M ainsi que les points L', K', F' et D', les longueurs LL', KK', etc., étant t^galea aux 0,80 de la cotangente de l'angle des berges.
Après avoir choisi le rayon 0(' de l'extrados et en avoir déduit (voir article 68) le profil TTTI du barrage, on trace une circonfé- ■rence du point comme centre avec Oi" pour rayonj puis oa cherche séparément la projection borizonlale de chacun descdtés du mur; indiquons seulement la manière d'opérer pour le c6té .gauche. Traçons d'abord dans le profil TTTI les horizontales , W, XX', etc., qui représentent les épaisseurs de l'ouvrage aux hauteurs successives VD, XF, etc.; cela fait, déterminons le point <i par la rencontre de la verticale partant de A et de la circonférence décrite avec le rayon Oi do l'intrados; traçons le rayon Oaa; iaa'i' sera la projection horizontale du solide dont la face d'aval est représentée en élévation par le rectangle AITO,. Prenons ensuite, sur le rayon Oa' , à partir de l'extrados, une longueur a'a, égale ùi VV et décrivons avec Oa, pour rayon, un arc de cercle que nous arrêterons en d, point de rencontre avec la verticale partant de D ; menons le rayon Ot/tf, la figure a,ad'd est la projection du solide dont la face d'aval est représentée en élévation par le rectangle DU'D,F,,et ainsi de suite.
Si maintenant nous faisons abslraciion de l'aqueduc et du couronnement, 1c volume de la maçonnerie située à gauche de l'asc pourra Être décomposé en cinq solides représentés en élévation par les cinq rectangles Al'TD,, DD'D.F,, FFF,K„ KK'K.L, et LL'L,M. Le premier de ces solides a pour volume, en vertu du théorème de Guldin, le produit de la section ITTI par l'arc g,i, passant par le centre de gravité àa celte section ; pour calculer
cet arc, il faut en connaître le rayon el l'angle au centre; le rayon s'obtient en prenant, dans la table numérique 111, la di»tancc, au côté vertical TT, du centre de gravité du trapèze m'I et en retranchant celte distance du rayon de l'extrados ; quant à l'angle au centre, nous le déterminerons par aon sinus qui est
éeal à—? ou bien à-— . Pour faciliter le calcul de l'arc o,i,, nous " Oa Ou •" '
avons dressé la table numérique IV qui donne les longueurs des
arcs correspondant à des angles déterminés dans la circonférence
dont le rayon est l'unité.
Le second solide a pour volume le produit de la section
VVFT et de l'arc décrit par le centre de gravité de ce trapèze ;
on calcule, comme dans le cas précédent, le rayon de cet arc en
se servant de la table numi^riquc III ; pour déterminer l'angle au
centre d'Oa', on clierclie d'abord l'angle dOi' dont le sinus est
VD , égal à — el l'on en retranche l'angle n'Oi", et ainsi de suite.
Kpa
Rajon
Tra
AnglH.
ValuDIB
d-un
l'inlra-
Jî
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cuié
Toi.]'
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