V-W = ^V, ouW = ^V

el si l'on prend la relation simple ii = 0,80 V, on trouve:

OU plus simplement et approximativement: W = 0,60 u.

8. Forée d'entrainement. — Les formules de l'hydraulique sont toutes établies dans Tliypothèse oii le mouvement de Veau est parvenu à un état de régime tel que la vitesse dos molécules qui passentsuccessivement par un même point déterminé (leTe^paceest, en cepoinl, constante en grandeur et en direction; nous verrons plus tard que ce régime est appelé régime permanent. L'ensemble de toutes les molécules situées, à un moment donné, sur une trajectoire déterminée, constitue ce que Ton appelle un filet liquide ; et c'est le mouvement de ce lilet qu'on étudie en hydraulique comme mouvement élémentaire.

On admet ensuite les règles approximatives suivantes : 1** Lorsqu'un courant à ciel ouvert est formé de filets liquides animés d'un mouvement rectiligne et uniforme, la pression est la même qu'à l'état statique, attendu que les forces extérieures refaisant équilibre sur chaque molécule d'un filet, les pressions que ce filet exerce sur les filets voisins ou supporte de leur part sont les mêmes que si le liquide était au repos.

2* lien est sensiblement de même quand, le mouvement étant varié, laccélération est faible, puisque l'on se trouve dans un ^lat voisin de l'équilibre.

Cela posé, le mouvement d'un filet quelconque d'une masse liquide est produit : 1^ par l'action directe de la pesanteur, 2** par les pressions qu'il reçoit de la part des filets environnants.

Pour évaluer ces diverses actions, supposons d'abord que l'on ait un canal dans lequel la surface libre serait parallèle au fond du lit, et soit i l'inclinaison commune de ces deux surfaces sur l'hori- '^nsidérons, dans ce canal, un filet de fond BD (fig. S)

assez polil pour iiifoii puisse le regarder comme rocliligne, et auquel nous allrihuorous une forme cylindrique de base s el do haulour / --: BI). Kn désignanl par p le poids de ce filet et par tt le poids spéciliipiodu liquide, on aura :

p = tIs

O poids peul t^lre décomposé eu deux forces : Tune GK suivaul 1U> el Taulre Kiî" perpendiculaire au fond ; celle-ci esl dé- Iruile par la résislanee de ce fond : quanl à la première, elle est égale à /) siu / ou à-/vvcsin /, el c'esl elle qui produit le mouvemeuL

Eh rcsitmf\ Taclion direcle de la pesanleur se traduil par une foive diri:;ëe suivant BI) et êsrale à :

-: h . sin i = " s X BB'.

Kxanùnons maintenant Taction des pressions exercées par les lilols environnants. 11 y a d'ahonl une première pression, que je désigne par P, qui s exerce sur la base située en B, et qui esl égale au poids d'une colonne liquide dont 5 est la base et AU la hauteur : celle prx^ssion peul être exprimée par la formule ;

et elle esî normale à la Sast\ c e^-à-dire dirigéo suivant BD.

\\ \ A ensuite une seconde pr^^x^iv^n V . qui s'exerce sur la base >UnxV en IV e c i^ou; <^;r^^ e\rr>,îvv ivar la formule :

r - s \ ai

Ci c*l.^ *'N, »5::vc*v sunar,; UU

V\î^*^î v,A , ï\^NSu>n^ a;,rA\s. ^';:s^<^>aîr\^ perpendiculaires èS iA xî i\v; ,-*, ,5,; :r„ ;, . '. ,vs x,- .:o,r*,v.sor.; deux à deux, et sont sar^-t^

.^\, ^ >r., la ,v,a;vî^- a,- vv .^U :. l A.,\sr, dos pr^>$sioDS se rédi do N À -a îVv-;;,v;,o d,"^> ..vws T . *, 1^ . qnî soot «aies el de

IVva\ .Va,^x U^ v>Ax j\anN\;^ix'c ^*f ïsm* e^«dkm$, le file^

Il ^«i

^ 4ia fdKnilUe&Mie 4« fond el ^i^ iHMi^xNA «ft-AKsai» ^ filet ^if

PROPOSITIONS PRfiLIMINAÏRKS

sories deuK bases du fiicl sont toujours égales et do sens contnircs, el la composante normale est lonjonrs détruite par la céactioQ normale des filets situés au-dessous.

Supposons, en second lieu, un courant dont la surface libre serait plus inclinée que le fond, et soit i l'inclinaison de la prenière. Considérons un filet quelconque MN, et menons par ses

extrémités M et N des verticales qui rencontrent en A et C la surface libre; puis par le point C faisons passer une parallèle CE à la direction MN (fig.G).

„. g D'après ce qui vient d'être dit, la

force effective due à l'action directe de la pesanteur sera égale à ^5XEF.

La pression P sera égale à 7:5 X AM, et la pression P' à tt.v x CN. Les deux premières étant dirigées dans le même sens, et la troisième en sens contraire, leur résultante sera égale h :

TT 5 . (EF -f AM — CN) = 7:.s X AF = tzsI X sin ?,

en désignant par X la longueur AC.

Si le fond du lit était horizontal, le filet BD ne serait pas sollicité

(lirectomenl parla pesanteur, mais le mouvement ne s'en produirait pas moins avec une force égale à T:5).xsii^ h ^1^<^ '^ la différence des pressions qui s'exerceraient en B et D. Pour un autre filet quelconque MN, on trouverait le même n^ sultat (fig. 7).

Enfin, si le fond était en contre-pente (fig. 8), le lilel de fond BD tendrait, sous l'action directe de la pesanteur, h être rejeté vers l'amont, et la force qui produirait ce mouvement de recul serait égale à t,sX EF, EC étant parallèle à BD. Mais, d'autre pari, le filet tend à être poussé vers l'aval par la différence dos pressions, et la force qui produit ce dernier mouvement élanl égale à -.sxÂE, on en conclut que la force résultante es! éiiale à -O.x sin /.

Fig. 7 et 8.

sa CIIAI'ITRK PRHlMrEIt

Il résulte (ic touL cela que l'inlcnsitû de la force qui proiluil le

mouvement auquel obi^il un lilet liquide, dans un cours d'i-au

quelconque, ne dépend que de lu pculc à la surface, el non dt-

la pento du fond.

Si l'on veut niainlenant calcnler la force d'en train ornent totale

qui agit sur une tranclie liquide AB.VB'

(fig. 9). il faut faire la somme de toutes

les forces élémentaires agissant sur chacun

des filets qui la composent.

Si la section est constante, tous les lilels seront parallèles entre eux el parallèles à la surface et au fond du lit ; toutes les forces élémoiilaires seront alors parallèles entre elles, et leur résultante sera la somme des romposantes ; elle sera donc :

^t:Is. sin i ^ ?;( . sini^ ;

mais ^.t n'est autre chose que l'aire S de la surface mouillét' ; la force toUtlc d'entraînement sera donc :

îï/S. sin i.

Si la section varie, les lilets ne sont plus parallèles entre eux, et la résultante de toutes les forces élémentaires n'est plus la somme des composantes. Cependant, si les variations sont insensibles, la résultante différera peu de laqnantilé -/S..'iin (, etPon aura encore nue approximation suflïsante en appliquant cette formule.

Lorsque l'angle ï est faible, son co.sinu8 est livs voisin de l'nnitè, et l'on peut confondre le sinus avec la tanironle : en appelant I la valeur commune de ces doux liirnes trigonométriqu'^s. on pourra donner à la force d entrai noraenl la forme dêlinitive :

4. RéiilBlnnop du lit- — Si nous eonsidérou:* mainlonanf une portion /de cours d'eau dans laquelle la section S el la peiilo par mètre 1 ne varient pas, la force d'entraînement -/SI du liquide sera une force constante, qui tendra à lui faire prendre un mouvement accéléré.

L'expérience prouve au contraire que, dans ce cas. la vitesse moyenne du courant tend û prendre une valeur invariable. Il faut

PROPOSITIONS PRELIMINAIRES

I l'aclioa accéléralrict: du la force d'enlralnemenl soit mise en équilibre, à chaque instant, par une force retardatrice. Alors le fluide ne se mouvra qu'en verlu de la vitesse acquise pendant les premiers iiislanls de l'écoulement, ('e pJiénomfeneJ n*a rien d'ailleurs d'cxiraordiiiairo, et il est tout semblable h c&-| lui qui se produit dans le mouvement uiiiFormo des machines.

Avant d'aller plus loin, il est donc nécessaire do se faire unfl^ idée nette des causes de cette force retardatrice. Pour y arriver, . on partîtes deux faits suivants, qui ont été mis en lumière par M. de Prouy : 1" les molt^culcs d'eau adhèrent à presque tous les corps avec lf!squeis elles sunl mises en contact ; 2" elles adhèrent aussi entre elles.

Ainsi les filets d'eau qui sont eu contact immédiat avec le lit engrènent leurs molécules avec celles de ce dernier, et la vilosso de ces filets csl retardée. En second lieu, par suite de l'adli^renoe ■ des molécules fluides entre elles, adhérence à laquelle on a donnés le nom de cohésion, le ralentissement produit par la résistancél du lit se communique de proche on proche k toutes les couches liquides, et la vitesse moyenne de la masse est, en conséquence, niuins grande que si l'adhérence de In paroi cl la cohésion n'existaient pas.

Les résistances qui donnent lieu à cette force retardatrice Étant connues, il s'agissait de l'évaluer. C'est encore h l'expérience que l'on a eu recours. Les observations que l'on a faites à cet égard ont di'niontré que la force retardatrice est proportionnelle, au poids du liquide en mouvement cl à la surface de froltemenl contre les parois. On a remarqué d'ailleurs qu'elle varie avec la vitesse moyenne it, et plus vite que la première puissance lie cette vitesse. Dés lors, elle a été mise sous la forme :

it/C (au -+- bu*} - et / élant, comme précédemment, le poids spéciKque du liquide et la longueur de la tranche considérée, C le périmètre mouillé de celte Iranche, a el f> deux coefficients que M. de Prony avait fixés d'abord à 0,000, OU et à (1,000,309, el qu'Eylelweïn, b la iMiite d'expériences nombreuses et plus Cûuciuanles, a trouvés ^aux ii 0.000.024 el k 0.000. 3G6.

Les deux formules s'accordent pour k =Û.3G; au-dessous, la formule d'Eytelwein donne des valeurs plus petites que celles de Proiiv ; au-dessus, c'usl le contraire.

2K CHAPITRE PREVICH

Oa accorde généralpineiit plus de con6ance aux chiiTrcs d'Ey- Iclwein. parce qu'ils roposetil sur un plus grand nombre d'observatious.

A. E^«ati*ii dn Bt*Dv«nien( nnlfKraic. — Quand il y a équilibro entre la force d'impulsion duc à la pesanteur et la l'ésistanrc. le mouvemcnl esl uniforme, el l'on a la relation :

ou-, l=^nM + 6ir

ou enfin : RI =^ tiu -+- bu' (7).

Telle est l'équation du moiivcmenl uniforme, en s'en tenant à la théorie de de Prouv.

MM. Darey el Bazin, après de nombreuses expériences faites dans dVxcelleules conditions, niodilîèreut sonsiblcmeut cette ë(|uation.

hans chaque e<^périence. ils calculèrent avec beaucoup de soin le rayon moyen R, ta ponte par mètre I et la vitesse moyenne » ;

ils en déduisirent, dans chaque cas. la fraction — . el remarquèrent que cotte fraction variait avec le rayon nioyea et la nature dos parvMS.

Us admirent «lors, pour tVtjuation fôuôrale. la forme :

r = n'-il'-

oi arn\èr\*ul anx quatrx' formules pratiques suivantes : 1' l'arvMs trx's unies : CimoTit lisse, bois raboté :

PHOPUSlïlONS PRÉLIMINAIRES 2\)

M. Bazin étudia, de plus, la valeur de — dans lo cas des cours

d*eau torrentiels charriant des galets, et il arriva à la formule suivante :

Cette dernière formule ne concerne évidemment que les parois en terre.

Dans ces nouvelles conditions, la formule du mouvement uniforme est simplifiée et devient, en désignant d'une manière générale par A le coefficient du 2° membre des expressions précédentes :

RI = Aî/*. (8).

La résistance du lit se trouve alors exprimée par la formule r/CAw-, au lieu de ^/C {au H-ôii)*.

De Téquation RI = Aw*, on tire :

u=-^ JRI.

Telle est l'expression de la vitesse du mouvement uniforme.

En remplaçant — par B, on a :

w == B v/RT. (9)

Dans tout ce qui va suivre, nous désignerons ce dernier coefficient sous le nom de facteur de la vitesse.

Nous donnons à la fin du volume une table des facteurs de la vitesse pour les différentes natures de parois et pour des rayons moyens compris entre 0.05 et 6° ; celte table porte le n® 1.

RnsfARQUE I. — Si Ton compare les valeurs du coefficient de résistance A que Ton obtient: 1° pour Teau pure, et 2* pour Teau enlrainanl des galets, en supposant les parois en terre et le rayon moyen égal à 1 m , par exemple, on trouve, dans le premier

cas :

et dans le second cas :

30 CHAPITKE PREMIER

On en conclut, pour B, les 2 valeurs suivantes :

B= — — on o p* i> — =30.i.

v'0,00063 — «îî^,» ei D — ^Q QQii

Cette augmentation qui se produit dans la valeur de A lorsque Teau entraine des galets, et qui a pour conséquence une diminution dans la vitesse, peut s'expliquer par les considérations suivantes :

Je désigne par Q le volume d'eau pure qui passe, en une seconde, par une section normale donnée ; soit u la vitesse moyenne dans cette section et rc le poids d'un mètre cube de liquide.

Le poids en mouvement est ttQ.

Je suppose maintenant qu'on verse dans le courant un volume de galets représenté par y)Q^ y) étant un coefficient quelconque, plus petit ou plus grand que l'unité ; soit d le poids d'un mëtre cube de ces galets, le nouveau poids en mouvement

sera :

TzQXnQid—T:).

La vitesse diminuera, le mouvement sera d'abord varié, mais peu à peu il redeviendra uniforme ; soit alors u'ia nouvelle vitesse moyenne ; la quantité de mouvement étant restée la même, puisqu'il y a toujours équilibre entre la force d'entrainement et la force retardatrice, on aura :

,cQw = [:,Q + Y)Q(rf— tt)] w', d'où l'on tire :

Or, le coefficient de résistance A dans le cas de l'eau pure est

égal à — j (équation 8). Si je désigne, d'autre part, par A' la valeur de ce coefficient dans le cas d'un volume de matériaux qui soit, avec le volume primitif, dans le rapport de ri à 1, j'aurai :

et j'en tirerai :

PROPOSITIONS PllELlMINAIRES 31

Ce qui justifie la proposition énoncée, puisque dest toujours plus grand que t:.

En appelant enfin B et B' les facteurs correspondant à A et A', j'aurai :

Si, par exemple, d est égal à 2400 k., n à 1000 k. etr, à 0,2, il viendra :

B- iOOO 1 Q^p B 1000 + 280 1,28 '

Ce nombre exprime à peu pr6s le rapport qui existe entre les deux facteurs 30,4 et 39,8, qui ont été calculés tout à rtieure.

Si Ti était égal à l'unité, on aurait :

b;__iooo__j^

Nous ne prétendons pas que Ton puisse, par ce moyen, calculer le coefficient de la vitesse. Nous pensons néanmoins qu'on peut en déduire des données approximatives pouvant servir à expliquer bien des phénomènes de Técoulement dans les torrents.

Remarque IL — En s'en tenant à la théorie de M. de Prony et CQ remarquant que le coefficient a est petit par rapport au coefficient bn et n'a qu'une très faible influence dans le cas de vitesses assez grandes, bien des ingénieurs ont remplacé la formule (7) par la suivante, qui est plus simple :

et qu'ils écrivent souvent sous la forme m = 50v'RI, en attribuant à 6 la valeur 0,0004.

Cette dernière formule, dite des ingénieurs italiens, est d'un usage Irùs fréquent dans les avant-projets, pour calculer le débit des fossés, des canaux d'écoulement, etc., ouverts dans les terres ordinaires. Il est essentiel de remarquer, cependant, qu'elle ne conduit pas toujours à des résultats approximativement exacts.

CHAHTHK PHKMIKK

Elle devrait pour cela concorder avec la formule Darcy et Bazin applicable aux canaux à parois en terre ; pour se rendre compte des différences qui peuvent exister, il sufllt de comparer les résultats dans le cas d'une largeur très grande par rapport à la profondeur d'eau, comme Ta fait M. Lechalas dans son ouvrage sur Y Hydraulique fluviale. On peut alore remplacer R par la profondeur d'eau II ; en donnant plusieurs valeurs à H, on trouve

que le coefficient 6=—; devient, pour que les deux formules soient équivalentes :

0,000 iO

Il résulte de ce tableau qu'il n'y a une quasi-équivalence entre les deux formules, si Ton ne veut pas avoir diverses valeurs de b suivant les hauteurs H, qu'en adoptant HI=0,00033w* pour la formule simplifiée, et en ne l'appliquant que pour les valeurs de II dépassant 3 mètres.

Remarque III. — La formule (9) peut s'écrire sous la forme suivante :

^/ = B v'R sin a

en appelant a Tinclinaison du fond, puisqu'elle a toujours été établie dans l'hypothèse de filets parallèles, ce qui implique ridée de parallélisme du fond et de la surface libre du liquide.

A. Équation du mouvement permaneiit. — Dans une rivière, si le rayon moyen et la pente varient à chaque instant, la vitesse ne peut avoir une valeur constante et par suite ne peut pas être uniforme; il suffit, pour s'en convaincre, de jeter les yeux sur l'équation (12).

Toutefois, si la quantiltS d'oau admise dans une section déterlûinéA à ^e pendant un certain temps /, la vitesse

I4 restera constante dans cette sec-

PUoPOSlTlnNS PnKLIMLNAlKLS

lîon.el Toîi (lira que le mouvcmenl est permaneiil (voir article 3). Tant que les condilions qui ont produit cet état de stabilité ne varieront pas, le régime de la rivière restera permanent ; que ces conditions viennent à changer, le régime changera avec elles, et ne tardera pas à reconquérir un nouvel état de perma- Donce en rapport avec les conditions nouvelles et qui persistera autant qu^clles. .

On peut aussi mettre en équation la permanence d'un régime.

Considérons, dans une rivière, un tronçon ABCD compris

entre deux affluents, et sufiposons que, dans un certain temps /', le régime puisse iHre considéré conmie permanent dans ce tronçon (lig. iO).

D'après la déiinilion donnée ci-dessus, la quanité d*eau Q qui passera par une section quelconque MN restera la même pendant le temps /.

Je dis, de plus, que le volume qui traversera, dans Tunité de temps, une autre section M'N' du môme tronçon sera encore égal à Q. Car, s'il était plus grand, la partie M^îN'M' de la rivière finirait par se vider, et s'il était plus petit cc^te partie se comblerait indéfiniment ; or ces deux hvpolhèses sont incompatibles avec la notion du mouvement permanent.

On peut donc dire que le volume de liquide qui passe, dans runité de lenq)s, par une section transversale quelconque d'un même tronçon soumis au régime permanent est le même pour chaque section ; ce volume s'appelh. débit ou dépense. 11 variera avec les conditions qui produisent le mouvement permanent ; il grandira si le volume d'eau qui arrive en AI] est plus grand ; il diminuera si celui-ci devient plus faible.

Cela étant, désignons par S et S' les surfaces mouillées des deux sections MN et M'N', et par // et n'Ies vitesses moyennes dans ces deu.\ sections ; on aura :

D*une part : Q=Si£, D*aulreparl:Q = SV,

34 CIIAPITRK PRKMIEil

et Téqualion du mouvemeul pcrroaneut deviendra :

Sm=SV=Q (13).

Cola posé, si je considère, dans un cours d'eau soumis au régime permanent, deux portions MNN,Mi, M'N'N/M/ dans lesquelles on puisse admettre que le mouvement est uniforme ; si, de plus, je désigne par Q le débit, par II la hauteur, par L la largeur moyenne (c'est-à-dire celle qui multipliée par II donne la valeur de la surface mouillée), par u la vitesse moyenne, par B le fadeur de cctle vitesse, par R le rayon moyen, par m le coefficient de forme, et par a Tînclinaison du fond du lit dans le premier tronçon ; et enfin par 11', L', u' , B', R', m' , a' les quantités similaires dans le deuxième tronçon, Tapplication des équations (12) et (13) à ces deux portions de cours d*eau donnera :

Q = LU . B v^R sin a = L'fr . B' v^R' sin a' (14)

Si, comme cela se présente généralement dans la pratique quand les deux sections ne sont pas très éloignées, les coefficients B et B' ne diffèrent pas beaucoup Tun de Tautre et peuvent être remplacés, sans erreur sensible, par un coefficient moyeu Bi,réqualion précédente pourra s'écrire, en remplaçant R par m II:

LU sim H sin a = Lll' sjmW sin a' = §ou bien, en élevant au carré :

mUW sin a = m'L"H'» sin a' = ^ • (15)

Ainsi, lorsque le régime est permanent dans une rivière, il existe une relation constante entre lesquanlilés w,L, Ueta, qui caractérisent les régions où Ton peut appliquer Téquation du mouvement uniforme.

. La relation (15) ne semljle pas applicable à tout un tronçon présentant des changements dans la pente de fond et dans la seclion. Nous allons démontrer que cependant on peut encore s'en servir quand on n'a pas besoin d'une grande précision, que les variations ne sont pas brusques cl qu'enfin les pentes du lit sont forlos, comme dans les torrents.

A rel «'gard nous distingu(M'ons deux cas : ou bien le fond du lit est fixe, ou bien il est mobile.

PHOPUSITiONS IM«KL1ML\AIKKS

Premier cas. Le fond du Ut est invariable, — Supposons d*aboril qu*iisc présente un élargissement do section à variations insensibles. Dans toute la région ABli)D, où le prolil en travers est constant, la surface fluide ^A est parallèle au fond di. Il en est

KiK. 11.

de même de la région GCFll, dans laquelle la section normale est redevenue constante ; les (ilels cg sont encore parallèles au fond, quoique plus rapprochés de ce dernier, ainsi que nous allons le prouver.

Reprenons, en effet, la relation :

m LMr sin a =m' l/Ml" sin a',

les quantités qui formenl le premier membre ^'appliquant à la portion d'amont, et celles du deuxième membre à la portion d'aval.

L^angle x étant le môme, par hypothèse, dans les deux cas, cette relation devient :

d'où Ton tire :

"' = " V îé

Celle équation montre que ir est plus petit qur II, puisque L est inférieur à L' et que les variations de m «^t de ni se font dans le même sens que celles de L et de L' (Voirartirir I).

Dans la région intermédiaire BdFE, la surface liquide se dispose suivant une surface de raccordement dont la trace (;st bc. Le raccordement étant graduel comme les variations de l'élargis-

36 GHAPITHE PREMIER

scmcnt, les valeurs de I el de sin a diiïéreront assez peu dans chacun des profils qui conslituent le tronçon pour qu'on puisse considérer la surface fluide comme parallèle au fonddu lit, pourvu loulcfois, ce qui est, du reste, le cas général dans les torrents, que les pentes soient fortes.

Prenons un exemple : La section du tronçon e^t un trapèze dont les talus sont inclinés à 45^etla largeur aufond^dans la portion d'amont, est égale à 25 mètres cl la hauteur de Teau à 2 mètres; dans la partie d*aval, la largeur au fond devient égale à 50 mètres ; et nous pouvons bien admettre que, les largeurs passant du simple au double, la partie intermédiaire ait 300 mètres de longueur; enfin la pente par mètre du fond est égale à 0,10.

Les quantités L' et m dépendant de la hauteur inconnue H', on ne peut pas obtenir directement par Téquation précédente la valeur de cette dernière. Pn supposant dabord comme première approximation que la largeur moyenne L' est le double de la largeur L, et que les deux coefficients m et m' sont égaux, ou aura:

H = II y i = 2 X 0,63 = 1 m. 26.

Cherchons maintenant une valeur plus approchée de II' en partant de celte première valeur im.26.

Nous aurons succossivement, en appliquant Téquation (i) :

L = 25 + 2 = 27 m.. „. = ,^Jil±i^ = 0,881 ;

i; = 30+ 1.26 = 51 «K 26: «r = ^^^î^^^if^ = 0.956. 00 qui donnera :

"-n^ 0.....XM:X;^ -""•^'-

Dans oosoondilious, la poule par moliv do la surface de raccordomont sk'ra :

CMIe ptnto Ml MU UiffMvnlo do o^)lo du fond.

■^HUlii^l bnisi)m\ U pouloqui sVlablira 'IMIYWiidrm U^" rvchervhor« dans cha-

PROPOSITIONS PUÉLIMINAUŒS

que cas, si TéquatioD générale peut «Mro applicable, dianl donnéo l'approximation que Ton veut obtenir.

Fig. 12.

En cas do rétrécisscmcnl, c'est l'inverse qui se produit (fig. 12). Si le rélrécissementse fait progressivement, il se forme entre les deux surfaces ab et cg parallèles au fond, une surface de raccordement bc^ graduelle comme les variations du profil en travers, etTéquation générale peut être appliquée h toute la région AGllD. Si, au contraire, le rétrécissement est brusque, la pente augmentera de b en c, et il pourra se faire que Téquation devienne inap* plicable.

Supposons maintenant qu'à une pente de fond AB succède une aiilre ponte BD un peu plus faible, et que le régime uniforme se soit établi dans la partie supérieure (fig. 13). Quand les eaux arriveront dans la tranche normale en B, la largeur étant supposée constante, la hauteur [I augmentera, car dans eu cas Téqualion générale devient :

m IP sin a =rr: m H'' sîn a',

ol, en supposant que m et 7n dilTiTcnt pou Tnn do Paulro, il est facile de voir que IT sera plus grand que H, puisque sin a' est par hypothèse inférieur a sin a. Mais les forces relardalricos diminuant en même temps que la vitesse, le mouvement tendra à

redevenir uniforme vers le point C, par exemple, et la surface fluide à redevenir parallèle au fond. Si la variation de pente est insensible on pourra, sans grande erreur, admettre le parallélisme sur tout l'ensemble, et appliquer la relation (15).

Si, après la pente BD il se présentait une pente un peu plus forte DE, le phénomène inverse se produirait ; il en résulterait pour la surface lluide une forme légèrement convexe entre B et F. Celte forme s'accentuerait si les variations de la poule étaient plus sensibles.

On montrerait de la même manière que les filets fluides seraient concaves à la surface si une forte pente se trouvait comprise entre deux pentes faibles.

Deuxième cas. — Le fond du lit est mobile. — Toute rivière à fond mobile et qui serait réellement soumise h un régime permanent finirait par se tracer, dans une partie donnée de son cours, un lit à section et & pente à peu près régulières; dans cette partie le mouvement deviendrait sensiblement uniforme, avec parallélisme du fond et de la surface liquide. Mais il ne faut pas se dissimuler que la plupart des rivières échappent aux conditions supposées (débit constant pendant un temps suffisant) ; en elTet, les grands mouvements des matières du lit n'ont lieu que pendant les crues, car il arrive souvent que Ton revient rapidement des crues au débit ordinaire. Le régime du lit, bouleversé pondant une crue, ne pouvant se rétablir qu'à la longue, et une nouvelle crue pouvant survenir auparavant, Tinstabilité deviendrait plutôt la rè;^le que l'exceplion.

En résumé^ dans une rivière à régime permanent, on peut appliquer Téqualion (15), lorsqu'on n'a pas besoin d'une grande exactitude, à toutes les régions qui ne renferment de variations brusques ni dans la pente de fond ni dans le profil en travers. Mais avec un fond mobile on est généralement dominé par les désordres que les crues amènent dans le lit, tout au moins lorsque les matières de ce lit sont alimentées par la destruction des rives ou par les arrivages des parties montagneuses du bassin.

7. .lf<»te Mir leelKic «Ica niiitloM. — Lorsqu'un fluide choque un corps qui y est enlièrenn.Mil plon^^é, il exerce une action non soulonienl sur la face d'amonl, mais encore sur les faces latérales, et môme sur la face située en aval.

PHOPOSmONS PRÉLIMINAIHES 39

Considérons un prisme enlièremcnt plongé dans un courant cl dont Taxe est parallèle à la direction du mouvement. L'interposition de ce corps forcera les filets liquides à se détourner un peu en avant, pour aller en divergeant, passer autour de safaced^amont. Resserrés alors dans un espace moindre, car la masse fluide qui se trouve entre le prisme el les berges fait, pour ainsi dire-, l'office d'un corps, résistant, ces filets augmentent de vitesse ; repoussés ensuite, et comme réfléchis vers le prisme par cette masse, ils vont se réunir derrière la face d'aval en conservant une partie de lexces de vitesse qu'ils avaient acquis, partie d*autant plus grande que la route parcourue^ ou, autrement dit, la longueur du prisme sera plus courte.

Lorsque les filets ont commencé à se détourner en avant du prisme, ils ont laissé, entre eux et la face d'amont de ce dernier, une petite masse fluide qu'ils pressent constamment contre cette face; les molécules de celle-ci tendent alors à s'échapper en allant du centre à la circonférence, et celles qui sont en contact avec la face du corps plongé se meuvent parallèlement à cette dernière avec une vitesse qui s'accélère en approchant des bords.

De mftme les filets, en convergeant au-delà de la face d'aval,

comprennent entre eux une masse fluide dont ils entraînent les

molécules, en vertu do l'excès de vitesse qu'ils ont conservé ; de

sorte que, dans cette région, le vide tend continuellement à se

former, ce qui produit sur la face d'aval une pression négative.

En résumé, la pression sur la face d'amont est plus grande que

la pression hydrostatique, et sur la face d'aval elle est plus faible

que cette dernière.

Quant aux pressions qui s'exercent sur les faces latérales, elles se détruisent deux à deux, et n'ont aucune influence sur le mouvement du corps.

De nombreuses expériences ont démontré que toutes ces pressions sont proportionnelles au carré di» lu vitesse absolue du cours d'eau si le corps est au repos, et au carré de la vitesse relative s'il est en mouvement, puis au poids spécili(|ue du milieu et à la surface choquée.

Si donc on désigne par V la vitesse, par^: le poids spécifique,

par A la surface choqiu»e el par Iv ri K' deux coefficients, on

pourra exprimer par Ivt: -^— la pression qui s'exerce sur la face