TRANSFORMATION DES COORDONNÉES
Soit:
x y z X| y, z, les coordonnées rectangulaires d’un point dans l’espace relativement à deux systèmes de coordonnées qui ont la même origine;
abc les cosinus des angles que forme l’axe de x avec les axes x, y, z, ;
a, b, c, les cosinus des angles que forme l'axe de y avec les axes de x, y, z, ;
a, b, c, les cosinus des angles que forme l'axe do z avec les axes de x, y, z,.
On a:
z, = ex -f c, y -|- Cj z
Entre les grandeurs a b c, a, b, c, , a, b, c, on a les relations suivantes :
b’ -f" ai * ■+• * = 1 a b -(- b, b, -f- a, b, = o
c’ + c,’ + Ca* = 1 b c + b, c, + b, c, ■= o
a, * 4" bi 1 4“ ®i 1 = 1 a a, 4- b b, -f c ci = o
+ V 4* c** = 1 ai ai 4- bi b> 4* °i c» = o
a — b, Cj ' bj c, a, — bj c — b Cj n, — b Cj — b, c
Soit : 0 l’angle d’inclinaison des plans x y et x, y, ; rp l'angle que forme l’intersection des plans x y et x, y, avec l’axe de x, ; i p l'angle que la même ligne d’intersection formo avec l’axe de x. On a :
a = cos 0 sin xp sin rp 4- cos xp cos rp
b = cos 0 sin xp cos rp — cos xp sin rp
c = sin 0 sin xp
a, = cos 0 cos xp sin rp — sin xp cos rp
b, =. cos 0 cos xp cos y 4- sin xp sin rp
Ci = sin 0 cos xp
Bj = — sin 0 sin rp
b, = — sin 0 cos rp
c, = cos 0
Diverses formes de réquation d’un plan.
a) Soit A B CJ D des valeurs constantes; l'équation d’un plan peut être représentée par:
Ax4By + Cü + D = o (1)
A) Soit a /? y les angles que la perpendiculaire, menée de l’origine des coordonnées à un plan, forme avec les axes O x O y O z
des coordonnées, et p la longueur de cette perpendiculaire; l’équation du plan peut être représentée par:
x cos a + y cos (3 + z cos y = p (2)
c) Soit x y z les coordonnées d’un point quelconque d’un plan; X Y Z les coordonnées du point d’intersection de la perpendiculaire menée de l’origino des coordonnées au plan ; p la longueur de cette perpendiculaire; l’équation du plau peut être exprimée par:
Xx + Yy + Zz = p’ (3)
d) Soit enfin abc la distance de l’origine des coordonnées des points d’intersection d’un plan avec les axes coordonnées ; l'équation du plan peut être exprimée par:
Relations entre deux plans.
Soit ta l’angle d’inclinaison entre deux plans dont les équations sont :
Ax + By -fCz + D =0)
A, x + Bi 7 + G, z -J- D, = 0 )
On a:
COB üj = ■ ~ ; — 1 ~7r'“
V k* + B* 4- C* VA, * 4- B,1 4-0.»
Les deux plans sont perpendiculaires l’un à l’autre si
Les deux plans sont parallèles l’un à l’autre si
Lignes droites.
a) Soit x y z les coordonnées d’un point d’une ligne droite; lUduaithtr, R/mlu» fi.nr lm eomitnfetlHm du mackinn 25
a b « (9 les quantités constantes; l’équation de la ligne droite est représentée par:
y = bz + /3 )
J) Soit y, y, y, les angles que la ligne, menée par l’origine des coordonnées parallèlement à celle dont les équations sont représentées par (1), forme avec les axes coordonnées; les équations de la ligne (1) peuvent aussi être représentées par :
cos y,
cos y.
cos yt cos y.
c) Soit:
x == a, z «, ) x = a, z -f- ce, }
les équations do deux lignes droites.
Ces deux lignes se coupent dans un point do l’espace si l’on a:
ftj Rj — —
L’angle d'inclinaison co de deux lignes droites est déterminé par l’expression :
COB Cû = -----
^a.' + b.’+l Va,1 + bt* + 1 Les deux lignes sont parallèles si l’on a: ai = a, b, = b.
Les directions de ces deux lignes sont perpendiculaires entre elles si l’on a:
Ligne droite et plan.
Soit x = az-|-«>y = bz-j-|9 Ie9 équations d'une ligne droite ; Ax-f-By + Cz-4-D=0 l'équation d’un plan.
L’angle 0 de l’inclinaison de la ligne au plan est déterminé par l’expression suivante:
. „ Aa+Bb + C
sin 0 = , — . =
t/A* + B* + C* V^a1 + b1 + 1 La ligne est parallèle au plan si l’on a:
Aa+Bb + C= 0
La ligne est perpendiculaire an plan si
JB
