AB-U’ A B — G 1 W

Les angles, que les axes principaux de la ligne font avec l'axe de x, sont les deux valeurs de i/> qui satisfont à l'équation:

tang 2 V = (3)

L’équation de la ligne (1), par rapport à un système des coordonnées x, y,, dont l’origine se trouve au centre de la ligne et dont les axes coïncident avec les axes principaux de la ligne, est dans ce cas:

Les valeurs de a et b sont données par les expressions suivantes :

. AE’f BD’-ïCDE

.. 1 | „ AE’+BD’-ÎCDEi

b =i;lK c* - ab I 1

Les significations que peut avoir l’équation sont les suivantes:

a) S, K = cT-ÀB

et si de plus s, et s, ont

les signes égaux, l'équation (4) représente un point dont les coordonnées sont x, = 0 et y, = 0 ;

^ a. v AE'-f BD' — 2CDE , . 3 , ,

b) bi K. = L~(J*^^A-B et 81 °e P us ®8 8I8nes

de s, et s, sont contraires, l’équation (4) représente deux lignes droites dont les équations sont:

h ±\/lL.

Xa 8S

,c,.„>AE'4.BD,-2CDE„; .

c) Si K C‘~ À~ H , 1 équation (4) représente:

a) Aucun objet géométrique si a1 et b* ont toutes les deux des signes négatifs ;

/?} Une ellipse si les deux signes de a* et. b’ sont positifs;

y) Une hyperbole si l’un des signes de a’ et b’ est positif et l'autre négatif;

<3) Un cercle si les signes de a* et b* sont positifs et si les valeurs numériques de a* et b’ sont égales.

Ligne sans centre.

L’équation (1) représente une ligne sans centre si AB — C* = 0. Dans ce cas les valeurs de s, et s, sont:

Les angles que les axes principaux do la ligne sans centre font avec l’axe de x sont les deux valeurs de rp qui satisfont à l’équation :

tang 2 v = a2 Pb (8)

L’équation de la ligne par rapport à un système de coordonnées x, y,, dont l’origine coïncide avec celles du système x y et dont les axes sont parallèles aux axes principaux, est dans ce cas:

(A + B) y.* + 2 D, x, + 2 E. y, = K ... (9) où l’on a posé :

D, = D cos i/i -f- E sin \p

E, = — D sin -j- E cos rp

Si D, — 0, l’équation (9) donne pour y, deux valeurs constantes, donc elle représente ' deux lignes droites qui sont parallèles à l'axe de x,.

Si D, ^ 0, on peut transformer l’équation (9) de manière qu’elle prend la forme:

où x, et y, se rapportent à un système de coordonnées dont les axes sont parallèles aux axes principaux de la ligne (9) et dont l’origine est déterminée par les coordonnées e, suivantes:

JB

L’équation (11) représente dans ce cas une parabole.