SURFACES DU SECOND DEGRÉ

Soit:

By>f-CzM-2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx-F2Hy+2Iz=K (1)

l’équation générale des surfaces du second degré.

A B C ... I K sont des nombres positifs ou négatifs, mais réels. Pour trouver toutes les significations géométriques de cette équation, on peut procéder de la manière suivante:

On cherche d’abord les trois racines s, s, s, de l’équation suivante du troisième degré:

(A— s)(B-s)(C-s)-D*(A— s)— E>(B— s)— F’(C— s)+2DEF=0 (2) Ces racines sont toujours réelles.

On cherche alors les valeurs des cos a, cos P, cos y,, cos at cos |3, cos y,, cos «j cos j9, cos y, au moyen dos trois systèmes des équations suivantes:

(A — s,) cos «, + F cos /9, + E cos y, = 0 F cos «, + (B — s,) cos p, + D cos y, = 0 I

E cos a, + D cos /3, (C — s,) cos y, =■ 0 l

cos1 «, + cos1 P, + cos1 y, = 1

(A — s,) cos «, F cos Pt -f- E cos y, = 0 1 F cos «, + (B — s,) cos pt + D cos y, = 0 *

E cos «, -h D cos P, + (C — s,) cos y, = 0 I

cos1 «» + cos1 pt -f- cos1 y, = 0

(A — gj) cos «j + F cos |9j + E cos y, = 0 ,

F cos «J + (B — Sj) cos (9, + D cos yt = 0 ' ...

E cos a, + D cos -f- (C — s5) cos yt = 0 ^

cos’ «, -|- cos’ (9, -4- cos’ y, — 1

Dans ces équations A B C ... I K sont les coefficients de l'équation (1) et s, s, s, les trois racines réelles de l’équation (2).

Décision de la question si la surface (1) a un centre ou si elle n’en a pas.

Si aucune des trois racines s, b, ss n’est zéro, la surface (1) est une surface qui a un centre. Si, au contraire, une do ces racines ou si deux en sont zéro, la surface (1) n’a pas de centre.

Surfaces avec centre.

Si aucune des trois racines b, s, s, n’est égale zéro, on trouve les divers objets géométriques, que peut représenter l’équation (1), de la manière suivante :

Posons :

(D’ — B CO G +;(C F — D E) H + (B E - D F) I x° — ABC - D’A — E' B — F’ (J +2DEF

(C F - D E) G + (E’ — A C) H + (A D - E F) I y° — ABC — D’A — E’B — F’C+2DEF

(B E - D F) G + (A D - E F) H.-f (F’ — A B) I z° — ABC — D* A— E’B — F’C-|-2D EF

KI=K-(Ax0’+By0’ + Cz0’+2Dy0z0 + 2Ex0z0+

2 F x0 y„ 4- 2 G x0 -f- 2 H y0 4- 2 1 z0) alors x0 y0 z0 sont les coordonnées du centre de la surface (1).

V — sont les longueurs des demi-axes principaux

de la surface (1) et les valeurs des cos«, cos (9, cos y,, cos a, cos (9* cos y,, cos «j cos ,9, cos y,, qui donnent les équations (3), (4), (5), sont les cosinus des angles que les directions des axes principaux font avec les axes Ox O y Oz des coordonnées de l’équation (1).

Si l’on prend le centre O, de la surface pour origine et les axes principaux pour axes des coordonnées, l’équation de la surface (1) prend la forme suivante:

Les significations de cette équation sont les suivantes:

a) Si K, =0 et si les trois racines s, b, b, ont les mêmes signes, l’équation représente le point dont les coordonnées sont x ,==(), y, =0, z, =0;

b) Si K, = 0 et si les racines s, s, s, n’ont pas les mêmes signes, l’équation (8) représente un cône;

c) Si K est différente de zéro ^ Oj , les significations de l'équation (8) sont les suivantes:

u ) Une impossibilité si les signes de — 1 1 sont tous

négatifs ;

p) Une ellipsoïde si les signes de — 1 — — - sont tous

8, Rg S j

positifs ;

y) Un hyperboloïde à une nappe si un des signes de — !

— - — - est négatif et si les deux autres sont positifs ;

ô) Un hyperboloïde à deux nappes si deux des signes de K K K

— - — - — ' sont négatifs et le troisième positif.

8, S, Bj

Si deux des racines s, s, s, sont égales, par exemple s, = s,, alors les surfaces se changent en surfaces de rotation et s, coïncide avec l’axe de rotation.

Si toutes les trois racines sont égales et positives, la surface

devient une sphère dont le rayon est — — - — - .

Surfaces sans centre.

Si une des racines s, s, s, est zéro, la surface (1) n’a pas de centre.

Soit, par exemple, ss = 0,