Dans ce cas les équations

(4) (5) déterminent les angles entre les axes principaux et les axes Ox O y O z des coordonnées primitives et l’équation de la surface (par rapport à un système de coordonnées dont l’origine coïncide avec celles du système primitif et dont les axes Ox, O y, Oz, sont parallèles aux axes principaux) devient :

O, = G cos ce, + H cos /?, + I cos y, J

H, = G cos «,+ H cos (3, + I cos y, V . . . (10)

I, = G cos a, -f H cos |9j + I cos y, '

Si I, =0, l’équation (9) représente uu cylindre dont l’axe est parallèle à l'axe Oz,.

Si I, est différent de zéro ^1, ^ 0^, la surface de l’équation (9) peut être exprimée par l’équation suivante :

dans laquelle x, y, z, sont les coordonnées d’un point quelconque de la surface par rapport à un système de coordonnées dont les axes sont parallèles aux axes principaux ou aux axes x, y, z, et dont l'origine est déterminée par les coordonnées £ v £ que l’on tire des équations suivantes:

Bi! + Gr,=0 j

Les significations de l’équation (11) sont dans ce cas 1,^0:

a ) Un paraboloïde elliptique si s, et s, ont les mêmes signes; (J) Un paraboloïde hyperbolique si s, et sa ont des signes contraires.

Si, en dernier lieu, deux des racines sont égales à zéro, par exemple s, = s, = 0, l’équation (9) devient :

et elle représente, en tout cas, un cylindre.